Wavelet (aaltomuunnos) – määritelmä, ehdot ja sovellukset

Wavelet on matemaattinen funktio, jota käytetään kirjoittamaan funktio tai signaali muiden, yksinkertaisemmin tutkittavien funktioiden muodossa. Monet signaalinkäsittelytehtävät voidaan nähdä wavelet-muunnoksen avulla. Epävirallisesti sanottuna signaali voidaan nähdä linssin alla suurennoksella, jonka antaa waveletin mittakaava. Tällöin näemme vain sen informaation, joka määräytyy käytetyn waveletin muodon mukaan.

Ranskalaiset fyysikot Jean Morlet ja Alex Grossman käyttivät englanninkielistä termiä "wavelet" 1980-luvun alussa. He käyttivät ranskankielistä sanaa "ondelette" (joka tarkoittaa "pientä aaltoa"). Myöhemmin tämä sana siirrettiin englanniksi kääntämällä "onde" sanaksi "wave", jolloin saatiin "wavelet".

Wavelet on (kompleksinen) funktio Hilbert-avaruudesta ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Käytännön sovelluksia varten sen tulisi täyttää seuraavat ehdot.

Sillä on oltava rajallinen energia.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Sen on täytettävä tutkittavaksi ottamisen edellytys.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , missä ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ on Fourier-muunnos ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Nollakeskiarvoehto seuraa hyväksyttävyysehdosta.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funktiota ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ kutsutaan äitiwaveletiksi. Sen käännetty (siirretty) ja laajennettu (skaalattu) normalisoitu versio määritellään seuraavasti.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Alkuperäisen emo-waveletin parametrit ovat a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ ja b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Kääntämistä kuvataan b $b$ {\displaystyle b} -parametrilla ja laajentamista a {\displaystyle a} -parametrilla.

Ehdot tiiviisti

Rajallinen energia: ψ kuuluu L2(R), eli ∫ |ψ(t)|^2 dt on äärellinen. (Ks. yllä oleva kuva.)
Hyväksyttävyys (admissibility): Fourier-muunnoksen ψ̂ tulee täyttää integraaliehto ∫_0^∞ |ψ̂(ω)|^2/ω dω < ∞. Tämä varmistaa, että muunnos on käännettävissä. (Ks. yllä oleva kuva.)
Nollakeskiarvo: ∫ ψ(t) dt = 0. Tämä tarkoittaa, että wavelet ei reagoi jatkuvaan (DC) komponenttiin. (Ks. yllä oleva kuva.)

Intuitio: skaalaus ja siirto

Äitiwavelet ψ(t) toimii perustasona. Sen käännetyt ja skaalatut versiot ψ_{a,b}(t) = (1/√a) ψ((t−b)/a) tarkastelevat signaalia eri aikaskaaloilla ja eri hetkissä. Pieni a vastaa pientä aikaskaalan ikkunaa (korkeita taajuuksia), suuri a antaa suurempaa "suurennosta" (matalia taajuuksia). Parametri b siirtää waveletin ajassa.

Aaltomuunnos (jatkuva)

Jatkuva aaltomuunnos (Continuous Wavelet Transform, CWT) funktion f(t) suhteen määritellään korrelaationa äitiwaveletin eri skaalojen kanssa:

W_f(a,b) = ∫ f(t) · overline{ψ_{a,b}(t)} dt.

Jos ψ täyttää hyväksyttävyysehdon, alkuperäinen signaali voidaan palauttaa käänteisellä muunnoksella:

f(t) = (1/C_ψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} W_f(a,b) ψ_{a,b}(t) (db da) / a^2,

missä C_ψ on äärellinen vakio, joka riippuu ψ:stä (C_ψ = ∫_0^∞ |ψ̂(ω)|^2/ω dω).

Diskreetti aaltomuunnos ja moniresoluutio

Diskreetti aaltomuunnos (DWT) käyttää diskreettejä skaala- ja siirtoparametreja (esim. a = 2^j, b = k·2^j), ja johtaa laskennallisesti tehokkaisiin algoritmeihin perustuen suotimiin ja ali-näytteistykseen (filter-bank). Moniresoluutioanalyysi (MRA) rakentaa ortogonaalisen tai yhtenäisen avaruusketjun, jonka avulla signaali voidaan hajottaa eri resoluutioihin. Tämä mahdollistaa mm. tehokkaan pakkaamisen ja kohinanpoiston.

Tavallisia waveletteja

Haar: yksinkertaisin, kompakti tuki, yksi nollamomentti, epäsmoothi.
Daubechies: perhe, jolla on useita nollamomentteja ja kompaktit kannat; hyviä pakkaamiseen.
Symlet: symmetrisempi versio Daubechies-waveleteista.
Morlet: lähellä Gaussin muotoista kompleksista aaltoa, yleinen jatkuvissa analyysissä (nimi liittyy Morletin työhön).
Meyer, Coiflet, Battle-Lemarié: muita käytettyjä perheitä erilaisilla ominaisuuksilla (säännöllisyys, tuki, momentit).

