Siirry sisältöön
Etusivu

Heksaedri (kuusiaedri) – määritelmä, topologiat ja esimerkit

Heksaedri (kuusiaedri): selkeä määritelmä, topologiat ja esimerkit — tunnista seitsemän kuperia ja kolme koveraa muotoa, visualisoinnit ja sovellusesimerkit.

Tekijä: Luotu: Päivitetty:

Kuusiaedri (monikko: heksaedri) on moniulotteinen monikulmio, jonka pinnat (fasetit) muodostavat yhteensä kuusi tasopintaa. Tavallinen esimerkki on kuutio, joka on säännöllinen heksaedri: kaikilla kuution kuudella pinnalla on neliönmuotoinen pinta ja jokaista kuution kärkeä ympäröi kolme neliötä.

Topologisesti erillisiä, eli keskenään kombinaatioiltaan erilaisia, kuperia (konveksia) heksaedrejä tunnetaan seitsemän; yhdestä näistä on olemassa kaksi toisensa peilikuvana olevaa (kierrettyä tai chirale) muotoa. Topologinen erillisyys tarkoittaa tässä sitä, että kahden heksaedrin pinta- ja kärkirakenne (mitkä pinnat koskettavat mitä kärkiä ja reunoja) ei muunnu toisekseen pelkän reunapituuksien tai kulmien muuttamisella ilman että yhteydet (adjacency) muuttuvat.

Kuvagalleria

5 Kuvat
Cuboid
simple.wikipedia.org · Public domain

Yleisiä kombinaatorisia ominaisuuksia

Jokaisella heksaedrilla pätevät Eulerin lausekkeet ja peruslaskelmat: jos F on pintojen määrä (tässä F = 6), V kärkien määrä ja E reunojen määrä, niin Eulerin kaava antaa

  • V − E + F = 2, joten heksaedrille E = V + 4.
  • Koska jokaisella pinnalla on vähintään kolme sivua, voimassa on myös 3F ≤ 2E, mikä asettaa rajoja mahdollisille kärki- ja reunamäärille.

Tämän seurauksena mahdollisia kärkien määrän arvoja tavataan eri heksaedreissä yleensä välillä V = 5…8 (esimerkiksi kolmiulotteinen kolmiopetoinen dipyramidi eli kolmiodipyramidi on heksaedri, jossa on 5 kärkeä ja 6 kolmionmuotoista pintaa).

Esimerkkejä ja tyyppejä

Heksaedrejä esiintyy monenlaisina: osa on erityisen symmetrisiä (kuten kuutio tai suorakulmainen ”rasia”), osa koostuu sekoituksesta nelikulmioita ja kolmioita, ja osa on pyramidimaisia tai bipyramidimaisia. Yleisimmät ja helposti hahmotettavat esimerkit ovat:

  • Kuutiot ja suorakulma- tai parallelepipedimuodot (nelikulmainen prisma) – niissä on tyypillisesti 8 kärkeä ja 12 reunaa.
  • Pentagoninen pyramidi – viisikulmainen pohja ja viisi kolmionmuotoista sivua, yhteensä 6 pintaa.
  • Kolmiodipyramidi (triangular dipyramid) – kahden pyramidiarkin yhdistelmä, jossa on kuusi kolmionmuotoista pintaa ja 5 kärkeä.
  • Erilaiset ”kiilamaiset” ja särmikkäät heksaedrit, joissa on sekaisin kolmio- ja nelikulmaisia pintoja ja eri määrä kärkien asteita.

Konveksisuus ja koveruus

Edellä mainitut seitsemän topologista tyyppiä koskevat konveksisia heksaedrejä. Lisäksi on olemassa kolme topologisesti erilaista heksaedriä, jotka eivät voi olla konveksia: ne voidaan toteuttaa ainoastaan koverina kuvioina. Koverat heksaedrit sisältävät sisäänpäin painuneita kohtia (konskavointeja), mikä muuttaa pinnan ja kärkien yhdistelmää siten, että samasta topologiasta ei voi saada konveksista edustajaa.

Yhteenvetona: kuusiaedri on laaja käsite, johon kuuluu sekä hyvin symmetrisiä (esim. kuutio) että epäsäännöllisempiä muotoja; konveksisten tapausten kombinaatioita on seitsemän (yksi niistä on chirale), ja lisäksi löytyy kolme puhtaasti koveraa topologiaa.

Aiheeseen liittyvät sivut

  • Prismatoidi

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on heksaedri?

A: Kuusiaedri on monitahokas, jossa on kuusi sivua.

K: Voidaanko kuutiota pitää heksaedrinä?

V: Kyllä, kuutio on esimerkki säännöllisestä heksaedristä, jonka kaikki sivut ovat neliöitä ja jokaista kärkeä ympäröi kolme neliötä.

K: Kuinka monta topologisesti erilaista kuperaa heksaedriä on olemassa?

V: Topologisesti erilaisia kuperia heksaedrejä on seitsemän.

Kysymys: Voiko kaksi polyedriä olla topologisesti erillisiä?

Kysymys: Kuinka monta peilikuvamuotoa on olemassa yhdelle seitsemästä topologisesti erilaisesta kuperasta heksaedristä?

V: Yhdellä seitsemästä topologisesti erilaisesta kuperasta heksaedristä on kaksi peilikuvamuotoa.

Kysymys: Onko olemassa topologisesti erillisiä heksaedrejä, jotka voidaan toteuttaa vain koverina kuvioina?

V: Kyllä, on olemassa kolme topologisesti erilaista heksaedriä, jotka voidaan toteuttaa vain koverina kuvioina.

Kysymys: Voiko yhtä topologisesti erillistä kuperaa heksaedriä vääristää joksikin topologisesti erillistä koveraa heksaedriä?

V: Ei, on mahdotonta vääristää yhtä topologisesti erillistä kuperaa heksaedriä topologisesti erillistä koveraa heksaedriä muuttamatta polyedrin perusluonnetta.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Tekijä

AlegsaOnline.com Heksaedri (kuusiaedri) – määritelmä, topologiat ja esimerkit

URL: https://fi.alegsaonline.com/art/43997

Jaa

Lähteet