Binomilause

Binomiaalilaajennuksessa käytetään lauseketta sarjan muodostamiseen. Se käyttää suluissa olevaa lauseketta, kuten ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} $(x+y)^{n}$ . On olemassa kolme binomilaajennusta.

Kaavat

Periaatteessa on kolme binomilaajennuskaavaa:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}} $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$		1. (Plus)
( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}} $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$		2. (miinus)
( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$		3. (Plus-miinus)

Voimme selittää, miksi tällaisia 3 kaavaa on olemassa yksinkertaisella tuotteen laajennuksella:

( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}} $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a - b ) 2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}{2}} $(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}} $(a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$

Pascalin kolmion käyttö

Jos n {\displaystyle n} on kokonaisluku ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } $n\in \mathbb {Z}$ ), käytämme Pascalin kolmiota.

Laajennetaan ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}} : $(x+y)^{2}$

löydetään Pascalin kolmion rivi 2 (1, 2, 1).
laajenna x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} niin, että x {\displaystyle x} teho pienenee 1:llä joka kerta n {\displaystyle n} ja 0 välillä ja y {\displaystyle y} teho kasvaa 1:llä joka kerta 0:sta aina n {\displaystyle n} asti.
kertaa Pascalin kolmion luvut oikeilla termeillä.

Joten ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}}} $(x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}$

Esimerkiksi:

( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}} $(3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}$

Pääsääntöisesti:

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} $(x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}$

jossa a i {\displaystyle a_{i}} $a_{i}$ on Pascalin kolmion rivillä n {\displaystyle n} ja kohdassa i {\displaystyle i} $i$ oleva luku.

Esimerkkejä

( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}} $(5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} $=125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}$

( 5 - 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x ) 3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}} $(5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}} $=125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}$

( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}} $(7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}$

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {\displaystyle =16807+12005 \cdot 4x^{2}+3430 \cdot 16x^{4}+490 \cdot 64x^{6}+35 \cdot 256x^{8} + 1 \cdot 1024x^{10}}}. $=16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}$

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}} $\,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}$

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mikä on binomilaajennus?

V: Binomilaajennus on matemaattinen menetelmä, jossa lausekkeen avulla luodaan sarja käyttäen sulkuehtoa (x+y)^n.

K: Mikä on binomilaajennuksen peruskäsite?

V: Binomilaajennuksen peruskäsite on binomilausekkeen potenssin laajentaminen sarjaksi.

K: Mikä on binomilauseke?

V: Binomilauseke on algebrallinen lauseke, joka sisältää kaksi termiä, jotka on yhdistetty plus- tai miinusmerkillä.

K: Mikä on binomilaajennuksen kaava?

V: Binomilaajennuksen kaava on (x+y)^n, jossa n on eksponentti.

K: Kuinka monta erilaista binomilaajennusta on olemassa?

V: Binomilaajennuksia on kolmenlaisia.

K: Mitä kolmea binomilaajennustyyppiä on?

V: Kolme binomilaajennustyyppiä ovat - ensimmäinen binomilaajennus, toinen binomilaajennus ja kolmas binomilaajennus.

K: Miten binomilaajennuksesta on hyötyä matemaattisissa laskutoimituksissa?

V: Binomilaajennuksesta on hyötyä matemaattisissa laskutoimituksissa, sillä se auttaa yksinkertaistamaan monimutkaisia lausekkeita ja ratkaisemaan monimutkaisia ongelmia.