Transitiivisuus – määritelmä ja merkitykset kieliopissa ja matematiikassa

Transitiivisuus – selkeä määritelmä ja käytännön esimerkit kieliopista ja matematiikasta. Ymmärrä käsite nopeasti ja sovella sitä helposti.

Transitiivisuus voi tarkoittaa:

• kieliopillista transitiivisuutta — verbin valenssia eli sitä, tarvitseeko verbi suoran objektin;
• matemaattista transitiivisuutta — ominaisuutta relaatiolle tai järjestelmälle, jossa välittävä suhde säilyy ketjussa;
• logiikan ja päättelyn transitiivisuutta — esimerkiksi implikaation ketjutettavuutta;
• verkko- ja yhteisötieteiden transitiivisuutta — kuinka todennäköisesti "ystävät ystävän" ovat myös ystäviä (triadikateoria, klusteroituminen).

Kielioppi: transitiiviset ja intransitiiviset verbit

Kieliopillisessa merkityksessä transitiivinen verbi ottaa yleensä suorana objektina (eli täydentimenä) olevan lausekkeen. Esimerkkejä suomen kielestä:

• Transitiivinen: "Minä syön omenan." — verbi syödä vaatii objektin (omenan).
• Intransitiivinen: "Hän nukkuu." — verbi nukkua ei tarvitse suoraa objektia.
• Ditransitiivinen: verbi, joka voi ottaa kaksi objektia, esim. "Antaa": "Annan hänelle kirjan." — vastaanottaja ja annettava asia.

Verbin transitiivisuus liittyy myös verbin valenssiin (montako argumenttia verbi tarvitsee) ja sitä ilmaistaan eri kielissä eri tavoilla: sijamuodoilla (esim. objektin partitiivi tai akkusatiivi), prepositioilla tai verbin sijannolla lauseessa. Joissain kielissä verbit voivat vaihtaa transitiivisuutta (transitivointi / detransitivointi) esimerkiksi passiivin, refleksiivien tai kausaalisien muodostusten kautta.

Matematiikka: relaation transitiivisuus

Matematiikassa relaation transitiivisuus tarkoittaa seuraavaa: relaation R määriteltynä joukossa X on transitiivinen, jos kaikille a, b, c ∈ X pätee

jos aRb ja bRc, niin myös aRc.

Esimerkkejä:

• Transitiivinen relaati o: ≤ lukujoukossa: jos a ≤ b ja b ≤ c, niin a ≤ c.
• Transitiivinen: "on esivanhempi" — jos A on esivanhempi B:lle ja B esivanhempi C:lle, niin A on esivanhempi C:lle.
• Ei-transitiivinen: "on vanhempi kuin" ei ole transitiivinen samaan tarkoitukseen (jos A on vanhempi kuin B ja B vanhempi kuin C, A on vanhempi kuin C — tässä kyllä transitiivisuus pitää), mutta esimerkiksi "on vanhempi kuin" on transitiivinen; kuitenkin suhteen kuten "on vanhempi kuin" ja "on suorassa suhteessa" erot voivat aiheuttaa väärinkäsityksiä — selkeä esimerkki ei-transitiivisesta relatiosta on "on vanhempi kuin" yhdistettävä muihin ominaisuuksiin voi tuottaa ei-toivotun tuloksen. Parempi esimerkki ei-transitiivisesta ominaisuussuhteesta: "on kulkenut saman reitin" ei välttämättä ole transitiivinen.
• Ei-transitiivinen konkreettinen esimerkki: relaatio "on vanhempi kuin" on todellisuudessa transitiivinen (jos A > B ja B > C, niin A > C). Sen sijaan relaatio "on ystävä" ei yleensä ole transitiivinen: A voi olla ystävä B:n kanssa ja B ystävä C:n kanssa, mutta A ja C eivät välttämättä ole ystäviä.

Matematiikassa myös erityiset relaatiot hyödyntävät transitiivisuutta:

• Osajärjestys (partial order): relaation pitää olla refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen.
• Vastaavuussuhde (equivalence relation): refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

Transitiivinen sulku (transitive closure) on pienin transitiivinen relaation R laajennus: se lisää kaikki ne parit, jotka tarvitaan, jotta transitiivisuus toteutuu. Transitiivisen sulun laskemiseen käytetään esimerkiksi Warshallin algoritmia tai polkujen etsimistä verkoissa.

Logiikka ja päättely

Logiikassa transitiivisuus ilmenee esimerkiksi implikaation yhteydessä: jos A ⇒ B ja B ⇒ C, niin A ⇒ C. Tämä periaate on keskeinen päättelyssä ja todistuksissa, ja näkyy esimerkiksi formaaleissa deductive-systeemeissä ja relaatioiden käsittelyssä.

Verkot ja sosiaaliset tieteet

Verkkoteoriassa ja sosiaalisten verkostojen tutkimuksessa transitiivisuus liittyy triadikateoriaan ja klusteroitumiseen: kuinka usein kahden solmun yhteinen naapuri myös yhdistää ne (kolmion muodostuminen). Tämä mitataan usein klusterointikertoimella. Korkea transitiivisuus tarkoittaa, että "ystävät ystävän" ovat todennäköisesti myös ystäviä — ilmiö voi johtaa yhteisön muodostumiseen ja tiedon leviämiseen.

Lyhyt yhteenveto

• Transitiivisuus kielen tasolla kertoo, tarvitseeko verbi objektin (valenssi).
• Transitiivisuus matematiikassa on relaation ominaisuus, joka sanoo, että suhteen ketjut säilyvät.
• Monilla aloilla transitiivisuus kuvaa ketjutettavuutta: päättelyssä, verkostoissa ja tietorakenteissa se helpottaa ymmärtämään, miten yhteydet tai seuraamukset leviävät.

Jos haluat, voin lisätä tarkempia esimerkkejä eri kielistä, antaa matemaattisia todistusesimerkkejä tai näyttää, miten transitiivinen sulku lasketaan yksinkertaisella algoritmilla.

Hae kirjaimella