Zermelo-Fraenkelin joukko-oppi
Zermelo-Fraenkelin joukko-oppi (lyhenne ZF) on joukko-opin kuvaamiseen käytetty aksioomajärjestelmä. Kun ZF:ään lisätään valinta-aksiooma, järjestelmää kutsutaan ZFC:ksi. Se on aksioomajärjestelmä, jota useimmat matemaatikot käyttävät nykyään joukko-opissa.
Kun Russellin paradoksi löydettiin vuonna 1901, matemaatikot halusivat löytää tavan kuvata joukko-oppia, jossa ei olisi ristiriitoja. Ernst Zermelo ehdotti joukko-opin teoriaa vuonna 1908. Vuonna 1922 Abraham Fraenkel ehdotti uutta versiota, joka perustui Zermelon työhön.
Axiomit
Aksiooma on väite, joka hyväksytään kyseenalaistamatta ja jolle ei ole todisteita. ZF sisältää kahdeksan aksioomaa.
- Laajennusaksiooma sanoo, että kaksi joukkoa on yhtä suuri, jos ja vain jos niillä on samat elementit. Esimerkiksi joukko { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}}
ja joukko {\displaystyle \{3,1\}}
ovat yhtä suuria. - Perustamisaksio sanoo, että jokainen joukko S {\displaystyle S}
(tyhjää joukkoa lukuun ottamatta) sisältää elementin, joka on disjointti (jolla ei ole yhteisiä jäseniä) S {\displaystyle S}:n kanssa. . - Määrittelyaksio sanoo, että kun joukko S {\displaystyle S} ja predikaatti F {\displaystyle F}
(funktio, joka on joko tosi tai epätosi), on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen ne S {\displaystyle S} elementit, joissa F {\displaystyle F} on tosi. Esimerkiksi jos S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} 
ja F {\displaystyle F} on "tämä on parillinen luku", niin aksiooma sanoo, että joukko { 2 , 6 } {\displaystyle \{2,6\}}
on olemassa. - Parittelun aksiooma sanoo, että kun on kaksi joukkoa, on olemassa joukko, jonka jäsenet ovat täsmälleen nämä kaksi joukkoa. Jos siis on kaksi joukkoa { 0 , 3 } {\displaystyle \{0,3\}}
ja { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}} 
tämä aksiooma sanoo, että joukko { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}}}
on olemassa. - Yhdistämisen aksiooma sanoo, että mille tahansa joukolle on olemassa joukko, joka koostuu vain kyseisen joukon alkioista. Esimerkiksi joukko { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} tämä aksiooma sanoo, että joukko { 0 , 3 , 2 , 5 } {\displaystyle \{0,3,2,5\}}
on olemassa. - Korvaavuuden aksiooma sanoo, että mille tahansa joukolle S {\displaystyle S} ja funktiolle F {\displaystyle F} että joukko, joka koostuu tuloksista, jotka saadaan kutsuttaessa F {\displaystyle F} kaikille S {\displaystyle S} jäsenille, on olemassa. Esimerkiksi jos S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} ja F {\displaystyle F} on "lisää tähän lukuun kymmenen", niin aksiooma sanoo, että joukko { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}}
on olemassa. - Äärettömyyden aksiooma sanoo, että kaikkien kokonaislukujen joukko (kuten Von Neumannin konstruktiossa määritellään) on olemassa. Tämä on joukko { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
- Potenssijoukon aksiooma sanoo, että minkä tahansa joukon potenssijoukko (kaikkien osajoukkojen joukko) on olemassa. Esimerkiksi { 2 , 5 }:n potenssijoukko on { 2 , 5 }. {\displaystyle \{2,5\}} on { { { { } , { 2 } } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}
Valinnan aksiooma
Valinta-aksiooma sanoo, että on mahdollista ottaa yksi objekti jokaisesta joukon alkioista ja muodostaa uusi joukko. Esimerkiksi joukko { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} , valinta-aksiooma osoittaisi, että joukko, kuten { 3 , 5 } } {\displaystyle \{3,5\}}
on olemassa. Tämä aksiooma voidaan todistaa muista aksioomista äärellisille joukoille, mutta ei äärettömille joukoille.
