AlegsaOnline.com

Elastinen törmäys: liike-energian ja impulssin säilyminen

Elastinen törmäys selitetty: miten liike-energia ja impulssi säilyvät, esimerkit, laskemat ja käytännön sovellukset — selkeä opas pomppiviin törmäyksiin.

Tekijä: Leandro Alegsa Luontipäivä: 17. syyskuuta 2022 Viimeisin päivitys: 14. tammikuuta 2026

en.wikipedia.org · Public domain

Kimmoisassa törmäyksessä kaksi esinettä törmäävät toisiinsa ja kimpoavat takaisin siten, että niissä tapahtuu vain pieniä tai ei lainkaan pysyviä muodonmuutoksia. Esimerkiksi kaksi kumipalloa, jotka pomppivat yhteen, käyttäytyvät usein hyvin elastisesti, kun taas kahden auton törmäys on yleensä kimmoton, koska autot pysyvästi vaurioituvat ja osa liike-energiasta muuttuu lämmöksi, muodonmuutostyöksi ja ääneksi. Täydellisessä (täysin) elastisessa törmäyksessä ei nettomääräisesti menetetä liike-energiaa, eli törmäyksen jälkeen kappaleiden yhteenlaskettu kineettinen energia on sama kuin ennen törmäystä. Toinen tärkeä periaate on impulssin säilyminen.

Määritelmä ja perusperiaatteet

Kimmoisessa törmäyksessä pätevät samanaikaisesti:

impulssin säilyminen: kokonaisimpulssi ennen törmäystä = kokonaisimpulssi jälkeen
kineettisen energian säilyminen: yhteinen liike-energia ennen = yhteinen liike-energia jälkeen

Nämä ehdot pätevät, kun törmäyksen aikana ei synny ulkoisia impulssimuutoksia (esim. hyvin lyhytaikainen kontakti ja ulkoiset voimat ovat merkityksettömiä) eikä merkittävää energiaa siirry sisäisiin värähtelyihin, lämmöksi tai ääneksi.

Matemaattinen kuvaus (yksinkertainen tapaus, yksiulotteinen)

Harkitaan kahta kappaletta massoilla m1 ja m2 ja nopeuksilla v1 ja v2 ennen törmäystä. Merkitään törmäyksen jälkeisiä nopeuksia v1' ja v2'. Kimmoisuuden ehdot antavat kaksi yhtälöä:

Impulssin säilyminen: m1·v1 + m2·v2 = m1·v1' + m2·v2'
Kineettisen energian säilyminen: 1/2·m1·v1^2 + 1/2·m2·v2^2 = 1/2·m1·v1'^2 + 1/2·m2·v2'^2

Näistä ratkaisemalla saadaan yleiset ratkaisut (yksiulotteiselle törmäykselle):

v1' = ((m1 - m2)/(m1 + m2))·v1 + (2 m2/(m1 + m2))·v2
v2' = (2 m1/(m1 + m2))·v1 + ((m2 - m1)/(m1 + m2))·v2

Erityistapaus: jos kappale 2 on levossa ennen törmäystä (v2 = 0), kaavat yksinkertaistuvat:

v1' = (m1 - m2)/(m1 + m2) · v1
v2' = 2 m1/(m1 + m2) · v1

Keskeinen oivallus: nopeuden suhteellinen inversio

Yksi kätevä tapa ymmärtää kimmoista törmäystä on siirtyä törmäyksen keskipisteeseen eli massakeskuksen (CM) koordinaatistoon. Tässä koordinaatistossa kokonaisimpulssi on nolla, ja täydellisessä elastisessa törmäyksessä kappaleiden nopeuksien suhteelliset nopeudet muuttuvat suunnaltaan — eli yksiulotteisessa täydellisessä elastisessa törmäyksessä kappaleet vaihtavat suhteelliset nopeutensa ja CM-kehyksessä niiden nopeudet vain kääntyvät (niiden suuruus pysyy samana, mutta etumerkki vaihtuu).

Impulssi ja impulssin vaihtelu

Impulssi J (tunnetaan myös törmäysvoiman kokonaissummana ajan yli) liittyy kappaleiden momentin muutokseen:

J = Δp = m1·(v1' − v1) = −m2·(v2' − v2)

Tämä ilmaisee, kuinka paljon liikemäärää siirtyy kappaleiden välillä törmäyksessä.

Realiset esimerkit ja rajoitukset

Billiard-kuulat, pallot ja monet atomien tai molekyylien törmäykset kaasuissa voivat lähestyä kimmoisuutta, jolloin yllä olevat yksinkertaiset mallit toimivat hyvin.
Suurten kappaleiden (esim. autot) törmäykset ovat usein kimmottomia: osa kineettisestä energiasta muuttuu lämpöenergiaksi, muodonmuutostyöksi tai jäykkyysenergiaan, joten energian säilymisen ehto kineettisenä energiana ei päde.
Kimmoisuus on ideaalitapaus. Todellisissa törmäyksissä käytetään usein palautumiskertoimen käsitettä (e), jossa e = 1 tarkoittaa täydellistä kimmoisuutta ja 0 täydellistä kimmottomuutta.

Sovelluksia

Kimmoisten törmäysten teoria on keskeinen monilla aloilla: klassisessa mekaniikassa ja optimoiduissa kuula- ja pallopelisimulaatioissa, kaasujen kineettisessä teoriassa (hiukkastörmäykset oletetaan usein elastisiksi), hiukkasfysiikassa (elastinen sironta), sekä insinööritieteissä, joissa halutaan ymmärtää ja mallintaa törmäyksiä ja energiansiirtoa.

