Erotusosamäärä

Erotusosamäärä on kaava, jonka avulla voidaan määrittää minkä tahansa funktion keskimääräinen muutosnopeus kahden pisteen välillä. Laskennassa differenssikertoimen avulla voidaan löytää derivaatta, joka on kahden mahdollisimman lähellä toisiaan olevan pisteen välinen differenssikertoimen kaava, joka antaa funktion muutosnopeuden yhdessä pisteessä. Erotusosamäärän muotoili Isaac Newton.

Erotuskertoimen määritelmä

Yksinkertainen määritelmä

Erottelukerroin voidaan kuvata kaavana, jolla löydetään sellaisen suoran kaltevuus, joka koskettaa käyrää vain kahdessa pisteessä (tätä suoraa kutsutaan sekanttiviivaksi). Jos yritämme löytää täysin suoran viivan kaltevuuden, käytämme kaltevuuskaavaa, joka on yksinkertaisesti muutos "y" jaettuna muutoksella "x". Tämä on erittäin tarkka, mutta vain suorille suorille. Erotusosamäärän avulla voit kuitenkin löytää minkä tahansa käyrän tai viivan kaltevuuden missä tahansa yksittäisessä pisteessä. Erotusosamäärä, samoin kuin kaltevuuskaava, on vain muutos "y" jaettuna muutoksella "x". Ainoa ero on se, että kaltevuuskaavassa y:tä käytetään y-akselina, mutta differenssikertoimessa y-akselin muutosta kuvataan f(x):llä. (Yksityiskohtainen kuvaus on seuraavassa kappaleessa.)

Matemaattinen määritelmä

Erottelukerroin on kahden pisteen välisen sekanttisuoran kaltevuus.

KALTEVUUSKAAVA Jos y = f ( x ) ja m = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = f ( x). - f ( x 1 ) x 2 - x 1 a n d x 2 = x 1 + Δ x t h e n m = f ( x + Δ x ) - f ( x ) ( x + Δ x ) - x 1 = f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x {\displaystyle if\quad y=f(x)\quad then\quad m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\quad and\quad x_{2}=x_{1}+\Delta x\quad then\quad m={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x_{1}}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}} $if\quad y=f(x)\quad then\quad m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\quad and\quad x_{2}=x_{1}+\Delta x\quad then\quad m={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x_{1}}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Erotusosamäärää voidaan käyttää käyrän kaltevuuden ja suoran kaltevuuden määrittämiseen. Kun olemme löytäneet funktion erotusosamäärän, meillä on uusi funktio, jota kutsutaan derivaataksi. Käyrän tai suoran kaltevuuden löytämiseksi syötämme arvon "x" ja saamme kaltevuuden. Derivaatan löytämistä differenssikertoimen avulla kutsutaan differentioinniksi.

Erotuskvotientin (ja derivaatan) sovellukset

Johdannaisella on monia tosielämän sovelluksia. Seuraavassa on lueteltu yksi derivaatan sovellus.

Fysiikka

Fysiikassa kappaleen hetkellinen nopeus (nopeus ajanhetkellä) määritellään kappaleen sijainnin derivaataksi ajan funktiona. Jos esimerkiksi kappaleen sijainti on x(t)=-16t² +16t+32, kappaleen nopeus on v(t)=-32t+16. Hetkellisen kiihtyvyyden löytämiseksi otetaan hetkellisen nopeuden funktion derivaatta. Esimerkiksi yllä olevassa funktiossa kiihtyvyysfunktio on a(t) = -32.