Gaussin eliminointi – lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen ja rivioperaatiot

Opi Gaussin eliminointi ja rivioperaatiot: selkeä, askel‑askeleelta -opas lineaaristen yhtälöiden ratkaisuun, esimerkit ja Gauss–Jordan-menetelmä.

Tekijä: Leandro Alegsa

13-01-2026 18:11

Gaussin eliminointi (tunnetaan myös nimellä rivien vähentäminen) on tehokas menetelmä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Menetelmä on nimetty Carl Friedrich Gaussin mukaan; hän popularisoi menetelmää, vaikka ei ollut sen alkuperäinen keksijä. Gaussin eliminoinnissa yhtälösysteemin kertoimet sijoitetaan niin kutsuttuun lisättyyn matriisiin (augmented matrix), ja tämän matriisin riveihin kohdistetaan yksinkertaisia alkeisrivioperaatioita, kunnes ratkaisut voidaan lukea suoraan tai määrälleen takaisin-substituoinnilla.

Alkeisrivioperaatiot ovat kolme erilaista muutosta, joita saa käyttää ilman että yhtälösysteemin ratkaisut muuttuvat:

Tyyppi 1: Kahden rivin vaihtaminen keskenään.
Tyyppi 2: Rivin kertominen nollasta poikkeavalla luvulla.
Tyyppi 3: Toisen rivin lisääminen tai vähentäminen toisen rivin monikertana.

Gaussin eliminoinnin tavoite on saada matriisi rivi-echelon-muotoon, jossa kunkin rivin vasemmassa reunassa olevien nollien määrä kasvaa alaspäin mentäessä. Usein halutaan vielä tiukempi muoto, pelkistetty rivi-echelon-muoto (reduced row-echelon form), jossa kunkin rivin ensimmäinen nollasta poikkeava termi on 1 ja se on ainoa ei-nollatermi siinä sarakkeessa. Menetelmää, joka tuottaa suoraan tämän pelkistetyn muodon, kutsutaan Gauss–Jordanin eliminoinniksi.

Menetelmä vaiheittain

Muodosta yhtälösysteemistä lisätty matriisi [A | b], jossa A on kertoimimatriisi ja b on vektori vapaista termeistä.
Suorita eteenpäin-eliminointi: valitse jokaiselle sarakkeelle pivot-alkio (ei-nolla), tarvittaessa vaihda rivejä (Tyyppi 1), skaalaa riviä (Tyyppi 2) ja poista pivotin alapuoliset termit käyttämällä rivien yhdistämistä (Tyyppi 3). Tällä tavoin saat matriisin rivi-echelon-muotoon.
Kun matriisi on rivi-echelon-muodossa, ratkaisut voi usein löytää takaisin-substituoinnilla: ratkaise ylin tuntematon ja sijoita se alempiin yhtälöihin vuorotellen.
Vaihtoehtoisesti jatka rivien käsittelyä niin, että saat pelkistetyn rivi-echelon-muodon, jolloin ratkaisut näkyvät suoraan (Gauss–Jordan).

Yksinkertainen esimerkki

Ratkaistaan järjestelmä

2x + y = 5
x - y = 1

Lisätty matriisi on aluksi: [ 2 1 | 5 ]
[ 1 -1 | 1 ]

Vaihe 1: Vaihda tarvittaessa rivejä, tai tässä tapauksessa käytetään toista riviä pivotina. Otetaan R1' = R1 - 2·R2:

[ 0 3 | 3 ]
[ 1 -1 | 1 ]

Vaihe 2: Vaihdetaan rivien järjestys jotta pivotit etenevät vasemmalta oikealle (R1 ↔ R2):

[ 1 -1 | 1 ]
[ 0 3 | 3 ]

Vaihe 3: Skaalataan toinen rivi jakamalla 3:lla: R2' = (1/3)·R2 → [0 1 | 1]

Vaihe 4: Poistetaan yläpuolen sarakkeesta 1:n vaikutus: R1' = R1 + R2 → [1 0 | 2]

Nyt ratkaisut ovat x = 2 ja y = 1.

Erikoistapaukset ja numeerinen vakaus

Jos rivien käsittelyssä kohtaa nollan pivot-arvona, pitää vaihtaa rivi (pivotointi). Osittainen pivotointi (valitaan suurimman itseisarvon omaava alarivi pivotiksi) parantaa numeerista vakautta etenkin liukuluku-laskennassa.
Mikäli saadaan rivi, jossa kaikki kertoimet ovat nollia mutta vapaiden termejen puolella on ei-nolla (esim. [0 0 ... 0 | c], c ≠ 0), systeemi on ristiriitainen eikä sillä ole ratkaisua.
Jos matriisista jää vapaita muuttujia (vähemmän riippumattomia riviehtoita kuin muuttujia), saadaan äärettömän monta ratkaisua, jotka ilmaistaan parametrien avulla.
Algoritmin laskennallinen monimutkaisuus on tyypillisesti O(n^3) n × n -matriiseille. Käytännössä numeerisissa sovelluksissa huomioidaan liukuluvun pyöristysvirheet ja valitaan pivotointimenetelmä sen mukaan.

