Mikä on Gaussin Theorema Egregium?
K: Mikä on Gaussin Theorema Egregium?
A: Gaussin Theorema Egregium on merkittävä differentiaaligeometrian tulos, joka koskee pintojen kaarevuutta ja jonka Carl Friedrich Gauss todisti.
K: Miten kaarevuus voidaan määrittää Gaussin Egregium-teoreman mukaan?
V: Gaussin Theorema Egregiumin mukaan kaarevuus voidaan määrittää pelkästään mittaamalla kulmia, etäisyyksiä ja niiden nopeuksia pinnalla.
K: Onko kaarevuuden määrittämiseksi tarpeen puhua erityisestä tavasta, jolla pinta on upotettu ympäröivään kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen?
V: Ei, ei ole tarpeen puhua siitä, millä tavalla pinta on upotettu ympäröivään kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen, jotta voidaan määrittää kaarevuus Gaussin Theorema Egregiumin mukaisesti.
Kysymys: Muuttuuko pinnan gaussilainen kaarevuus, jos pintaa taivutetaan venyttämättä sitä?
V: Ei, pinnan Gaussin kaarevuus ei muutu, jos pintaa taivutetaan venyttämättä sitä Gaussin Egregium-teoreman mukaisesti.
K: Kuka esitti lauseen tällä tavalla?
V: Gauss esitti lauseen tällä tavalla.
Kysymys: Minkä vuoksi teoreema on merkittävä?
V: Lause on "merkittävä", koska Gaussin kaarevuuden lähtömääritelmässä käytetään suoraan hyväksi pinnan sijaintia avaruudessa. On siis varsin yllättävää, että tulos ei riipu sen upotuksesta huolimatta kaikista taivutus- ja vääntömuodonmuutoksista, jotka sille tehdään.
Kysymys: Millä tavalla Gauss esitti lauseen?
V: Gauss esitti lauseen siten, että jos kaareva pinta kehitetään minkä tahansa toisen pinnan päälle, kaarevuuden mitta kussakin pisteessä pysyy muuttumattomana.
