Wavelet-muunnos

Aaltomuunnos on signaalin aika-taajuusesitys. Sitä käytetään esimerkiksi kohinan vähentämiseen, ominaisuuksien erottamiseen tai signaalin pakkaamiseen.

Jatkuvan signaalin aaltomuunnos määritellään seuraavasti

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}{right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

jossa

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ on niin sanottu äitiwavelet,
a {\displaystyle a} tarkoittaa wavelet-dilataatiota,
b {\displaystyle b} $b$ tarkoittaa waveletin aikasiirtymää ja
∗ {\displaystyle *} $*$ symboli tarkoittaa kompleksikonjugaattia.

Jos a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ ja b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} $b={a_{0}}^{m}kT$ , missä a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} ja m $T>0$ {\displaystyle m} ja k {\displaystyle k} ovat kokonaislukuvakioita, wavelet-muunnosta kutsutaan diskreetiksi wavelet-muunnokseksi (jatkuvan signaalin).

Jos a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ ja b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}} $b=2^{m}kT$ missä m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , diskreettiä wavelet-muunnosta kutsutaan dyadiseksi. Se määritellään seuraavasti

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

jossa

m {\displaystyle m} on taajuusasteikko,
k {\displaystyle k} on aika-asteikko ja
T {\displaystyle T} $T$ on vakio, joka riippuu emovaveletista.

On mahdollista kirjoittaa dyadinen diskreetti wavelet-muunnos uudelleen seuraavasti

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

missä h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ on jatkuvan suodattimen impulssiominaisuus, joka on sama kuin ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ annetulle m {\displaystyle m}} .

Vastaavasti dyadinen wavelet-muunnos diskreetin ajan (diskreetin signaalin) kanssa määritellään seuraavasti

Taajuuserottelusignaalin jatkuva wavelet-muunnos. Käytetty symlet, jossa on 5 katoamishetkeä.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on aaltomuunnos?

A: Aaltomuunnos on signaalin aika-taajuusesitys, jota käytetään kohinan vähentämiseen, ominaisuuksien erottamiseen tai signaalin pakkaamiseen.

K: Miten jatkuvien signaalien wavelet-muunnos määritellään?

V: Jatkuvien signaalien wavelet-muunnos määritellään integraalina funktioiden kaikkien arvojen yli kerrottuna emowaveletilla, jossa parametrit "a" ja "b" kuvaavat dilaatiota ja aikasiirtymää.

K: Mitä ovat dyadiset diskreetit wavelet-muunnokset?

V: Dyadiset diskreetit wavelet-muunnokset ovat diskreettejä versioita tavallisista diskreeteistä wavelet-muunnoksista, joilla on taajuusasteikko "m", aika-asteikko "k" ja vakio "T". Ne voidaan kirjoittaa uudelleen integraalina funktion kaikkien arvojen yli kerrottuna impulssisuodattimella, joka on identtinen emo-waveletin kanssa tietyllä m:llä.

Kysymys: Mitä tarkoitetaan tässä yhteydessä "emoaveletillä"?

V: Tässä yhteydessä "emo-waveleteilla" tarkoitetaan funktioita, joita käytetään yhdessä muiden funktioiden kanssa perustana tietynlaisen muunnoksen (tässä tapauksessa wavelettimuunnoksen) laskemiselle.

K: Miten lasketaan dyadiset diskreetit waveletit?

V: Dyadiset diskreetit aaltomuodosteet lasketaan käyttämällä integraalia funktion kaikkien arvojen yli kerrottuna impulssiominaisuussuodattimella, joka on identtinen emoaaltomuodosteen kanssa tietyllä m:llä. Lisäksi ne vaativat parametreiksi taajuusasteikon m, aika-asteikon k ja vakion T.

Kysymys: Mitä a ja b merkitsevät, kun määritellään jatkuvia aaltomuodosteita?

V: Jatkuvia wavelettejä määriteltäessä "a" tarkoittaa dilataatiota ja "b" tarkoittaa aikasiirtymää.