Aallokemuunnos

Wavelet on matemaattinen funktio, jota käytetään kirjoittamaan funktio tai signaali muiden, yksinkertaisemmin tutkittavien funktioiden muodossa. Monet signaalinkäsittelytehtävät voidaan nähdä wavelet-muunnoksen avulla. Epävirallisesti sanottuna signaali voidaan nähdä linssin alla suurennoksella, jonka antaa waveletin mittakaava. Tällöin näemme vain sen informaation, joka määräytyy käytetyn waveletin muodon mukaan.

Ranskalaiset fyysikot Jean Morlet ja Alex Grossman käyttivät englanninkielistä termiä "wavelet" 1980-luvun alussa. He käyttivät ranskankielistä sanaa "ondelette" (joka tarkoittaa "pientä aaltoa"). Myöhemmin tämä sana siirrettiin englanniksi kääntämällä "onde" sanaksi "wave", jolloin saatiin "wavelet".

Wavelet on (kompleksinen) funktio Hilbert-avaruudesta ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Käytännön sovelluksia varten sen tulisi täyttää seuraavat ehdot.

Sillä on oltava rajallinen energia.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Sen on täytettävä tutkittavaksi ottamisen edellytys.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , missä ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ on Fourier-muunnos ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Nollakeskiarvoehto seuraa hyväksyttävyysehdosta.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funktiota ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ kutsutaan äitiwaveletiksi. Sen käännetty (siirretty) ja laajennettu (skaalattu) normalisoitu versio määritellään seuraavasti.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Alkuperäisen emo-waveletin parametrit ovat a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ ja b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Kääntämistä kuvataan b $b$ {\displaystyle b} -parametrilla ja laajentamista a {\displaystyle a} -parametrilla.

Morlet-aaltomuotoinen aaltomuoto

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on wavelet?

A: Aaltoliike on matemaattinen funktio, jota käytetään funktion tai signaalin kirjoittamiseen muiden, yksinkertaisemmin tutkittavien funktioiden muodossa. Sitä voidaan tarkastella linssin alla waveletin mittakaavan antamalla suurennoksella, jolloin voimme nähdä vain sen muodon määrittämän informaation.

K: Kuka otti käyttöön termin "wavelet"?

V: Englanninkielisen termin "wavelet" ottivat käyttöön 1980-luvun alussa ranskalaiset fyysikot Jean Morlet ja Alex Grossman, jotka käyttivät ranskankielistä sanaa "ondelette" (joka tarkoittaa "pientä aaltoa"). Myöhemmin tämä sana siirrettiin englanniksi kääntämällä "onde" sanaksi "wave", jolloin saimme sanan "wavelet".

Kysymys: Mitä aaltomuodon on täytettävä, jotta sitä voidaan käyttää käytännön sovelluksissa?

V: Käytännön sovelluksia varten aaltomuodon energian on oltava rajallinen ja sen on täytettävä hyväksyttävyysehto. Tämän hyväksyttävyysehdon mukaan sen keskiarvon on oltava nolla ja sen on myös täytettävä taajuusintegraali, joka on pienempi kuin ääretön.

K: Mitä tarkoitetaan translaatiolla ja dilataatiolla, kun puhutaan waveleteista?

V: Kääntämisellä tarkoitetaan emoaaltosolujen siirtämistä tai siirtämistä aika-akselia pitkin, kun taas laajentamisella tarkoitetaan emoaaltosolujen skaalaamista tai venyttämistä/supistamista aika-akselia pitkin. Näitä kahta parametria (translaatio ja dilataatio) kuvaavat b ja a.

Kysymys: Mitä tarkoittaa, että waveletin keskiarvo on nolla?

V: Nollakeskiarvo tarkoittaa, että kun integroidaan kaikki t:n arvot negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen, summan pitäisi olla 0 eli ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . Tämä vaatimus seuraa edellä mainitusta hyväksyttävyysehdosta.

Kysymys: Miten emoaaltolaskenta määritellään?

V: Emoaaltosähkökäyrät määritellään alkuperäisten emoaaltosähkökäyrien käännetyn (siirretty) ja laajennetun (skaalattu) version normalisoiduiksi versioiksi, joiden parametrit ovat a = 1 ja b = 0 .