Polaarinen hitausmomentti

Huomautus: Eri tieteenaloilla käytetään termiä hitausmomentti eri momentteihin. Fysiikassa inertiamomentti on tarkalleen ottaen massan toinen momentti suhteessa etäisyyteen akselista, joka kuvaa kappaleen kulmakiihtyvyyttä kohdistetun vääntömomentin vaikutuksesta. Insinööritieteissä (erityisesti kone- ja rakennustekniikassa) inertiamomentilla tarkoitetaan yleisesti pinta-alan toista momenttia. Kun luet polaarista inertiamomenttia, tarkista, että siinä viitataan "polaariseen pinta-alan toiseen momenttiin" eikä inertiamomenttiin. Polaarisen toisen pinta-alamomentin yksikkö on pituus neljänteen potenssiin (esim. m 4 {\displaystyle m^{4}} tai i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), kun taas inertiamomentti on massa kertaa pituus neliössä (esim. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} tai l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Polaarinen toinen pinta-alamomentti (tunnetaan myös nimellä "polaarinen inertiamomentti") on mitta, jolla mitataan kappaleen kykyä vastustaa vääntöä sen muodon funktiona. Se on yksi osa pinta-alan toista momenttia, joka liittyy kohtisuoran akselin teoreemaan, jossa tasomaisen pinta-alan toisen momentin yhteydessä käytetään palkin poikkileikkauksen muotoa kuvaamaan sen kestävyyttä muodonmuutosta (taivutusta) vastaan, kun siihen kohdistetaan voima, joka kohdistuu neutraaliakselin suuntaiseen tasoon, ja polaarisen pinta-alan toisen momentin yhteydessä käytetään palkin poikkileikkauksen muotoa kuvaamaan palkin kestävyyttä muodonmuutosta (vääntöä) vastaan, kun siihen kohdistetaan momentti (vääntömomentti) tasossa, joka on kohtisuorassa palkin neutraaliakseliin nähden. Tasomomenttia merkitään useimmiten kirjaimella I {\displaystyle I}, mutta napakohtaista pinta-alan toista momenttia merkitään useimmiten joko I z {\displaystyle I_{z}} tai I z {\displaystyle I_{z}}. tai kirjaimella J {\displaystyle J}. , tekniikan oppikirjoissa.

Polaarisen pinta-alan toisen momentin laskettuja arvoja käytetään useimmiten kuvaamaan kiinteän tai onton sylinterimäisen akselin vääntökestävyyttä, kuten ajoneuvon akselissa tai vetoakselissa. Kun arvoja sovelletaan ei-sylinterimäisiin palkkeihin tai akseleihin, pinta-alan polaarisen toisen momentin laskelmat muuttuvat virheellisiksi akselin/palkin vääntymisen vuoksi. Näissä tapauksissa olisi käytettävä vääntövakiota, jossa arvon laskentaan lisätään korjausvakio.

Polaarinen toinen pinta-alamomentti kantaa pituusyksiköt neljänteen potenssiin ( L 4 {\displaystyle L^{4}} ); metrisen yksikköjärjestelmän metrit neljänteen potenssiin ( m 4 {\displaystyle m^{4}} ) ja brittiläisen yksikköjärjestelmän tuumat neljänteen potenssiin ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} ). Suoran laskennan matemaattinen kaava annetaan moninkertaisena integraalina muodon pinta-alan yli, R {\displaystyle R} etäisyydellä ρ {\displaystyle \rho } mielivaltaisesta akselista O {\displaystyle O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

Yksinkertaisimmillaan polaarinen pinta-alan toinen momentti on kahden tasomaisen pinta-alan toisen momentin, I x {\displaystyle I_{x}} ja I y {\displaystyle I_{y}}, summa. . Pythagoraan lauseen avulla etäisyys akselista O {\displaystyle O} ρ , ρ {\displaystyle \rho } voidaan jakaa sen x- ja y-komponentteihin ja pinta-alan muutos d A {\displaystyle dA} voidaan jakaa sen x- ja y-komponentteihin. jaettuna sen x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} komponentteihin d x {\displaystyle dx} ja d y {\displaystyle dy} .

Annetaan kaksi kaavaa pinta-alan toisen momentin määrittämiseksi:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} ja I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Suhde pinta-alan polaariseen toiseen momenttiin voidaan esittää seuraavasti:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \täten J=I_{x}+I_{y}}

Pohjimmiltaan, kun polaarisen pinta-alan toisen momentin suuruus kasvaa (eli kun esineen poikkileikkaus on suuri), tarvitaan enemmän vääntömomenttia esineen vääntöpoikkeaman aikaansaamiseksi. On kuitenkin huomattava, että tämä ei vaikuta mitenkään vääntöjäykkyyteen, jonka sen materiaalit antavat esineelle; pinta-alan polaarinen toinen momentti on yksinkertaisesti jäykkyys, jonka esine saa aikaan pelkästään sen muodon ansiosta. Materiaaliominaisuuksien antama vääntöjäykkyys tunnetaan leikkausmoduulina G {\displaystyle G} . Yhdistämällä nämä kaksi jäykkyyden osatekijää voidaan laskea palkin kiertymiskulma θ, \displaystyle \theta } käyttämällä:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

Jossa T {\displaystyle T} on kohdistettu momentti (vääntömomentti) ja l {\displaystyle l} on palkin pituus. Kuten nähdään, suuremmat vääntömomentit ja palkin pituudet johtavat suurempiin kulmapoikkeamiin, jolloin suuremmat arvot polaariselle toiselle pinta-alamomentille J {\displaystyle J} ja materiaalin leikkauskertoimen G {\displaystyle G} arvot. pienentävät kulmapoikkeamien mahdollisuutta.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on hitausmomentti fysiikassa?

K: Mitä polaarinen toinen pinta-alamomentti tarkoittaa tekniikassa?

Kysymys: Miten lasketaan polaarinen toinen pinta-alamomentti?

Hae kirjaimella