Ominaisuuksia

Aikaspektrinen lokalisointi: waveletit ovat samanaikaisesti lokalisoituneita ajassa ja taajuudessa, toisin kuin puhdas Fourier-analyysi.
Vanhenevat momentit (vanishing moments): suurempi määrä nollamomentteja tarkoittaa, että wavelet ei reagoi polynomimuotoisiin taustoihin — hyödyllistä reunojen ja epäjatkuvuuksien havaitsemisessa.
Kompakti tuki ja säännöllisyys: tuki vaikuttaa laskentatehokkuuteen ja reunavaikutuksiin; säännöllisyys liittyy rekonstruoidun signaalin jatkuvuuteen.
Ortonormaalius: tietyt wavelet-kannat muodostavat ortogonaalisen basisin, mikä tekee hajotuksesta ja rekonstruoinnista numeerisesti vakaata.

Sovellukset

Signaalinkäsittely: kohinanpoisto, reunojen tunnistus, aikasarjojen analyysi.
Kuvankäsittely: JPEG 2000 -kuvapakkaus käyttää aaltomuunnoksia; kuvien pakkaus ja parannus.
Biolääketieteelliset signaalit: EEG- ja ECG-signaalien analyysi, piirteiden erottelu ja artefaktien poisto.
Geofysiikka ja seismologia: rakenneanalyysi ja tapahtumien tunnistus.
Tietoliikenne: signaalien modulointi/enkoodaus, ominaisuuksien erotus.
Data-analyysi ja koneoppiminen: ominaisuuksien poiminta ja moniresoluutioanalyysi.

Yhteenveto

Waveletit tarjoavat joustavan ja tehokkaan tavan analysoida signaaleja eri aikaskaaloilla. Ne yhdistävät hyvän ajallisen ja taajuudellisen lokalisoinnin sekä mahdollistavat sekä jatkuvan analyysin (CWT) että tehokkaan diskreetin toteutuksen (DWT). Valinta eri wavelettien välillä perustuu sovelluksen vaatimuksiin: kompaktin tuen ja momenttien määrä, säännöllisyys ja ortogonaalisuus ovat keskeisiä kriteerejä.

Morlet-aaltomuotoinen aaltomuoto

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on wavelet?

A: Aaltoliike on matemaattinen funktio, jota käytetään funktion tai signaalin kirjoittamiseen muiden, yksinkertaisemmin tutkittavien funktioiden muodossa. Sitä voidaan tarkastella linssin alla waveletin mittakaavan antamalla suurennoksella, jolloin voimme nähdä vain sen muodon määrittämän informaation.

K: Kuka otti käyttöön termin "wavelet"?

V: Englanninkielisen termin "wavelet" ottivat käyttöön 1980-luvun alussa ranskalaiset fyysikot Jean Morlet ja Alex Grossman, jotka käyttivät ranskankielistä sanaa "ondelette" (joka tarkoittaa "pientä aaltoa"). Myöhemmin tämä sana siirrettiin englanniksi kääntämällä "onde" sanaksi "wave", jolloin saimme sanan "wavelet".

Kysymys: Mitä aaltomuodon on täytettävä, jotta sitä voidaan käyttää käytännön sovelluksissa?

V: Käytännön sovelluksia varten aaltomuodon energian on oltava rajallinen ja sen on täytettävä hyväksyttävyysehto. Tämän hyväksyttävyysehdon mukaan sen keskiarvon on oltava nolla ja sen on myös täytettävä taajuusintegraali, joka on pienempi kuin ääretön.

K: Mitä tarkoitetaan translaatiolla ja dilataatiolla, kun puhutaan waveleteista?

V: Kääntämisellä tarkoitetaan emoaaltosolujen siirtämistä tai siirtämistä aika-akselia pitkin, kun taas laajentamisella tarkoitetaan emoaaltosolujen skaalaamista tai venyttämistä/supistamista aika-akselia pitkin. Näitä kahta parametria (translaatio ja dilataatio) kuvaavat b ja a.

Kysymys: Mitä tarkoittaa, että waveletin keskiarvo on nolla?

V: Nollakeskiarvo tarkoittaa, että kun integroidaan kaikki t:n arvot negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen, summan pitäisi olla 0 eli ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . Tämä vaatimus seuraa edellä mainitusta hyväksyttävyysehdosta.

Kysymys: Miten emoaaltolaskenta määritellään?

V: Emoaaltosähkökäyrät määritellään alkuperäisten emoaaltosähkökäyrien käännetyn (siirretty) ja laajennetun (skaalattu) version normalisoiduiksi versioiksi, joiden parametrit ovat a = 1 ja b = 0 .