Vääntö mekaniikassa: vääntömomentti, leikkausjännitys ja kiertymä

Vääntö mekaniikassa — perusteet vääntömomentista, leikkausjännityksestä ja kiertymästä: kaavat, esimerkit ja suunnitteluohjeet rakenteiden analysointiin.

Kiinteän aineen mekaniikassa vääntö tarkoittaa kappaleen pyörimissuuntaista muodonmuutosta, joka syntyy kohdistetusta vääntömomentista. Pyöreissä poikkileikkauksissa väännön aiheuttama leikkausjännitys on tangentin suuntainen ja kohtisuorassa säteeseen nähden. Oletuksena yleensä on homogeeninen, isotrooppinen ja elastinen materiaali sekä pieniä kulmamuutoksia, jolloin poikkileikkauksen muoto pysyy ympyränä (Saint-Venantin periaate). Epäpyöreissä poikkileikkauksissa esiintyy usein warppausta, ja käsittely vaatii erillisen torsio- tai sotkuvoimavakion käyttämistä.

Leikkausjännitys akselin pisteessä on:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

Tässä lausekkeessa jännitys kasvaa lineaarisesti etäisyyden r kanssa ja on suurimmillaan poikkileikkauksen reunalla. Maksimijännitys saadaan r = R (ulkosäde): τ_max = T R / J. Leikkausvenymä voidaan kirjoittaa paikallisesti muodossa γ = r · dθ/dx, ja Hooken lain mukaan τ = G γ, josta saatava suhde yhdenmukaistaa yllä olevan kaavan.

Kiertymiskulma koko pituudelle L voidaan määrittää käyttäen:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Missä:

• T = kohdistettu vääntömomentti (esim. N·m)
• r = etäisyys pyörimiskeskipisteestä kohtisuoraan akselia kohti (m)
• J = polaarinen hitausmomentti (myös polarinen momentti, yksikkö m4). Tämä on geometrinen suure, joka määrää poikkileikkauksen kyvyn vastustaa vääntöä.
• L = akselin pituus tai tarkasteltava pituus (m)
• G = leikkausmoduuli (särömoduuli) eli materiaalin kimmomoduli leikkaustilassa (Pa)
• θ = kokonaiskiertymä (radianeina)

Polaarinen hitausmomentti J esimerkkimuodot

Yleisimmät suljetun, pyöreän poikkileikkauksen J-arvot (r = säde, R_o ja R_i ulko- ja sisäsäteet):

• Massiivinen ympyrä: J = (π/2) R^4
• Putki (hollow circle): J = (π/2) (R_o^4 − R_i^4)

Lisähavaintoja ja oletukset

• Kaavat τ = Tr/J ja θ = TL/(JG) pätevät suoraan pyöreille poikkileikkauksille, homogeenisille ja isotrooppisille materiaaleille sekä lineaariselle elastisuudelle.
• Non-pyöreissä poikkileikkauksissa esiintyy warppausta: tällöin käytetään torsionvakioita (J_t tai C_t), ja analyysi vaatii yleensä numeerisia menetelmiä tai taulukoituja ratkaisuja.
• Saint-Venantin periaate: paikalliset kuormituksen epäyhtenäisyydet tasaantuvat riittävän kaukanä alueella, jolloin yllä olevat yhtälöt pätevät käytännössä akselin keskivälillä.
• Yksiköiden tarkistus: jännitys τ ja moduuli G SI-yksiköissä Pa (N/m2), T N·m, r m, J m4, θ rad.

Soveltaminen suunnittelussa

Suunnittelussa käytetään usein τ_max = T R / J vertailuarvona verrattaessa materiaalin sallittuun leikkausjännitykseen. Turvakertoimet, kulutus, materiaalin anisotropia sekä yhdistelmakuormat (esim. vääntö + taivutus) on otettava huomioon. Epäpyöreiden poikkileikkausten kohdalla kannattaa käyttää tarkoitukseen sopivaa torsioanalyysiä tai numeerisia työkaluja (esim. FEM).

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mitä on vääntö?

K: Miten leikkausjännitys liittyy vääntöön?

K: Millä yhtälöllä voidaan laskea leikkausjännitys akselin pisteessä?

Kysymys: Mitä yhtälöä voidaan käyttää kiertymiskulman määrittämiseen?

K: Mitä "T" tarkoittaa leikkausjännityksen ja kiertymiskulman yhtälöissä?

K: Mitä "r" tarkoittaa leikkausjännityksen yhtälössä?

K: Mitä "J" tarkoittaa molemmissa yhtälöissä?

Hae kirjaimella