Topologinen avaruus on joukko, jota tutkitaan topologiassa. Se koostuu perusjoukosta (pisteistä) ja määritelmästä siitä, mitkä joukot ovat avoimia. Avoimet joukot kertovat, mitä tarkoitetaan pisteiden läheisyydellä: avoin joukko sisältää aina jokaisen siinä olevan pisteen "pienen ympäristön". Topologinen avaruus on siis pari (X, τ), jossa X on joukko ja τ on joukko X:n alipjoukkoja, jotka kutsutaan avoimiksi ja jotka täyttävät tietyt ehdot.

Määritelmä ja topologian aksioomat

Olkoon X jokin joukko. Kokoelmaa τ ⊆ P(X) kutsutaan topologiaksi, jos seuraavat ehdot pätevät:

  • Tyhjä joukko ∅ ja koko joukko X ovat τ:ssa (eli avoimia).
  • Jokaisen indeksijoukon {U_i} i∈I avoimien joukkojen yhdiste ⋃_{i∈I} U_i on avoin (arbiträäriset yhdisteet).
  • Finiten määrän avoimien joukkojen leikkaus on avoin; toisin sanoen U_1 ∩ ... ∩ U_n ∈ τ.

Vastaavasti joukon A komplementti X \ A on suljettu jos ja vain jos A on avoin. Suljetuilla joukoilla pätee, että mielivaltaisen määrän suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu ja äärellisen määrän suljettujen joukkojen yhdiste on suljettu.

Avoimet ja suljetut joukot, naapurustot

Avoin joukko on siis osa topologian perusrakennetta. Pisteen naapurusto on jokin avoin joukko, joka sisältää kyseisen pisteen; naapuruston ajatellaan kuvaavan pisteen lähiympäristöä. Ilman avointa joukkoa naapuruston määrittely olisi epätyydyttävä, koska jotkin joukot voisivat sisältää vain yksittäisen pisteen ilman mitään sen ympärillä olevia pisteitä.

On myös joukkoja, jotka ovat sekä avoimia että suljettuja (esimerkiksi ∅ ja X aina). Joissain topologioissa myös yksittäiset pisteet (singletonit) voivat olla suljettuja tai avoimia; esimerkiksi diskreetissä topologiassa kaikki joukot ovat sekä avoimia että suljettuja.

Peruskäsitteitä ja liittyviä käsitteitä

  • Sisäpiste: piste x kuuluu joukon A sisäpisteisiin, jos on olemassa avoin joukko U siten, että x ∈ U ⊆ A. Sisäosaa merkitään Int(A).
  • Sulkeuma: sulkeuma Cl(A) on pienin suljettu joukko, joka sisältää A; se on kaikkien A:ta sisältävien suljettujen joukkojen yhteenlaskettu leikkaus. Sulkeuma sisältää kaikki A:n raja- ja kertapisteet.
  • Raja: joukon A reuna ∂A = Cl(A) \ Int(A) koostuu pisteistä, joita ei voi erottaa A:sta avoimolla ympäristöllä kokonaan.
  • Limitipiste (accumulation point): piste x on A:n kertapiste, jos jokaisessa ympäristössään on jokin A:n eri piste.

Esimerkkejä topologioista

  • Diskreetti topologia: τ = P(X). Kaikki alipuolet ovat avoimia; siten kaikki joukot ovat sekä avoimia että suljettuja.
  • Indiskreetti (triviaali) topologia: τ = {∅, X}. Vain tyhjä joukko ja koko joukko ovat avoimia.
  • Vakiona oleva topologia R:ssä: tavallinen topologia ℝ:ssä syntyy avoimista väleistä (a, b). Tämä topologia tulee useimmiten metriikan kautta.
  • Metriikat ja topologia: metriikka d antaa topologian määrittelemällä avoimiksi joukoiksi ne joukot, jotka jokaisen pisteensä ympärillä sisältävät avoimen pallon (x, r) = {y | d(x,y) < r}. Monet topologian ilmiöt näkyvät erityisen konkreettisina metriikka-avaruuksissa.

Perusrakenteet ja jatkotoiminnot

  • Alitila-topologia: jos Y ⊆ X ja X:ssä on topologia, Y saa alitilan topologian siten, että U ⊆ Y on avoin Y:ssä juuri silloin, kun U = V ∩ Y jollekin avoimelle V ⊆ X.
  • Perusta (basis): kokoelma B avoimia joukkoja on topologian perusta, jos jokainen avoin joukko on B:n jäsenten yhdiste ja jokaisen kahden peruselementin leikkauksen jokaista pistettä ympäröi jokin peruselementti.
  • Jatkuvuus: kartta f : X → Y topologisten avaruuksien välillä on jatkuva jos f^{-1}(V) on avoin X:ssä aina kun V on avoin Y:ssä. Tämä yleistää metriikka-avaruuksista tutun käsitteen.

Lyhyt yhteenveto

Topologinen avaruus antaa abstraktin tavan käsitellä läheisyyttä, jatkuvuutta ja raja-arvoja ilman mittaa tai etäisyyttä. Avoimet ja suljetut joukot muodostavat topologian perustan, ja eri valinnoilla avoimista joukoista saadaan erilaisia topologioita samalla perusjoukolla. Monet tutut käsiteet — kuten jatkuvuus, sulkeuma, sisäosa ja raja — voidaan määritellä yksikäsitteisesti topologian avulla, ja metriikat tarjoavat konkreettisia esimerkkejä topologioista.