Arkhimedeen luku – määritelmä, kaava ja merkitys nesteiden dynamiikassa

Arkhimedeen luku on nimetty kreikkalaisen Arkhimedeen mukaan.

Viskoosisessa nestedynamiikassa käytetään Arkhimedeen lukua (Ar), kun tiheyserot vaikuttavat nesteiden liikkeeseen. Se on dimensioton luku, joka kuvaa gravitaatiovoimien ja viskoosivoimien välistä suhdetta kyseisessä ilmiössä.

Suhde on muotoa:

A r = g L 3 ρ ℓ ( ρ - ρ ℓ ) μ 2 {\displaystyle \mathrm {Ar} ={\frac {gL^{3}\rho _{\ell }(\rho -\rho _{\ell })}{\mu ^{2}}}} $\mathrm {Ar} ={\frac {gL^{3}\rho _{\ell }(\rho -\rho _{\ell })}{\mu ^{2}}}$

missä:

g = gravitaation kiihtyvyys (m/s²)
L = karakteristinen pituus, usein hiukkasen tai pisaran halkaisija d (m)
ρ = hiukkasen tai tipan tiheys (kg/m³)
ρ_ℓ = ympäröivän nesteen tiheys (kg/m³)
μ = nesteen dynaaminen viskositeetti (Pa·s = N·s/m²)

Muodot ja yhteydet

Archimedes-luku on dimensioiton; se voidaan myös kirjoittaa kinemaatista viskositeettia ν (ν = μ/ρ_ℓ) käyttäen:

Ar = g L³ (ρ − ρ_ℓ) / (ρ_ℓ ν²)

Tämä muoto tekee näkyväksi yhteyden muihin dimensioettomiin lukuihin: esimerkiksi Grashofin luku Gr (lämpöperusteisissa luonnollisissa konvektio-ongelmissa) ja Galilein luku Ga ovat läheisesti verrannollisia Ar:n kanssa, sillä ne kaikki sisältävät tekijän g L³ / ν² tai samankaltaisen eron tiheydessä.

Fyysinen merkitys ja käyttö

Arkhimedeen luku kertoo, kuinka suuressa roolissa painovoima (buoyant/gravitaatio) on suhteessa viskositeetin aiheuttamaan vastukseen. Suuri Ar → painovoima/inertiaalinen vaikutus hallitsee; pieni Ar → viskoosisuus hallitsee.
Sitä käytetään yleisesti hiukkasten ja pisaroiden putoamis- tai nousunopeuden arviointiin, kaasukuplien ja tippojen dynamiikassa, sedimentaatiossa, fluidisoitujen vuodejärjestelmien ja luonnollisen konvektion tutkimuksessa.
Ar:ia käytetään usein yhdessä Reynoldsin luvun (Re) kanssa, ja sen arvoa käytetään korrelaatioissa, jotka ennustavat esimerkiksi hitaushäviöitä tai drag-kerrointa eri virtausolosuhteissa.

Rajatapaukset ja tulkinta

Ar ≪ 1: Viskoosivoimat ovat vallitsevia. Liike on erittäin hidasta ja tyypillisesti laminaarista; hiukkasen tai pisaran nopeus riippuu voimakkaasti viskositeetista.
Ar ≫ 1: Gravitaatio ja inertiaalinen vaikutus dominoivat; viskoosin vaikutuksen merkitys pienenee ja virtaus voi muuttua turbulentiseksi.

Esimerkkilaskelma

Esimerkki: hiekankokoinen hiukkanen d = 0,5 mm vedessä (ρ = 2650 kg/m³, ρ_ℓ = 1000 kg/m³, μ = 1,0·10⁻³ Pa·s, g = 9,81 m/s²).

Lasketaan L³ = (5,0·10⁻⁴ m)³ = 1,25·10⁻¹⁰ m³.
Ar ≈ g·L³·ρ_ℓ·(ρ − ρ_ℓ)/μ² ≈ 9,81·1,25·10⁻¹⁰·1000·1650 / (1,0·10⁻³)² ≈ 2,0·10³.

Tämä kertoo, että kyseisessä tapauksessa gravitaatiovaikutukset ovat merkittäviä suhteessa viskoosiin vastukseen (Ar luokkaa tuhansia), mutta ei välttämättä täysin inertiaalisen, täysin turbulentisen käyttäytymisen rajapyykissä — tarkempi Re- tai Cd-korrelaatio tarvitaan terminaalinopeuden arviointiin.

Huomioitavaa käytännössä

Ar-luku olettaa Newtonilaisen, homogeenisen nesteen ja usein yksinkertaisen hiukkasgeometrian (esim. pallo). Epälineaariset ja ei-Newtonilaiset viskositeettivaikutukset vaativat korjauksia.
Merkitsevät suunnittelusovellukset (esim. suodatus, sedimentaatio, reaktorisuunnittelu) hyödyntävät Ar:ia osana empiirisiä korrelaatioita, mutta kokeelliset tai numeeriset data ovat usein tarpeen tarkkoihin ennusteisiin.

Yhteenvetona: Arkhimedeen luku on keskeinen dimensioton suure siihen, miten tiheyserot ja painovoima suhteutuvat viskoosiin vastukseen nesteiden ja hiukkasten vuorovaikutuksessa — sen avulla voidaan luokitella virtausregiimejä ja rakentaa korrelaatioita esimerkiksi hiukkasten laskeutumisnopeuden arvioimiseksi.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Arkhimedeen luku?

A: Arkhimedeen luku on dimensioton luku, jota käytetään viskoosisessa nestedynamiikassa kuvaamaan gravitaatiovoimien ja viskoosivoimien suhdetta.

K: Kuka oli Arkhimedes?

V: Arkhimedes oli kreikkalainen matemaatikko ja tiedemies, joka eli 3. vuosisadalla eaa.

K: Mitä Ar tarkoittaa?

V: Ar edustaa gravitaatiovoimien ja viskoosivoimien suhdetta viskoosisessa nestedynamiikassa.

K: Mikä on Ar:n ja muiden muuttujien välinen suhde?

V: Ar:n ja muiden muuttujien välinen suhde on muotoa gL3ρℓ(ρ-ρℓ)/μ2, jossa g on painovoima, L on pituus, ρℓ on nesteen tiheys, ρ on tiheys ja μ on viskositeetti.

K: Miten Ar:ta voidaan käyttää?

V: Ar:ta voidaan käyttää, kun tiheyserot vaikuttavat nesteiden liikkeisiin.

K: Onko Ar mahdollista laskea?

V: Kyllä, Ar on mahdollista laskea käyttämällä edellä esitettyä yhtälöä, kun painovoiman, pituuden, tiheyden ja viskositeetin arvot tunnetaan.