Binomiaalilause (binomiaalilaajennus) — määritelmä, kaava ja esimerkit

Oppaasi binomiaalilauseeseen: selkeä määritelmä, kaavat ja käytännön esimerkit binomilaajennuksen ymmärtämiseen askel askeleelta.

Tekijä: Leandro Alegsa

Binomiaalilaajennuksessa muodostetaan lausekkeen potenssi sarjan avulla. Tavallinen muoto on sulkuun asetetun lausekkeen potenssi, esimerkiksi ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}}. Binomiaalilaajennuksia käsitellään yleisesti kahdessa päämuodossa: 1) finiittinen laajennus silloin, kun eksponentti n on ei-negatiivinen kokonaisluku (perinteinen binomilause), ja 2) Newtonin yleistetty binomiaalilaajennus, joka antaa äärettömän sarjan, kun eksponentti voi olla reaalinen tai kompleksinen. Lisäksi binomikertoimen ominaisuuksista ja Pascalin kolmion esityksestä puhutaan usein erillisenä näkökulmana.

Määritelmä ja peruskaava

Binomilause (perinteinen muoto, n ∈ {0,1,2,...}) ilmaistaan kaavalla

(x + y)^{n} = ∑k=0n C(n,k) x^{n-k} y^{k},

missä C(n,k) on binomikerroin eli yhdistelmäluku (engl. "n choose k"). Binomikerroin määritellään yleensä faktoriaalimuodolla

C(n,k) = n! / (k! (n-k)!) for 0 ≤ k ≤ n (ja C(n,k)=0 jos k<0 tai k>n).

Binomikertoimen tulkinta ja ominaisuudet

  • Kombinatorinen tulkinta: C(n,k) on tapojen määrä valita k alkioita n alkion joukosta.
  • Symmetria: C(n,k) = C(n,n-k).
  • Pascalin relaatio: C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1). Tämä näkyy Pascalin kolmiossa.
  • Summa: ∑k=0n C(n,k) = 2^{n} (koska (1+1)^{n} = 2^{n}).
  • Vaihtosumma: ∑k=0n (-1)^{k} C(n,k) = 0 kun n≥1 (koska (1-1)^{n} = 0).

Esimerkkejä

  • (x + y)^{0} = 1.
  • (x + y)^{1} = x + y.
  • (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} (koska C(2,0)=1, C(2,1)=2, C(2,2)=1).
  • (x + y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3}.
  • Numeroinen esimerkki: (1 + 2)^{3} = 3^{3} = 27 ja binomikertoimien avulla 1·1^{3} + 3·1^{2}·2 + 3·1·2^{2} + 1·2^{3} = 1 + 6 + 12 + 8 = 27.
  • Erotettu muoto: (x - y)^{n} = ∑k=0n (-1)^{k} C(n,k) x^{n-k} y^{k} (sopii, kun laitetaan y → -y).

Newtonin (yleistetty) binomiaalilaajennus

Kun eksponentti α on reaalinen tai kompleksinen (ei välttämättä kokonaisluku), saadaan yleistetty sarja

(1 + z)^{α} = ∑k=0∞ C(α,k) z^{k},

missä

C(α,k) = α(α-1)(α-2)...(α-k+1) / k!.

Tämä sarja on äärettömän pitkä ja konvergoituu kun |z| < 1 (joissain tapauksissa myös reunalla |z|=1 tietyillä α:lla). Erityisesti α = n kokonaislukuna palauttaa äärellisen summan, koska monomit α(α-1)...(α-k+1) nollautuvat k>n.

Lyhyt todistusideo

  • Kombinatorinen todistus: Kun kerrotaan (x+y) kertaa itsensä n kertaa ja valitaan jokaisesta tekijästä joko x tai y, saadaan termejä, joissa y esiintyy täsmälleen k kertaa. Näitä termejä on C(n,k), joten yhteenlaskettuna saadaan binomikaava.
  • Induktiivinen todistus: Todistus käy helposti induktiolla n:n suhteen käyttämällä Pascalin relatiota C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1).

