Polaarinen pinta-alan toinen momentti (J) – määritelmä ja kaavat

Selkeä määritelmä ja kaavat polaariselle pinta-alan toiselle momentille (J). Käytännön esimerkit, laskentamenetelmät ja yksiköt väännön analyysiin.

Huomautus: Eri tieteenaloilla käytetään termiä hitausmomentti eri momentteihin. Fysiikassa inertiamomentti on tarkalleen ottaen massan toinen momentti suhteessa etäisyyteen akselista, joka kuvaa kappaleen kulmakiihtyvyyttä kohdistetun vääntömomentin vaikutuksesta. Insinööritieteissä (erityisesti kone- ja rakennustekniikassa) inertiamomentilla tarkoitetaan yleisesti pinta-alan toista momenttia. Kun luet polaarista inertiamomenttia, tarkista, että siinä viitataan "polaariseen pinta-alan toiseen momenttiin" eikä inertiamomenttiin. Polaarisen toisen pinta-alamomentin yksikkö on pituus neljänteen potenssiin (esim. m 4 {\displaystyle m^{4}} tai i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), kun taas inertiamomentti on massa kertaa pituus neliössä (esim. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} tai l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Määritelmä ja merkitys

Polaarinen toinen pinta-alamomentti (tunnetaan myös nimellä "polaarinen inertiamomentti") on pinta-alan toinen momentti, joka kuvaa poikkileikkauksen ominaisuutta vastustaa vääntöä. Se liittyy vääntömomentin synnyttämään kulmaan ja on tärkeä mitattaessa akselien ja palkkien vastusta torsioon eli vääntöön.

Taivutuksessa käytetään usein poikkileikkauksen toista momenttia kuvaamaan vastusta taivutukselle, kun taas väännön yhteydessä käytetään polaarista toista momenttia. Kun vääntö on akselin neutraaliakselia vastaan kohtisuorassa olevassa tasossa, poikkileikkauksen muoto määrittää, kuinka paljon momentti aiheuttaa kiertymää.

Merkintä, yksiköt ja ero inertiamomenttiin

Poikkileikkauksen toista momenttia merkitään yleensä kirjaimella I {\displaystyle I}. Napakohtainen (polaarinen) pinta-alan toinen momentti merkitään usein joko I z {\displaystyle I_{z}} tai kirjaimella J {\displaystyle J}.

Yksikkönä on pituuden neljäs potenssi: SI-järjestelmässä m⁴ (m 4 {\displaystyle m^{4}}), brittiläisissä yksiköissä tuumat neljänteen (in⁴) (i n 4 {\displaystyle in^{4}}).

Matemaattinen määritelmä ja suhde tasomomentteihin

Polaarisen pinta-alan toisen momentin suora määritelmä integraalimuodossa yli poikkileikkauksen alueen R on:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

Kun koordinaatisto valitaan siten, että piste O on origossa ja pisteen (x,y) etäisyys origosta on ρ, voidaan kirjoittaa

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

Tämän perusteella polaarinen momentti voidaan jakaa x- ja y-komponentteihin:

J = I x + I y {\displaystyle \therefore J=I_{x}+I_{y}}

Missä

• I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy}
• I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Suljetut muodot: sylinteri ja ontto sylinteri

Monille yksinkertaisille poikkileikkauksille on olemassa suljetut kaavat. Erityisesti sileille pyöreille poikkileikkauksille (kiinteä tai ontto ympyrärengas) polaarinen momentti lasketaan seuraavasti:

• Kiinteä (täysi) ympyrä: J = (π/2)·r⁴ = π·d⁴/32, missä r on säde ja d on halkaisija.
• Ontto ympyrärengas (sylinterinen putki): J = (π/2)·(r_o⁴ − r_i⁴) = π·(D_o⁴ − D_i⁴)/32, missä r_o ja r_i ovat ulko- ja sisäsäteet (D_o ja D_i niiden halkaisijat).

Käyttö väännön laskennassa

Polaarista pinta-alan toista momenttia käytetään yhdessä materiaalin leikkausmoduulin G kanssa laskemaan palkin kiertymä vääntömomentin vaikutuksesta. Vakioperusteinen kaava suoran, pyöreän akselin pituudelle l ja vääntömomentille T on

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

Tässä T on kohdistettu momentti (vääntömomentti) T {\displaystyle T}, l on palkin pituus l {\displaystyle l}, G on materiaalin leikkausmoduuli G {\displaystyle G} ja J polaarinen toinen pinta-alamomentti J {\displaystyle J}.

Käytännön huomioita ja rajoituksia

• Edellä oleva yhtälö pätee suoriin, ympyrämäisiin akselipalkkeihin, joissa ei tapahdu muodonmuutoksen aiheuttamaa warppausta (aukkojen tai ei-symmetristen muotojen tapauksessa). Epäpyöreillä poikkileikkauksilla vääntö käyttäytyy monimutkaisemmin ja tarvitaan vääntövakiota (torsional rigidity) tai korjauskertoimia.
• Ei-sylinterimäisissä muodoissa (esimerkiksi suorakaide tai I-profiili) pojittaisesta leikkausjakaumasta johtuva warppaus ja leikkausjännitykset muuttavat käytännön jäykkyyttä. Tällöin käytetään vääntöteoriaa, joka ottaa huomioon warppauksen ja ratkaisuna voi olla vääntökertoimen K käyttäminen J:n sijaan.
• Polaarinen toinen momentti kuvaa ainoastaan geometriaan perustuvaa jäykkyyttä. Materiaaliominaisuuksien osuus (leikkausjäykkyys) kuvataan leikkausmoduulilla G; kokonaisreaktio riippuu molemmista tekijöistä.

Esimerkkejä käytöstä

Polaarista toista momenttia käytetään muun muassa:

• ajoneuvojen akselien ja vetoakselien vääntölujuuden arvioinnissa (esimerkiksi akselissa tai vetoakselissa),
• koneakselien ja pyörivien runkorakenteiden suunnittelussa,
• rakennusrakenteiden ja sillan poikkileikkausten analysoinnissa, joissa vääntö kuormitus voi esiintyä (esimerkiksi tuulikuorman aiheuttama kiertyminen).

Yhteenveto

Polaarinen pinta-alan toinen momentti J on geometrinen suure, joka mittaa poikkileikkauksen kykyä vastustaa vääntöä. Se on summa kahdesta ortogonaalisesta tasomomentista: J = I_x + I_y. Yhdistettynä materiaalin leikkausmoduuliin G se määrää, kuinka paljon tietty vääntömomentti aiheuttaa kulmakiertymän θ pylväässä tai akselissa. Yksinkertaisissa, erityisesti pyöreissä poikkileikkauksissa J:lle on olemassa suljetut kaavat; monimutkaisemmissa muodoissa tarvitaan korjauskertoimia ja edistyneempää vääntöanalyysiä.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on hitausmomentti fysiikassa?

K: Mitä polaarinen toinen pinta-alamomentti tarkoittaa tekniikassa?

Kysymys: Miten lasketaan polaarinen toinen pinta-alamomentti?

Hae kirjaimella