Differentiaali- ja integraalilaskenta: määritelmä, periaatteet ja sovellukset

1670- ja 1680-luvuilla Sir Isaac Newton Englannissa ja Gottfried Leibniz Saksassa kehittivät laskutoimitukset samaan aikaan, mutta työskentelivät erillään toisistaan. Newton halusi uuden tavan ennustaa, missä planeetat näkyvät taivaalla, sillä tähtitiede oli aina ollut suosittu ja hyödyllinen tieteenala, ja tieto yötaivaan kohteiden liikkeistä oli tärkeää laivojen navigoinnin kannalta. Leibniz halusi mitata käyrän (viiva, joka ei ole suora) alla olevan tilan (alueen). Monet vuodet myöhemmin nämä kaksi miestä kiistelivät siitä, kumpi löysi sen ensin. Englantilaiset tiedemiehet kannattivat Newtonia, mutta muun Euroopan tiedemiehet Leibniziä. Useimmat matemaatikot ovat nykyään yhtä mieltä siitä, että molemmat miehet jakavat kunnian tasan. Jotkin nykyaikaisen laskennan osat ovat peräisin Newtonilta, kuten sen käyttö fysiikassa. Toiset osat ovat peräisin Leibniziltä, kuten sen kirjoittamiseen käytetyt symbolit.

He eivät olleet ensimmäiset ihmiset, jotka käyttivät matematiikkaa fysikaalisen maailman kuvaamiseen - Aristoteles ja Pythagoras olivat aiempia, samoin Galileo Galilei, jonka mukaan matematiikka oli tieteen kieli. Newton ja Leibniz olivat kuitenkin molemmat ensimmäisiä, jotka suunnittelivat järjestelmän, joka kuvaa, miten asiat muuttuvat ajan myötä, ja jolla voidaan ennustaa, miten ne muuttuvat tulevaisuudessa.

Nimi "calculus" oli latinankielinen sana pienelle kivelle, jota muinaiset roomalaiset käyttivät laskemisessa ja uhkapeleissä. Englanninkielinen sana "calculate" tulee samasta latinankielisestä sanasta.

Differentiaalilaskentaa käytetään muuttujan muutosnopeuden määrittämiseen toiseen muuttujaan verrattuna.

Todellisessa maailmassa sitä voidaan käyttää liikkuvan esineen nopeuden määrittämiseen tai sähkön ja magnetismin toiminnan ymmärtämiseen. Se on erittäin tärkeää fysiikan ja monien muiden tieteenalojen ymmärtämisen kannalta.

Differentiaalilaskennasta on hyötyä myös kuvaajien laskemisessa. Sen avulla voidaan löytää käyrän kaltevuus sekä käyrän korkein ja matalin piste (näitä kutsutaan maksimiksi ja minimiksi).

Muuttujat voivat muuttaa arvoaan. Tämä eroaa numeroista, koska numerot ovat aina samat. Esimerkiksi luku 1 on aina yhtä suuri kuin 1 ja luku 200 on aina yhtä suuri kuin 200. Muuttujat kirjoitetaan usein kirjaimina, kuten kirjaimena x. "X" voi olla jossain vaiheessa yhtä suuri kuin 1 ja jossain vaiheessa 200.

Esimerkkejä muuttujista ovat etäisyys ja aika, koska ne voivat muuttua. Esineen nopeus on se, kuinka pitkän matkan se kulkee tietyssä ajassa. Jos siis kaupunki on 80 kilometrin päässä ja henkilö, joka on autossa, pääsee sinne tunnissa, hän on kulkenut keskinopeudella 80 kilometriä tunnissa. Tämä on kuitenkin vain keskiarvo - ehkä hän on ajanut nopeammin joissakin tilanteissa (moottoritiellä) ja hitaammin toisissa tilanteissa (liikennevaloissa tai pienellä kadulla, jossa asuu ihmisiä). Kuvittele kuljettaja, joka yrittää selvittää auton nopeuden vain matkamittarin ja kellon avulla ilman nopeusmittaria!

Ennen kuin laskutoimitus keksittiin, ainoa tapa selvittää tämä oli leikata aika yhä pienempiin palasiin, jolloin pienemmän ajan keskimääräinen nopeus tulisi yhä lähemmäksi ja lähemmäksi todellista nopeutta ajanhetkellä. Tämä oli hyvin pitkä ja vaikea prosessi, ja se piti tehdä joka kerta, kun ihmiset halusivat selvittää jotain.

Hyvin samankaltainen ongelma on löytää kaltevuus (kuinka jyrkkä se on) missä tahansa käyrän pisteessä. Suoran kaltevuus on helppo laskea - se on yksinkertaisesti se, kuinka paljon se nousee (y tai pystysuora) jaettuna sen poikkisuuntaisella osuudella (x tai vaakasuora). Käyrällä kaltevuus on kuitenkin muuttuja (sillä on eri arvot eri kohdissa), koska viiva taipuu. Mutta jos käyrä leikattaisiin hyvin, hyvin pieniksi paloiksi, pisteen käyrä näyttäisi lähes hyvin lyhyeltä suoralta. Sen kaltevuuden laskemiseksi pisteen läpi voidaan siis piirtää suora, jonka kaltevuus on sama kuin käyrän kaltevuus kyseisessä pisteessä. Jos se tehdään täsmälleen oikein, suoralla on sama kaltevuus kuin käyrällä, ja sitä kutsutaan tangentiksi. Mutta ei ole mitään keinoa tietää (ilman hyvin monimutkaista matematiikkaa), onko tangentti täsmälleen oikea, eivätkä silmämme ole tarpeeksi tarkat, jotta voisimme olla varmoja, onko se tarkka vai vain hyvin lähellä.

