Hooken laki — jousen venymä, kimmoraja ja lineaarinen elastisuus

Hooken laki selitetty: jousen venymä, kimmoraja ja lineaarinen elastisuus käytännön esimerkein ja laskuilla — nopea opas materiaalien käyttäytymiseen.

Se on Robert Hooken löytämä mekaniikan ja fysiikan laki.

Tämän kimmoteorian mukaan jousen venymä on verrannollinen siihen kohdistuvaan kuormitukseen. Monet materiaalit noudattavat tätä lakia niin kauan kuin kuormitus ei ylitä materiaalin kimmorajaa. Materiaaleja, joille Hooken laki on käyttökelpoinen, kutsutaan lineaarisesti elastisiksi tai "Hookean" -materiaaleiksi.

Määritelmä ja matemaattinen muoto

Hooken laki yksinkertaisimmillaan kirjoitetaan muodossa F = −k x, jossa

• F on jouseen kohdistuva voima (Newtonia, N),
• k on jousivakio tai jäykkyys (N/m),
• x on venymä tai poikkeama tasapainoasennosta (metreinä, m).

Merkintä negatiivisesta merkistä ilmaisee voiman suunnan: jousi pyrkii palauttamaan alkuperäiseen pituuteensa. Lineaarinen suhde tarkoittaa, että venymä kasvaa suoraan verrannollisesti voimaan niin kauan kuin laki pätee.

Kimmoraja ja lineaarinen elastisuus

Kimmoraja (tai yleisemmin elastic limit/proportional limit) on se kuormitustaso, jonka alapuolella materiaali käyttäytyy palautuvasti ja jännitys on verrannollinen venymään. Jos kuormitus ylittää tämän rajan, materiaalissa voi alkaa plastinen muodonmuutos, eikä alkuperäistä muotoa välttämättä saada takaisin.

On hyvä erottaa kaksi läheistä käsitettä:

• Suhteellisuusraja (proportional limit) – piste, jossa jännitys ja venymä eivät enää ole täsmälleen verrannollisia.
• Elastic limit / kimmoraja – suurin kuormitus, jonka jälkeen plastinen (pysyvä) muodonmuutos alkaa.

Lineaarisesti elastisilla materiaaleilla nämä rajat ovat tarpeeksi lähellä, että Hooken lakia voidaan soveltaa suunnittelussa ja laskuissa pienillä venymillä.

Jännitys-venymäyhteys ja Youngin moduuli

Monilla rakenneongelmilla käytetään jännitys-venymä -esitystä. Hooken laki jännityksen σ ja venymän ε välillä on

σ = E · ε,

missä E on Youngin (kimmokerroin) moduuli (Pascal, Pa). Tämä on materiaalin ominaisuus, joka kertoo, kuinka jäykkä materiaali on. Yhden kappaleen jousivakio k liittyy E:hen ja kappaleen geometriaan esimerkiksi tangossa: k = (E · A) / L, missä A on poikkipinta-ala ja L alkuperäinen pituus.

Työ ja varastoitunut energia

Venytettyyn jouseen varastoituu potentiaalienergiaa. Lineaariselle jouselle työ (energia) venytykseen x saakka on

U = 1/2 · k · x².

Tämä kaava pätee, kun Hooken laki on voimassa koko venymän ajan.

Sovelluksia ja rajoituksia

• Hooken lakia käytetään laajasti mekaniikassa, rakennesuunnittelussa, materiaalitieteessä ja tarkan mittauksen laitteissa (esim. vaa'at, jouset, kiihtyvyysanturit).
• Laki pätee vain pienille venymille ja lineaarisesti elastisille materiaaleille. Suurilla muodonmuutoksilla ja monilla polymeereillä, kumilla tai viskoelastisilla materiaaleilla käyttäytyminen poikkeaa (hystereesi, aika-riippuvuus, plastisuus).
• Anisotrooppisissa materiaaleissa jäykkyys voi riippua suunnasta, jolloin yksinkertainen skalaarimuotoinen Hooken laki ei riitä — tarvitaan jännitys-venymä-tensorit ja elastisuusmatriisi.

Mikroskooppinen selitys

Atomitasolla Hooken lain lineaarisuus syntyy siitä, että atomien välisten sidosten potentiaalienergia voidaan pienissä poikkeamissa approksimoida harmonisella (neljänteen asti) potentiaalilla. Tämä johtaa siihen, että voima on likimain suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta.

Mittaaminen ja käytännön huomioita

• Lineaarisen alueen määrittely tapahtuu usein vetokokeella tai jännitys-venymä-mittauksella. Piirtämällä jännitys-venymä-käyrän voidaan löytää suhteellisuus- ja kimmorajat.
• Turvallisuussuunnittelussa täytyy huomioida, että kimmorajan ylitys voi johtaa pysyviin vaurioihin tai murtumiseen. Käytännössä suunnittelussa käytetään turvakertoimia, jotta materiaalit toimivat Hookean-alueella.

Yhteenvetona: Hooken laki kuvaa lineaarista ja palautuvaa käyttäytymistä, jossa voima on suoraan verrannollinen venymään. Se on voimakas ja käytännöllinen likimääräinen malli monille materiaaleille, mutta sen soveltamisalue on rajallinen — ylitettäessä kimmoraja käyttäytyminen muuttuu ei-lineaariseksi ja mahdollisesti plastiseksi.

Hae kirjaimella