Zermelo–Fraenkelin joukko-oppi (ZF/ZFC) — määritelmä ja aksioomat
Zermelo-Fraenkelin joukko-oppi (lyhenne ZF) on joukko-opin kuvaamiseen käytetty aksioomajärjestelmä. Kun ZF:ään lisätään valinta-aksiooma, järjestelmää kutsutaan ZFC. Se on aksioomajärjestelmä, jota useimmat matemaatikot käyttävät nykyään joukko-opissa.
Kun Russellin paradoksi löydettiin vuonna 1901, matemaatikot halusivat löytää tavan kuvata joukko-oppia, jossa ei olisi ristiriitoja. Ernst Zermelo ehdotti joukko-opin teoriaa vuonna 1908, ja myöhemmin Abraham Fraenkel ja muut muokkasivat ja täydensivät sitä. Nykyinen Zermelo–Fraenkelin aksioomajärjestelmä (ZF) muodostuu useista aksioomista ja aksioomaskeemoista, jotka rajoittavat sallittuja joukkojen muodostustapoja tavalla, joka estää klassiset paradoksit mutta mahdollistaa matematiikan rakentamisen.
Aksioomien tarkoitus ja periaatteet
ZF ei pyri listaamaan kaikkia joukkoja yhdellä lauseella, vaan määrittelee periaatteet, joiden perusteella joukkoja voidaan olettaa tai rakentaa. Aksioomat rajoittavat epämääräistä 'kaikkien joukkojen' käsitettä niin, että ristiriidat kuten Russellin paradoksi eivät synny, mutta samalla ne ovat riittävän voimakkaat antamaan perustan suurimmalle osalle nykymatematiikkaa.
Keskeiset aksioomat (lyhyt kuvaus)
- Extensionality (ulottuvuus): Kaksi joukkoa ovat samat juuri silloin, kun niillä on samat alkio(t).
- Empty set (tyhjä joukko): On olemassa joukko, jolla ei ole alkioita.
- Pairing (parin muodostus): Kahdesta annetusta joukosta voidaan muodostaa joukko, jonka alkioina ovat nämä kaksi joukkoa.
- Union (yhdistämisaksiooma): Jokaiselle joukolle on olemassa sen alkioiden yhteenliitetty joukko (unia).
- Power set (teholuku): Jokaisesta joukosta on olemassa joukko, joka sisältää kaikki sen osajoukot.
- Infinity (äärettömyys): On olemassa ääretön joukko (esimerkiksi luonnollisten lukujen malli).
- Separation / Specification (erottelu): Määrääville lauseille on olemassa osajoukkoja, eli voi muodostaa joukkoja rajaamalla olemassaolevasta joukosta.
- Replacement (korvaus): Kuvauksen avulla määritellyt kuvat kuvaavat joukkoja: jos jokaiselle alkion x joukossa A määritellään yksikäsitteinen kuva f(x), niin f(A) on myös joukko. Tämä on aksioomaskeema, joka mahdollistaa pitkien rakennelmien muodostamisen.
- Foundation / Regularity (säännöllisyys): Jokaisella ei-tyhjällä joukolla on alkio, joka on disjoint eli ei jaa jäseniä joukon kanssa — tämä eliminoi esimerkiksi syklisten jäsenyyssuhteiden mahdollisuuden.
Nämä kuvaukset ovat tarkoitettu intuitiivisiksi; osa kohdista (kuten Separation ja Replacement) on oikeastaan aksiomaskeemoja eli peräkkäisiä lauseita, jotka pätevät kaikille kaavoille tietyssä muodossa.
Valinta-aksiooma ja ZFC
Valinta-aksiooma (Axiom of Choice, AC) on itsenäinen lisäys ZF:ään: se sanoo lyhyesti, että perheestä ei-tyhjiä joukkoja voi valita yksi alkio kustakin joukosta ilman kokoamista varten annettua sääntöä. Kun AC lisätään ZF:ään, saadaan ZFC. Valinnan seurauksia ovat esimerkiksi kaikki vakiintuneet tulokset, kuten kaikkien unioni- ja tuotantorakenteiden olemassaolon teoreemoissa, sekä joidenkin luonnollisten matemaattisten lauseiden todistettavuus. Toisaalta AC:n hyväksyminen johtaa epätavallisiin seuraamuksiin, kuten Banach–Tarskin paradoksiin.
Itsenäisyys- ja konsistenssitulokset
Gödel osoitti 1930-luvulla, että jos ZF on konsistentti, niin myös ZF + AC (eli ZFC) on konsistentti (eli AC ei johda ristiriitaa ZF:ssä). Myöhemmin Paul Cohen kehitti pakkausmenetelmän (forcing) ja 1960-luvulla osoitti, että sekä valinta-aksiooma että Cantorin jatkuvuusongelma (Continuum Hypothesis) ovat itsenäisiä ZF:stä: niiden todennus tai kumoaminen ei seuraa ZF:stä. Näin on syntynyt ymmärrys, että ZF on riittävän joustava ja että joidenkin periaatteiden hyväksyminen on osittain valinnainen perustasolla.