Newton ja Leibniz löysivät tavan laskea kaltevuus (tai nopeus etäisyysesimerkissä) tarkasti yksinkertaisten ja loogisten sääntöjen avulla. He jakoivat käyrän äärettömään määrään hyvin pieniä paloja. Sitten he valitsivat pisteitä kiinnostavan alueen kummaltakin puolelta ja laskivat tangentit kussakin pisteessä. Kun pisteet siirtyivät lähemmäs toisiaan kohti heitä kiinnostavaa pistettä, kaltevuus lähestyi tiettyä arvoa, kun tangentit lähestyivät käyrän todellista kaltevuutta. Se tietty arvo, jota se lähestyi, oli todellinen kaltevuus.

Sanotaan, että meillä on funktio y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f on lyhenne sanoista funktio, joten tämä yhtälö tarkoittaa "y on funktio x:stä". Tämä kertoo meille, että se, kuinka korkealla y on pystyakselilla, riippuu siitä, mikä x (vaaka-akseli) on sillä hetkellä. Esimerkiksi yhtälöllä y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} tiedämme, että jos x {\displaystyle x} on 1, niin y {\displaystyle y} on 1; jos x {\displaystyle x} on 3, niin y {\displaystyle y} on 9; jos x {\displaystyle x} on 20, niin y {\displaystyle y} on 400. Tällä menetelmällä tuotettu derivaatta on x 2{\displaystyle 2x} eli 2 kerrottuna x:llä {\displaystyle x} . Tiedämme siis ilman, että meidän tarvitsee piirtää mitään tangenttisuoraa, että missä tahansa käyrän pisteessä f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , derivaatta f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (merkitty alkusymbolilla), on x 2{\displaystyle 2x} missä tahansa pisteessä. Tätä prosessia, jossa kaltevuus lasketaan raja-arvojen avulla, kutsutaan differentioinniksi tai derivaatan löytämiseksi.

Matematiikassa derivaatta kirjoitetaan seuraavasti: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz päätyi samaan tulokseen, mutta kutsui h " d x {\displaystyle dx} ", mikä tarkoittaa "suhteessa x". Hän kutsui tuloksena syntyvää muutosta f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} " d y {\displaystyle dy} ", mikä tarkoittaa "pientä määrää y:stä". Leibnizin merkintätapaa käytetään useammassa kirjassa, koska se on helppo ymmärtää, kun yhtälöistä tulee monimutkaisempia. Leibnizin notaatiossa: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Matemaatikot ovat kehittäneet tätä perusteoriaa yksinkertaisiksi algebran säännöiksi, joiden avulla voidaan löytää lähes minkä tahansa funktion derivaatta.

Integraalilaskennassa lasketaan funktion kuvaajan alapuolella oleva alue. Esimerkkinä on auton kulkeman matkan laskeminen: jos tiedät auton nopeuden eri ajankohtina ja piirrät kuvaajan tästä nopeudesta, auton kulkema matka on kuvaajan alapuolella oleva pinta-ala.

Tämä onnistuu jakamalla kuvaaja moniin hyvin pieniin osiin ja piirtämällä hyvin ohuita suorakulmioita kunkin osan alle. Kun suorakulmioista tulee yhä ohuempia, suorakulmiot peittävät kuvaajan alla olevan alueen yhä paremmin. Suorakulmion pinta-ala on helppo laskea, joten voimme laskea kaikkien suorakulmioiden kokonaispinta-alan. Ohuempien suorakulmioiden kohdalla tämä kokonaispinta-alan arvo lähestyy kuvaajan alapuolella olevaa pinta-alaa. Lopullista pinta-alan arvoa kutsutaan funktion integraaliksi.

Matematiikassa funktion f(x) integraali a:sta b:hen kirjoitetaan seuraavasti: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Laskennan pääajatusta kutsutaan laskennan perusteoriaksi. Tämän pääajatuksen mukaan kaksi laskutoimitusta, differentiaali- ja integraalilaskenta, ovat toistensa vastakohtia. Toisin sanoen henkilö voi käyttää differentiaalilaskentaa integraalilaskennan kumoamiseen. Samoin henkilö voi käyttää integraalilaskentaa kumotakseen differentiaalilaskennan. Tämä on aivan sama kuin jakolaskun käyttäminen kertolaskun kumoamiseen tai yhteenlaskun käyttäminen vähennyslaskun kumoamiseen.

Yhdessä lauseessa perusopin lause kuuluu jotakuinkin näin: "Funktion f integraalin derivaatta on itse funktio.".

Laskutoimitusta käytetään kuvaamaan asioita, jotka muuttuvat, kuten luonnossa esiintyviä asioita. Sitä voidaan käyttää kaikkien näiden osoittamiseen ja oppimiseen:

• Miten aallot liikkuvat. Aallot ovat erittäin tärkeitä luonnon maailmassa. Esimerkiksi ääntä ja valoa voidaan pitää aaltoina.
• Jos lämpö liikkuu, kuten talossa. Tämä on hyödyllistä arkkitehtuurissa (talojen rakentamisessa), jotta talon lämmittäminen olisi mahdollisimman halpaa.
• Miten hyvin pienet asiat, kuten atomit, toimivat.
• Kuinka nopeasti jokin putoaa, tunnetaan myös painovoimana.
• Miten koneet toimivat, tunnetaan myös nimellä mekaniikka.
• Kuun kulku sen liikkuessa maapallon ympäri. Myös maapallon kulku auringon ympäri ja minkä tahansa planeetan tai kuun kulku avaruudessa olevan planeetan tai kuun ympäri.