Epäyhtälö on lauseke, joka kertoo kahden luvun, muuttujan arvojen tai lausekkeen välisestä suuruussuhteesta. Epäyhtälöt kertovat, onko jokin arvo pienempi, suurempi, suurempi tai yhtä suuri, tai pienempi tai yhtä suuri kuin toinen. Seuraavassa käydään läpi yleisimmät symbolit, niiden merkitykset sekä perussääntöjä ja esimerkkejä, joiden avulla epäyhtälöitä voi ymmärtää ja ratkaista.

Symbolit ja merkitykset

  • pienempi kuin toinen ( a < b {\displaystyle \ a<b} tarkoittaa{\displaystyle \ a<b}, että a on pienempi kuin b).
  • suurempi kuin toinen ( a > b {\displaystyle \ a>b} tarkoittaa{\displaystyle \ a>b}, että a on suurempi kuin b).
  • ei pienempi kuin toinen ( a ≥ b {\displaystyle a\geq b}{\displaystyle a\geq b} tarkoittaa, että a ei ole pienempi kuin b, eli se on joko suurempi tai yhtä suuri kuin b).
  • ei suurempi kuin toinen ( a ≤ b {\displaystyle a\leq b}{\displaystyle a\leq b} tarkoittaa, että a ei ole suurempi kuin b, tai se on pienempi tai yhtä suuri kuin b).

Epätasa-arvoa käytetään joskus nimittämään lausumaa, jonka mukaan yksi lauseke on pienempi, suurempi, ei pienempi tai ei suurempi kuin toinen.

Perussäännöt epäyhtälöiden käsittelyssä

  • Jos lisäät tai vähennät samaa lukua molemmilta puolilta, epäyhtälön suunta säilyy. Esim. jos a < b, niin a + c < b + c kaikilla c:llä.
  • Jos kerrot tai jaat molemmat puolet positiivisella luvulla, suunta säilyy. Esim. jos a < b ja k > 0, niin ka < kb.
  • Jos kerrot tai jaat molemmat puolet negatiivisella luvulla, epäyhtälön suunta kääntyy. Esim. jos a < b ja k < 0, niin ka > kb.
  • Kun yhdistät tai yksinkertaistat, tee samat toimenpiteet molemmille puolille. Muista huomioida nollan ja merkkien vaikutus (esim. nollalla jakaminen on kiellettyä).
  • Yhtälön ratkaisemiseksi pyritään saamaan muuttuja yksin yhdelle puolelle käyttäen yllä olevia perussääntöjä.

Esimerkkejä

1) Ratkaise epäyhtälö 2x + 3 < 9.

  • Vähennä 3 molemmilta puolilta: 2x < 6.
  • Jaetaan 2:lla (positiivinen): x < 3.
  • Tulos: kaikki x, jotka ovat pienempiä kuin 3.

2) Ratkaise −3x ≥ 12.

  • Jaetaan −3:lla (koska jaetaan negatiivisella luvulla, epäyhtälön suunta kääntyy): x ≤ −4.
  • Tulos: kaikki x, jotka ovat enintään −4.

3) Esimerkki, jossa muuttuja esiintyy molemmilla puolilla: 4x − 5 < 2x + 7.

  • Vähennä 2x molemmilta: 2x − 5 < 7.
  • Lisää 5 molemmille puolille: 2x < 12.
  • Jaetaan 2:lla: x < 6.

Intervalli- ja lukusuoraesitys

  • Epätasa-arvo x < 3 vastaa intervallia (-∞, 3) — kaikki luvut, jotka ovat pienempiä kuin 3.
  • Epätasa-arvo x ≤ 3 vastaa intervallia (-∞, 3] — sisältää luvun 3.
  • Vastaavasti x > a on (a, ∞) ja x ≥ a on [a, ∞).
  • Lukusuoralla avoin piste merkitsee, että päätepistettä ei oteta mukaan (esim. < tai >), ja täytetty piste merkitsee, että päätepiste kuuluu joukkoon (≤ tai ≥).

Usein tarvittavat huomautukset

  • Monimutkaisissa lausekkeissa, kuten neliöjuurissa tai murtoluvuissa, täytyy huolehtia määrittelyalueesta ja siitä, että kaikki toimenpiteet ovat laillisia (esim. nollalla jakaminen ei ole sallittua).
  • Kun ratkaiset epäyhtälöitä, joissa esiintyy neliömuotoja tai absoluuttuarvoja, ratkaisut voivat muodostaa useamman erillisen osajoukon.
  • Epäyhtälön ratkaisu voidaan esittää myös joukko- tai lausekemuodossa, esim. {x | x < 3} tai x < 3.

Yhteenveto

Epäyhtälöt kertovat suuruusjärjestyksestä ja niitä käsitellään samankaltaisesti kuin yhtälöitä, kunhan muistat tärkeimmät säännöt: lisäykset ja vähennykset säilyttävät suunnan, kertominen tai jakaminen positiivisella luvulla säilyttää suunnan ja kertominen tai jakaminen negatiivisella luvulla kääntää suunnan. Harjoittelemalla perusesimerkkejä ja tarkistamalla ratkaisut intervalleina tai lukusuoralla oppii käsittelemään myös monimutkaisempia epäyhtälöitä.