Sovelluksia

Gaussin eliminointi on perusmenetelmä lineaarialgebrassa ja sillä on laajat käyttöalueet: differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu, optimointi, verkkoanalyysi, koneoppiminen ja muut tekniset sekä tieteelliset laskennat. Se tarjoaa myös perustan matriisien käänteisen laskemiseen ja determinanttien arviointiin.

Vinkki: pieni järjestelmä kannattaa usein ratkaista käsin Gauss–Jordan-tekniikalla, mutta suuremmissa numeerisissa tehtävissä kannattaa käyttää valmiita ja vakaiksi todettuja ohjelmistokirjastoja, jotka toteuttavat pivotoinnin ja huomioivat liukuluvun rajoitteet.

Esimerkki

Oletetaan, että tavoitteena on löytää vastaukset tähän lineaariseen yhtälösysteemiin.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Ensin järjestelmä on muutettava lisätyksi matriisiksi. Täydennetyssä matriisissa jokainen lineaarinen yhtälö muuttuu riviksi. Lisätyn matriisin toisella puolella lineaarisen yhtälön jokaisen termin kertoimet muuttuvat matriisin numeroiksi. Lisätyn matriisin toisella puolella ovat vakiotermit, joiden kanssa kukin lineaarinen yhtälö on yhtä suuri. Tämän järjestelmän osalta täydennetty matriisi on:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Tämän jälkeen lisätylle matriisille voidaan tehdä rivioperaatioita sen yksinkertaistamiseksi. Seuraavassa taulukossa esitetään yhtälösysteemin ja lisätyn matriisin rivien vähentämisprosessi.

Yhtälösysteemi	Rivitoiminnot	Täydennetty matriisi
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y&&\;-&&&\;z&&\;=\;&&8&\\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\\0&1/2&1/2&1/2&1\\\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&&y\;&&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matriisi on nyt rivi-echelon-muodossa. Tätä kutsutaan myös kolmiomuodoksi.

Yhtälösysteemi	Rivitoiminnot	Täydennetty matriisi
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&&\\\&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matriisi on nyt pelkistetyssä rivi-echelon-muodossa. Tämän matriisin lukeminen kertoo, että yhtälöryhmän ratkaisut löytyvät, kun x = 2, y = 3 ja z = -1.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Gaussin eliminointi?

V: Gaussin eliminointi on matematiikassa käytetty menetelmä lineaaristen yhtälöryhmien järjestelmien ratkaisemiseen.

K: Kenen mukaan se on nimetty?

V: Se on nimetty Carl Friedrich Gaussin mukaan, kuuluisan saksalaisen matemaatikon, joka kirjoitti tästä menetelmästä, mutta ei keksinyt sitä.

K: Miten Gaussin eliminointi suoritetaan?

V: Gaussin eliminointi suoritetaan käyttämällä lineaarisen yhtälösysteemin termien kertoimia täydennetyn matriisin luomiseksi. Tämän jälkeen käytetään alkeisrivioperaatioita matriisin yksinkertaistamiseksi.

K: Mitä kolmea rivioperaatiotyyppiä käytetään Gaussin eliminoinnissa?

V: Gaussin eliminoinnissa käytettävät kolmenlaiset rivioperaatiot ovat: Rivin kertominen luvulla, joka ei ole nolla, ja rivin lisääminen tai vähentäminen toisesta rivistä.

K: Mikä on Gaussin eliminoinnin tavoite?

V: Gaussin eliminoinnin tavoitteena on saada matriisi rivi-echelon-muotoon.

K: Mikä on rivi-echelon-muoto?

V: Jos matriisi on rivi-echelon-muodossa, se tarkoittaa, että vasemmalta oikealle luettaessa jokainen rivi alkaa vähintään yhdellä nollatermillä enemmän kuin sen yläpuolella oleva rivi.

K: Mikä on pelkistetty rivi-echelon-muoto?

V: Pelkistetty rivi-echelon-muoto tarkoittaa, että matriisi on rivi-echelon-muodossa ja että ainoa nollasta poikkeava termi kullakin rivillä on 1. Gaussin eliminointia, joka tuottaa pelkistetyn rivi-echelon-matriisin tuloksen, kutsutaan joskus Gauss-Jordanin eliminoinniksi.

Etsiä