Käytännön huomioita

  • Binomilause on perusta monissa sovelluksissa: kombinatoriikassa, todennäköisyyslaskennassa (esim. binomijakauma), polynomilaskuissa ja analyysissä (Newtonin sarja).
  • Pascalin kolmio tarjoaa kätevän tavan löytää binomikertoimet ilman faktoriaaleja.
  • Yleistetty sarja mahdollistaa esimerkiksi laajennuksen muodolle (1+x)^{1/2} tai (1+x)^{-1}, joita käytetään murtolukujen ja juurien lähentämiseen sarjana.

Yhteenvetona: binomiaalilaajennus kertoo, miten (x+y)^{n} voidaan kirjoittaa summana termejä, joiden kertoimet ovat binomikertoimia C(n,k). Perusmuoto on finiittinen, kun n on ei-negatiivinen kokonaisluku, ja Newtonin yleistyksen kautta laajennus voidaan antaa myös ei-kokonaislukueksponentille äärettömänä sarjana.

Kaavat

Periaatteessa on kolme binomilaajennuskaavaa:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}} {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

  

1. (Plus)

( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}} {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}

2. (miinus)

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}

3. (Plus-miinus)

Voimme selittää, miksi tällaisia 3 kaavaa on olemassa yksinkertaisella tuotteen laajennuksella:

( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}} {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a - b ) 2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}{2}} {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}} {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}

Pascalin kolmion käyttö

Jos n {\displaystyle n}n on kokonaisluku ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }{\displaystyle n\in \mathbb {Z} } ), käytämme Pascalin kolmiota.


Laajennetaan ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}} : {\displaystyle (x+y)^{2}}

  • löydetään Pascalin kolmion rivi 2 (1, 2, 1).
  • laajenna x {\displaystyle x}x ja y {\displaystyle y}y niin, että x {\displaystyle x}x teho pienenee 1:llä joka kerta n {\displaystyle n}n ja 0 välillä ja y {\displaystyle y}y teho kasvaa 1:llä joka kerta 0:sta aina n {\displaystyle n} asti. n
  • kertaa Pascalin kolmion luvut oikeilla termeillä.


Joten ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}}} {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}


Esimerkiksi:

( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}} {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}


Pääsääntöisesti:

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}

jossa a i {\displaystyle a_{i}}{\displaystyle a_{i}} on Pascalin kolmion rivillä n {\displaystyle n}n ja kohdassa i {\displaystyle i}{\displaystyle i} oleva luku.

Esimerkkejä

( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}} {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}

 

( 5 - 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x ) 3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}} {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}} {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}

 

( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}} {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {\displaystyle =16807+12005 \cdot 4x^{2}+3430 \cdot 16x^{4}+490 \cdot 64x^{6}+35 \cdot 256x^{8} + 1 \cdot 1024x^{10}}}. {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}} {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mikä on binomilaajennus?



V: Binomilaajennus on matemaattinen menetelmä, jossa lausekkeen avulla luodaan sarja käyttäen sulkuehtoa (x+y)^n.

K: Mikä on binomilaajennuksen peruskäsite?



V: Binomilaajennuksen peruskäsite on binomilausekkeen potenssin laajentaminen sarjaksi.

K: Mikä on binomilauseke?



V: Binomilauseke on algebrallinen lauseke, joka sisältää kaksi termiä, jotka on yhdistetty plus- tai miinusmerkillä.

K: Mikä on binomilaajennuksen kaava?



V: Binomilaajennuksen kaava on (x+y)^n, jossa n on eksponentti.

K: Kuinka monta erilaista binomilaajennusta on olemassa?



V: Binomilaajennuksia on kolmenlaisia.

K: Mitä kolmea binomilaajennustyyppiä on?



V: Kolme binomilaajennustyyppiä ovat - ensimmäinen binomilaajennus, toinen binomilaajennus ja kolmas binomilaajennus.

K: Miten binomilaajennuksesta on hyötyä matemaattisissa laskutoimituksissa?



V: Binomilaajennuksesta on hyötyä matemaattisissa laskutoimituksissa, sillä se auttaa yksinkertaistamaan monimutkaisia lausekkeita ja ratkaisemaan monimutkaisia ongelmia.


Etsiä
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3