Elastinen törmäys

Yksiulotteinen newtonilainen

Tarkastellaan kahta hiukkasta, jotka on merkitty tunnuksilla 1 ja 2. Olkoon m₁ ja m₂ massat, u₁ ja u₂ nopeudet ennen törmäystä ja v₁ ja v₂ nopeudet törmäyksen jälkeen.

Käyttämällä momentin säilymistä yhden kaavan kirjoittamiseen

Koska kyseessä on elastinen törmäys, kokonaisimpulssi ennen törmäystä on sama kuin kokonaisimpulssi törmäyksen jälkeen. Kun otetaan huomioon, että momentti (p) lasketaan kaavalla

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Voimme laskea törmäystä edeltävän momentin olevan:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

ja törmäyksen jälkeinen momentti on:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Kun nämä kaksi asetetaan yhtä suureksi, saadaan ensimmäinen yhtälömme:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}}

Käyttämällä energian säilymistä toisen kaavan kirjoittamiseen

Toinen käyttämämme sääntö on, että kineettinen kokonaisenergia pysyy samana, mikä tarkoittaa, että alkuperäinen kineettinen energia on yhtä suuri kuin lopullinen kineettinen energia.

Kineettisen energian kaava on:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}}

Käytetään siis samoja muuttujia kuin aiemmin: Alkuperäinen liike-energia on:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}}

Lopullinen liike-energia on:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Asetetaan nämä kaksi yhtä suureksi (koska kineettinen kokonaisenergia pysyy samana):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Kun nämä kaksi yhtälöä yhdistetään

Nämä yhtälöt voidaan ratkaista suoraan v_i löytämiseksi, kun u_i tunnetaan, tai päinvastoin. Seuraavassa on esimerkkitehtävä, joka voidaan ratkaista joko momentin tai energian säilymisen avulla:

Esimerkiksi:

Pallo 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s.

Pallo 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s.

Törmäyksen jälkeen:

Pallo 1: v = -8,5 m/s.

Pallo 2: v = tuntematon ( Esitämme sen v:llä ).

Käyttämällä momentin säilymistä:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}}

Kun olemme tehneet kertolaskun ja sitten vähentäneet molemmista sivuista 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} , saamme:

  12 - 30 + 25.5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}

Laskemalla vasemman puolen summa ja jakamalla se sitten 5:llä {\displaystyle 5} saadaan:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}} , ja jakamalla lopuksi saadaan:   1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v}

Olisimme voineet ratkaista tämän ongelman myös energian säilymisen avulla:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}^{2}}{2}}}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}} }}

Kun molemmat puolet kerrotaan luvulla 2 {\displaystyle 2} ja tehdään sitten kaikki tarvittavat kertoimet, saadaan tulokseksi:

  48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}

Kun vasemmalla olevat luvut lasketaan yhteen, vähennetään molemmista luvuista 216,75 {\displaystyle 216.75} ja jaetaan luvut 5:llä {\displaystyle 5} , saadaan tulos:

  2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

Kun molempien puolien neliöjuuri lasketaan, saadaan vastaukseksi v = ± 1.5 {\displaystyle v=\pm 1.5}. .

Valitettavasti meidän on edelleen käytettävä momentin säilymistä selvittääksemme, onko v {\displaystyle v} positiivinen vai negatiivinen.