Yhteenvetona: kimmoisissa törmäyksissä sekä impulssi että kineettinen energia säilyvät, mikä antaa tiukat yhtälöt lopullisten nopeuksien laskemiseen. Käytännössä täydellinen kimmoisuus on ideaalinen rajatapaus, mutta monet ilmiöt ja laskelmat voidaan hyvin approksimoida sillä.

Näyte epätasa-arvoisten massojen elastisesta törmäyksestä.

Yksiulotteinen newtonilainen

Tarkastellaan kahta hiukkasta, jotka on merkitty tunnuksilla 1 ja 2. Olkoon m₁ ja m₂ massat, u₁ ja u₂ nopeudet ennen törmäystä ja v₁ ja v₂ nopeudet törmäyksen jälkeen.

Käyttämällä momentin säilymistä yhden kaavan kirjoittamiseen

Koska kyseessä on elastinen törmäys, kokonaisimpulssi ennen törmäystä on sama kuin kokonaisimpulssi törmäyksen jälkeen. Kun otetaan huomioon, että momentti (p) lasketaan kaavalla

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Voimme laskea törmäystä edeltävän momentin olevan:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

ja törmäyksen jälkeinen momentti on:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Kun nämä kaksi asetetaan yhtä suureksi, saadaan ensimmäinen yhtälömme:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Käyttämällä energian säilymistä toisen kaavan kirjoittamiseen

Toinen käyttämämme sääntö on, että kineettinen kokonaisenergia pysyy samana, mikä tarkoittaa, että alkuperäinen kineettinen energia on yhtä suuri kuin lopullinen kineettinen energia.

Kineettisen energian kaava on:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Käytetään siis samoja muuttujia kuin aiemmin: Alkuperäinen liike-energia on:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Lopullinen liike-energia on:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Asetetaan nämä kaksi yhtä suureksi (koska kineettinen kokonaisenergia pysyy samana):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Kun nämä kaksi yhtälöä yhdistetään

Nämä yhtälöt voidaan ratkaista suoraan v_i löytämiseksi, kun u_i tunnetaan, tai päinvastoin. Seuraavassa on esimerkkitehtävä, joka voidaan ratkaista joko momentin tai energian säilymisen avulla:

Esimerkiksi:

Pallo 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s.

Pallo 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s.

Törmäyksen jälkeen:

Pallo 1: v = -8,5 m/s.

Pallo 2: v = tuntematon ( Esitämme sen v:llä ).

Käyttämällä momentin säilymistä:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Kun olemme tehneet kertolaskun ja sitten vähentäneet molemmista sivuista 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} $3*(-8.5)$ , saamme:

12 - 30 + 25.5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Laskemalla vasemman puolen summa ja jakamalla se sitten 5:llä {\displaystyle 5} $5$ saadaan:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , ja jakamalla lopuksi saadaan: 1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v} $\ 1.5=v$

Olisimme voineet ratkaista tämän ongelman myös energian säilymisen avulla:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}} }} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Kun molemmat puolet kerrotaan luvulla 2 {\displaystyle 2} $2$ ja tehdään sitten kaikki tarvittavat kertoimet, saadaan tulokseksi:

48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Kun vasemmalla olevat luvut lasketaan yhteen, vähennetään molemmista luvuista 216,75 {\displaystyle 216.75} $216.75$ ja jaetaan luvut 5:llä {\displaystyle 5} $5$ , saadaan tulos:

2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Kun molempien puolien neliöjuuri lasketaan, saadaan vastaukseksi v = ± 1.5 {\displaystyle v=\pm 1.5}. $v=\pm 1.5$ .

Valitettavasti meidän on edelleen käytettävä momentin säilymistä selvittääksemme, onko v {\displaystyle v} $v$ positiivinen vai negatiivinen.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on elastinen törmäys?

A: Kimmoisassa törmäyksessä kaksi esinettä törmää ja kimpoaa takaisin vain vähän tai ei lainkaan muodonmuutoksia aiheuttaen.

K: Mikä on esimerkki elastisesta törmäyksestä?

V: Kaksi kumipalloa, jotka pomppivat yhteen, olisi esimerkki kimmoisasta törmäyksestä.

K: Mikä on kimmoton törmäys?

V: Kimmoton törmäys on, kun kaksi esinettä törmää toisiinsa ja rypistyy, eivätkä ne kimpoile takaisin.

K: Mikä on esimerkki kimmottomasta törmäyksestä?

V: Kaksi autoa, jotka törmäävät toisiinsa, olisi esimerkki kimmottomasta törmäyksestä.

K: Mitä tapahtuu täydellisen elastisessa törmäyksessä?

V: Täydellisen kimmoisassa törmäyksessä ei menetetä liike-energiaa, joten kahden kappaleen liike-energia on törmäyksen jälkeen yhtä suuri kuin niiden yhteenlaskettu liike-energia ennen törmäystä.

K: Miten elastiset törmäykset tapahtuvat?

V: Kimmoisia törmäyksiä tapahtuu vain, jos liike-energiaa ei muuteta nettomääräisesti muuhun muotoon, kuten lämmöksi tai ääneksi.

K: Mikä säilyy elastisessa törmäyksessä?

V: Kimmoisassa törmäyksessä momentti säilyy.