Matematiikassa funktio on matemaattinen objekti, joka tuottaa tulosteen, kun sille annetaan tulo (joka voi olla luku, vektori tai mikä tahansa, joka voi olla joukon sisällä).

Funktio on siis kuin kone, joka ottaa arvon x ja palauttaa tulosteen y. Kaikkien arvojen joukkoa, joita x:llä voi olla, kutsutaan toimialueeksi, ja joukkoa, joka sisältää kaikki arvot, joita y:llä voi olla, kutsutaan koodialueeksi. Funktiota merkitään usein kursiivikirjaimilla, kuten f g, {\displaystyle h} .

Jos näin tapahtuu, sanomme, että y on x:n funktio, ja kirjoitamme {\displaystyle y=f(x)} . Tässä f on funktion nimi, ja kirjoitetaan (funktio X:stä Y:hyn) kuvaamaan funktion kolmea osaa: toimialuetta (X), koodialuetta (Y) ja paritusprosessia (nuoli).

Esimerkki funktiosta on {\displaystyle f(x)=x+1} . Annetaan syötteeksi luonnollinen luku x ja saadaan luonnollinen luku y, joka on {\displaystyle x+1} . Esimerkiksi antamalla f syötteeksi 3 saadaan tulokseksi 4.

Funktion ei tarvitse olla yhtälö. Pääajatuksena on, että syötteet ja tuotokset yhdistetään jotenkin - vaikka prosessi saattaisikin olla hyvin monimutkainen.




 

Määritelmä joukkojen avulla

Tarkastelutapa, joka on yleinen matematiikassa: funktio f määriteltynä joukoista X ja Y on joukko järjestettyjä pareja (x,y), joissa x kuuluu X, y kuuluu Y ja jokaiselle x on täsmälleen yksi siihen liittyvä y. Tämä varmistaa, että funktio on säännöllinen eli ei jätä mitään syötettä ilman kuvaa eikä anna yhdelle syötteelle kahta eri kuvaa.

Toimialue, koodialue ja kuva

  • Toimialue (domain): kaikki mahdolliset syötteet, joita funktiolle voi antaa (merkintä usein X).
  • Koodialue (codomain): kaikki mahdolliset arvot, joita funktio voisi periaatteessa palauttaa (merkintä usein Y).
  • Kuva (range, image): ne arvot Y:stä, joita funktio todellisuudessa palauttaa (merkintä usein f(X) tai Im(f)). Kuva on aina koodialueen alijoukko.

Usein käytetty notaatio

Yleisimmät merkinnät:

  • f: X → Y tarkoittaa, että funktio f ottaa arvot toimialueesta X ja palauttaa arvoja koodialueeseen Y.
  • y = f(x) ilmaisee, että y on arvona funktion f antama tulos syötteelle x.
  • f(A), jos A on joukko, on joukko kaikista arvoista f(x) kun x kuuluu A.

Esimerkkejä

  • Lineaarinen funktio: f(x) = x + 1 — esimerkki, joka oli jo yllä. Toimialue voi olla esim. luonnolliset luvut tai reaaliluvut.
  • Identtinen funktio: id(x) = x — jokainen arvo palautuu itsenäisesti.
  • Vakiofunktio: f(x) = c (vakio) — kaikki syötteet antavat saman tuloksen.
  • Pala- ja ehdollinen funktio: esimerkiksi f(x) = { x², jos x ≥ 0; −x, jos x < 0 }.
  • Monimuuttujafunktio: g(x,y) = x² + y², joka ottaa kaksi syötettä ja palauttaa yhden arvon.
  • Kohteena vektori: funktio voi palauttaa vektorin tai muiden rakenteiden jäsenen (esim. kuvaus pisteistä vektorikenttään).

Funktion tyyppejä

  • Injektio (yksikäsitteinen): eri syötteillä on eri tulokset. Jos f(x1)=f(x2) niin x1=x2.
  • Surjektio (peittävä): jokainen koodialueen arvo on jonkun syötteen kuva. Kuva f(X) = Y.
  • Bijektio: sekä injektio että surjektio — tässä tapauksessa funktiolla on käänteisfunktio f⁻¹, joka palauttaa syötteen kuvatusta arvosta.

Funktion operaatioita

  • Yhdistäminen (kompositio): jos f: X → Y ja g: Y → Z, niin g ∘ f: X → Z määritellään (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
  • Summa ja tulo reaalifunktioille: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f·g)(x)=f(x)g(x) jne.
  • Käänteisfunktio: jos f on bijektio, on olemassa f⁻¹: Y → X siten, että f⁻¹(f(x))=x ja f(f⁻¹(y))=y.

Graafinen esitys ja jatkokäsitteitä

Yleisin tapa hahmottaa funktio on piirtää sen graafi, esim. reaalifunktion f: R → R graafi on pistejoukko {(x,f(x)) | x ∈ R}. Tärkeitä ominaisuuksia ovat mm. jatkuvuus, derivoituvuus ja rajoja koskevat käsitteet. Myös joukkojen teoriaan liittyvä kuvaus funktiona suhteena (relation) on keskeinen matemaattisessa analyysissä ja abstraktissa algebrassa.

Funktion merkitys ja sovellukset

Funktiot ovat keskeisiä lähes kaikilla matematiikan ja luonnontieteiden aloilla. Niillä mallinnetaan fysikaalisia ilmiöitä (esim. sijainti ajan funktiona), taloudellisia muuttujia, tietojenkäsittelyssä käytettäviä prosesseja ja tilastollisia riippuvuuksia. Myös ohjelmoinnissa funktiot (tai metodit) ovat perusrakenteita, jotka ottavat syötteen ja palauttavat tuloksen.

Yhteenveto

Funktio on yksinkertaisimmillaan säännöllinen tapa yhdistää syötteitä ja tuloksia. Tärkeää on erottaa toimialue, koodialue ja kuva, ymmärtää funktioiden erilaiset lajit (injektio, surjektio, bijektio) sekä osata käyttää tavallisia operaatioita kuten yhdistämistä ja käänteisfunktiota. Funktiot eivät rajoitu pelkkiin lukukaavoihin — ne voivat olla mitä tahansa parituksia, jotka täyttävät määritelmän ehdot.