Topologinen avaruus
Topologinen avaruus on avaruus, jota tutkitaan topologiassa, joka on muotojen rakenteen matematiikkaa. Karkeasti sanottuna se on joukko asioita (joita kutsutaan pisteiksi) ja tapa tietää, mitkä asiat ovat lähellä toisiaan.
Tarkemmin sanottuna topologisessa avaruudessa on tietynlaisia joukkoja, joita kutsutaan avoimiksi joukoiksi. Avoimet joukot ovat tärkeitä, koska niiden avulla voidaan puhua pisteistä, jotka ovat lähellä toista pistettä, jota kutsutaan pisteen naapurustoksi. Pisteen naapurusto on yksinkertaisesti avoin joukko, joka sisältää kyseisen pisteen. Ilman avointen joukkojen käsitettä ei voida määritellä naapurustoja hyvällä tavalla. Jos pisteen naapuruus yritetään määritellä joksikin pisteen sisältäväksi joukoksi, se saattaa sisältää vain kyseisen pisteen ja vain kyseisen pisteen, ei sen lähellä olevia pisteitä tai kaukana olevia pisteitä. Meillä on myös suljettujen joukkojen käsite, jotka ovat avoimien joukkojen täydennyksiä. Toisin sanoen kaikki pisteet, jotka eivät kuulu tiettyyn avoimeen joukkoon, muodostavat suljetun joukon.
Avoimien joukkojen on noudatettava tiettyjä sääntöjä, jotta ne vastaisivat käsityksiämme läheisyydestä. Minkä tahansa määrän avointen joukkojen liiton on oltava avoin, ja äärellisen määrän suljettujen joukkojen liiton on oltava suljettu. (Jälkimmäinen sääntö toimii vain äärelliselle määrälle suljettuja joukkoja. Tämä johtuu siitä, että monissa tapauksissa yhden pisteen sisältävä joukko on suljettu. Mikä tahansa joukko koostuu pisteistä. Jos toista sääntöä sovellettaisiin äärettömään määrään suljettuja joukkoja, kaikki joukot olisivat suljettuja). Erikoistapauksena jokainen pisteen sisältävä joukko on sekä avoin että suljettu. Joukko, jossa ei ole yhtään pistettä, on myös sekä avoin että suljettu.
Pistejoukolla voi olla monia eri määritelmiä siitä, mikä on avoin joukko. Voidaan ajatella, että vain tietyt joukot ovat avoimia, tai useampia joukkoja voidaan pitää avoimina. Jokaisen joukon voidaan jopa ajatella olevan avoin. Sama joukko, jolla on eri määritelmät avoimille joukoille, muodostaa erilaisia topologisia avaruuksia.
Kysymyksiä ja vastauksia
Q: Mikä on topologinen avaruus?
A: Topologinen avaruus on joukko pisteitä sekä tapa tietää, mitkä asiat ovat lähellä toisiaan. Sitä tutkitaan matematiikassa muotojen rakenteesta.
Q: Mitä ovat avoimet joukot?
V: Avoimet joukot ovat tärkeitä, koska niiden avulla voidaan puhua toisen pisteen lähellä olevista pisteistä, joita kutsutaan pisteen naapurustoksi. Ne määritellään tietynlaisiksi joukoiksi, joiden avulla voidaan määritellä naapurustot hyvällä tavalla.
K: Mitä avointen joukkojen on noudatettava?
V: Avoimien joukkojen on noudatettava tiettyjä sääntöjä, jotta ne vastaisivat käsityksiämme läheisyydestä. Minkä tahansa määrän avointen joukkojen liiton on oltava avoin, ja äärellisen määrän suljettujen joukkojen liiton on oltava suljettu.
K: Mikä on avointen ja suljettujen joukkojen erikoistapaus?
V: Sekä avointen että suljettujen joukkojen erikoistapaus on, että joukko, joka sisältää jokaisen pisteen, on sekä avoin että suljettu, samoin kuin joukko, joka ei sisällä yhtään pistettä, on sekä avoin että suljettu.
K: Miten eri määritelmät vaikuttavat topologisiin avaruuksiin?
V: Erilaiset määritelmät sille, mikä on avoin joukko, voivat vaikuttaa topologisiin avaruuksiin pitämällä vain tiettyjä joukkoja avoimina tai tavallista useampia tai jopa pitämällä kaikkia joukkoja avoimina.
K: Voiko äärettömän monta suljettua joukkoa muodostaa minkä tahansa joukon?
V: Ei, jos suljettujen joukkojen ääretön määrä olisi sallittua, jokaista joukkoa pidettäisiin suljettuna, koska kaikki joukot koostuvat vain pisteistä.