Malli ja kumulatiivinen hierarkia
Yksi hyödyllinen tapa ymmärtää ZF:ää on kumulatiivinen hierarkia V, jossa tasoittain rakennetaan joukkoja ordinaalien avulla: V0 = Ø, V_{α+1} = P(V_α) ja V_λ = ⋃_{β<λ} V_β kun λ on rajaordinaali. Tässä hahmotelmassa kaikki ZF:ssä todetut lauseet pätevät tietyissä malleissa, ja malliteoria auttaa ymmärtämään aksiomien seurauksia ja itsenäisyyksiä.
Käyttö ja vaihtoehtoiset perustukset
ZF/ZFC toimii useimpien nykymatemaattisten rakennelmien perustana: luvut, funktiot, relaatiot, topologiat ja monet muut rakenteet voidaan rakentaa joukko-teoreettisesti. On kuitenkin olemassa vaihtoehtoisia perustuksia, kuten tyypitteinen teoria, kategoriateoria tai New Foundations (NF). Valinta ZF/ZFC:n ja muiden järjestelmien välillä perustuu usein sekä teknisiin että filosofisiin mieltymyksiin.
Yhteenvetona: Zermelo–Fraenkelin joukko-oppi antaa tarkan ja käytännöllisen aksioomiston modernille joukko-opille. Lisättäessä valinta-aksiooma saadaan ZFC, joka on laajasti käytetty ja tutkitusti vakaa perusta suurimmalle osalle matematiikkaa, vaikka jotkin väitteet jäävät sen puitteissa riippumattomiksi.
Axiomit
Aksiooma on väite, joka hyväksytään kyseenalaistamatta ja jolle ei ole todisteita. ZF sisältää kahdeksan aksioomaa.
- Laajennusaksiooma sanoo, että kaksi joukkoa on yhtä suuri, jos ja vain jos niillä on samat elementit. Esimerkiksi joukko { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}}
ja joukko {\displaystyle \{3,1\}}
ovat yhtä suuria. - Perustamisaksio sanoo, että jokainen joukko S {\displaystyle S}
(tyhjää joukkoa lukuun ottamatta) sisältää elementin, joka on disjointti (jolla ei ole yhteisiä jäseniä) S {\displaystyle S}:n kanssa. . - Määrittelyaksio sanoo, että kun joukko S {\displaystyle S} ja predikaatti F {\displaystyle F}
(funktio, joka on joko tosi tai epätosi), on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen ne S {\displaystyle S} elementit, joissa F {\displaystyle F} on tosi. Esimerkiksi jos S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} 
ja F {\displaystyle F} on "tämä on parillinen luku", niin aksiooma sanoo, että joukko { 2 , 6 } {\displaystyle \{2,6\}}
on olemassa. - Parittelun aksiooma sanoo, että kun on kaksi joukkoa, on olemassa joukko, jonka jäsenet ovat täsmälleen nämä kaksi joukkoa. Jos siis on kaksi joukkoa { 0 , 3 } {\displaystyle \{0,3\}}
ja { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}} 
tämä aksiooma sanoo, että joukko { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}}}
on olemassa. - Yhdistämisen aksiooma sanoo, että mille tahansa joukolle on olemassa joukko, joka koostuu vain kyseisen joukon alkioista. Esimerkiksi joukko { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} tämä aksiooma sanoo, että joukko { 0 , 3 , 2 , 5 } {\displaystyle \{0,3,2,5\}}
on olemassa. - Korvaavuuden aksiooma sanoo, että mille tahansa joukolle S {\displaystyle S} ja funktiolle F {\displaystyle F} että joukko, joka koostuu tuloksista, jotka saadaan kutsuttaessa F {\displaystyle F} kaikille S {\displaystyle S} jäsenille, on olemassa. Esimerkiksi jos S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} ja F {\displaystyle F} on "lisää tähän lukuun kymmenen", niin aksiooma sanoo, että joukko { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}}
on olemassa. - Äärettömyyden aksiooma sanoo, että kaikkien kokonaislukujen joukko (kuten Von Neumannin konstruktiossa määritellään) on olemassa. Tämä on joukko { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
- Potenssijoukon aksiooma sanoo, että minkä tahansa joukon potenssijoukko (kaikkien osajoukkojen joukko) on olemassa. Esimerkiksi { 2 , 5 }:n potenssijoukko on { 2 , 5 }. {\displaystyle \{2,5\}} on { { { { } , { 2 } } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}
Valinnan aksiooma
Valinta-aksiooma sanoo, että on mahdollista ottaa yksi objekti jokaisesta joukon alkioista ja muodostaa uusi joukko. Esimerkiksi joukko { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} , valinta-aksiooma osoittaisi, että joukko, kuten { 3 , 5 } } {\displaystyle \{3,5\}}
on olemassa. Tämä aksiooma voidaan todistaa muista aksioomista äärellisille joukoille, mutta ei äärettömille joukoille.
