Lorentz-supistuma (pituussupistuma) – selitys, kaava ja esimerkki

Lorentzin supistuminen, jota kutsutaan myös Fitzgeraldin supistumiseksi tai Lorenz-Fitzgeraldin supistumiseksi, johtuu relativistisista vaikutuksista, joita havaitaan toisiaan kohti tai toisistaan etääntyvien havaitsijoiden välillä. Kohteen koko pienenee kohti tai poispäin liikkuvan henkilön näkemänä hänen liikeradallaan määrällä, joka on matemaattisesti verrannollinen hänen nopeuteensa ja valonnopeuteen.

Kirjassaan One, Two, Three... Infinity (Yksi, kaksi, kolme... ääretön) fyysikko George Gamow lainasi limerikkiä (eräänlainen runo), jonka jotkut sanovat muuttuneen tuhmemmasta runosta. Siitä on olemassa useita muitakin siistittyjä versioita:

Olipa kerran nuori mies nimeltä Fisk,
jonka miekkailu oli erittäin reipasta,
niin nopeaa,että
Lorentzin supistuminen
lyhensi hänen miekkansa levyksi.

Perusajatus ja tulkinta

Lorentzin supistuminen tarkoittaa, että kappaleen pituus, mitattuna havainnoijan koordinaatistossa jossa kappale liikkuu, on lyhyempi kuin kappaleen impulssiton (lepokoordinaatistossa mitattu) pituus. Lepopituutta kutsutaan oikeaksi pituudeksi (proper length, L0). Supistuminen tapahtuu vain pituuskomponentin suuntaisesti kappaleen liikkeeseen; kohtisuorat mitat eivät muuttuvat.

Tärkeä huomio: supistuneen pituuden määrittely edellyttää, että mittaus tehdään siten, että kappaleen molempien päiden sijainnit mitataan samanaikaisesti kyseisessä havainnoijan kehyksessä. Relativistinen simultaanisuus tekee tämän eron mahdolliseksi: eri kehyksissä "samanaikaiset" tapahtumat eivät ole välttämättä samanaikaisia.

Kaava

Pituussupistuksen matemaattinen ilmaisu on

L = L0 · sqrt(1 − v^2/c^2)

tai yhtäpitävästi

L = L0 / γ, jossa γ (gamma) = 1 / sqrt(1 − v^2/c^2).

Tässä L0 on kappaleen pituus sen omassa lepokehyksessä (oikea pituus), v on kappaleen nopeus suhteessa havainnoijaan ja c on valonnopeus tyhjiössä.

Pikaderivointi (idea)

Käytännössä pituusmitassa mitataan päiden x-koordinaatit samanaikaisesti havainnoijan ajassa t, eli L = x2(t) − x1(t). Lorentzin muunnokset yhdistävät näiden pisteiden koordinaatit kappaleen lepokehyksen koordinaatteihin x' ja t'. Käyttämällä muunnoksia ja asettamalla päiden ajanhetket havainnoijan kehyksessä samaksi saadaan edellä annettu supistuskaava. Tämä osoittaa myös, että supistuminen on koordinaatioilmiö, ei materiaalinen "puristus" kappaleen omassa lepokehyksessä.

Esimerkki

Otetaan esimerkki: kappaleen lepopituus L0 = 10 m ja se liikkuu nopeudella v = 0,8c suhteessa havaitsijaan. Lasketaan gamma:

γ = 1 / sqrt(1 − 0,8^2) = 1 / sqrt(1 − 0,64) = 1 / sqrt(0,36) = 1 / 0,6 ≈ 1,6667.

Supistunut pituus L = L0 / γ ≈ 10 m / 1,6667 ≈ 6,0 m.

Toinen käytännöllinen huomio: arkipäivän nopeuksilla (esim. auto tai lentokone) v/c on niin pieni, että sqrt(1 − v^2/c^2) ≈ 1 − (1/2)v^2/c^2 ja supistuminen on täysin mitättömän pieni.

Historiallinen tausta

Fitzgerald esitti 1800-luvun lopulla idean pituussupistuksesta selitykseksi Michelson–Morley -kokeen tuloksille (jossa ei havaittu odotettua eetterivirtausta). Lorentz kehitti matemaattiset muunnokset, jotka hyvin kuvaavat ilmiötä. Einsteinin erityinen suhteellisuusteoria antoi käsitteelle nykyisen tulkinnan ilman tarvetta eetterille: supistuminen seuraa suoraan aikatilamuunnoksista ja valon nopeuden konstanssista.

Käytännön havainnot ja merkitys

• Suora arkipäiväinen havainto pituussupistuksesta on mahdotonta, koska ilmiö näkyy vasta, kun v lähestyy valonnopeutta.
• Epäsuoria vahvistuksia saadaan hiukkasfysiikasta ja kosmisista hiukkasista: esimerkiksi ilmakehän muonit saavuttavat maan pinnan todennäköisemmin, koska niiden elinikä näyttää pidemmältä liikkuvan havainnoijan näkökulmasta (aikadilataatio); sama ilmiö voidaan tulkita myös maapallon kehyksessä pituussupistuksena muonien etäisyyksistä.
• Partikkelikiihdyttimissä ja syvyysfysiikassa relativistiset efektit (mukaan lukien pituussupistuksen laskennallinen vastine) ovat tärkeitä ja käytännössä mitattavissa laskettavien ennusteiden perusteella.

Paradoxit ja selitys

Usein mainittu "telkku ja sauva" (pole–barn) -paradoksi näyttää ristiriitaiselta, mutta se ratkeaa ymmärtämällä relativistisen simultaanisuuden: eri kehyksissä mitatut samanaikaisuudet poikkeavat, joten sama tapahtumasarja voidaan kuvata eri tavoin eri kehyksissä ilman loogista ristiriitaa.

Yhteenvetona: Lorentzin supistuminen on suhteellisuusteorian ennuste, joka tarkoittaa että liikkuvan kappaleen pituus mitattuna liikkeen suuntaisesti on lyhyempi kuin sen lepokuvaan mitattu pituus. Ilmiö on luonnollinen seuraus Lorentz-muunnoksista ja valon nopeuden konstanssista, ja sen vaikutukset ovat merkittäviä vain relativistisilla nopeuksilla.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mitä on Lorentzin supistuminen?

K: Mitä muita nimityksiä Lorentzin supistumiselle on?

K: Miksi kappaleen koko pienenee, kun joku liikkuu sitä kohti tai siitä poispäin?

K: Mikä on matemaattinen suhde esineen nopeuden ja siinä havaitun supistumisen määrän välillä?

K: Mistä on peräisin limerikki, jota fyysikko George Gamow lainaa kirjassaan?

Kysymys: Voitteko toimittaa limerikin siistityn version?

K: Missä kirjassa fyysikko George Gamow lainasi limerikin?

Hae kirjaimella