Erityinen suhteellisuusteoria

Erityisen suhteellisuusteorian perusteet

Oletetaan, että liikut kohti jotakin, joka liikkuu sinua kohti. Jos mittaat sen nopeutta, se näyttää liikkuvan nopeammin kuin jos et liikkuisi. Oletetaan nyt, että liikut poispäin jostakin, joka liikkuu sinua kohti. Jos mittaat sen nopeuden uudelleen, se näyttää liikkuvan hitaammin. Tämä on ajatus "suhteellisesta nopeudesta" - esineen nopeudesta suhteessa sinuun.

Ennen Albert Einsteinia tiedemiehet yrittivät mitata valon "suhteellista nopeutta". He tekivät tämän mittaamalla tähtien valon nopeutta, joka saapuu Maahan. He odottivat, että jos Maa liikkuu kohti tähteä, tähden valon pitäisi näkyä nopeampana kuin jos Maa liikkuu poispäin tähdestä. He kuitenkin huomasivat, että riippumatta siitä, kuka kokeet teki, missä kokeet tehtiin tai mitä tähden valoa käytettiin, mitattu valon nopeus tyhjiössä oli aina sama.

Einstein sanoi, että tämä johtuu siitä, että pituudessa ja kestossa eli siinä, kuinka kauan jokin kestää, on jotain odottamatonta. Hän ajatteli, että Maan liikkuessa avaruudessa kaikki mitattavat kestot muuttuvat hyvin vähän. Mikä tahansa kello, jota käytetään keston mittaamiseen, on väärässä juuri oikean verran, jotta valon nopeus pysyy samana. Kuvittelemalla "valokello" voimme paremmin ymmärtää tämän merkillisen tosiasian yksittäisen valoaallon tapauksessa.

Einstein sanoi myös, että Maan liikkuessa avaruudessa kaikki mitattavat pituudet muuttuvat (aina vain hieman). Mikä tahansa pituutta mittaava laite antaa pituuden, joka poikkeaa täsmälleen oikean verran, jotta valon nopeus pysyy samana.

Vaikeinta on ymmärtää, että tapahtumat, jotka näyttävät olevan samanaikaisia yhdessä kehyksessä, eivät välttämättä ole samanaikaisia toisessa kehyksessä. Tällä on monia vaikutuksia, joita ei ole helppo havaita tai ymmärtää. Koska esineen pituus on etäisyys päästä päähän yhdellä samanaikaisella hetkellä, seuraa siitä, että jos kaksi havaitsijaa on eri mieltä siitä, mitkä tapahtumat ovat samanaikaisia, tämä vaikuttaa (joskus dramaattisesti) heidän mittauksiinsa esineiden pituudesta. Lisäksi, jos paikallaan olevan tarkkailijan mielestä kellojen rivi näyttää synkronoidulta, mutta saman tarkkailijan mielestä se näyttää olevan epäsynkronoitu kiihdytyksen jälkeen tiettyyn nopeuteen, siitä seuraa, että kiihdytyksen aikana kellot kulkivat eri nopeuksilla. Jotkin kellot saattavat jopa kulkea takaperin. Tämä päättely johtaa yleiseen suhteellisuusteoriaan.

Muut tiedemiehet ennen Einsteinia olivat kirjoittaneet siitä, että valo näyttää kulkevan samalla nopeudella riippumatta siitä, miten sitä havaitaan. Einsteinin teoriasta teki niin vallankumouksellisen se, että se pitää valon nopeuden mittaamista määritelmän mukaan vakiona, toisin sanoen se on luonnonlaki. Tästä seuraa se merkittävä seuraus, että nopeuteen liittyvät mittaukset, pituus ja kesto, muuttuvat tämän mukaisesti.

Lorentz-muunnokset

Erityisen suhteellisuusteorian matemaattisena perustana ovat Lorentzin muunnokset, jotka kuvaavat matemaattisesti avaruuden ja ajan näkymiä kahdelle havaitsijalle, jotka liikkuvat toisiinsa nähden mutta eivät koe kiihtyvyyttä.

Transformaatioiden määrittelyssä käytämme kartesiolaista koordinaattijärjestelmää, jolla kuvataan matemaattisesti "tapahtumien" aika ja tila.

Jokainen havaitsija voi kuvata tapahtuman jonkin asian sijaintina avaruudessa tiettynä ajankohtana käyttämällä koordinaatteja (x,y,z,t).

Tapahtuman sijainti määritellään kolmella ensimmäisellä koordinaatilla (x,y,z) suhteessa mielivaltaiseen keskipisteeseen (0,0,0) siten, että (3,3,3) on lävistäjä, joka kulkee kolme yksikköä (kuten metriä tai mailia) joka suuntaan.

Tapahtuman aikaa kuvataan neljännellä koordinaatilla t suhteessa mielivaltaiseen (0) ajanhetkeen jossakin aikayksikössä (kuten sekunnit, tunnit tai vuodet).

Olkoon havaitsija K, joka kuvaa tapahtumien ajankohtaa aikakoordinaatilla t ja joka kuvaa tapahtumapaikkaa paikkakoordinaateilla x, y ja z. Tämä on matemaattisesti ensimmäinen havaitsija, jonka "näkökulma" on ensimmäinen referenssimme.

Tarkennetaan, että tapahtuman aika on annettu: havaintoajankohta t_(havaittu) (vaikkapa tänään kello 12) vähennettynä ajalla, joka kului havainnon saapumiseen havainnoitsijalle.

Tämä voidaan laskea etäisyytenä havainnoitsijan ja tapahtuman d_{(havaittu) välillä} (sanotaan, että tapahtuma on tähdessä, joka on 1 valovuoden päässä, joten valolta kestää 1 vuosi päästä havainnoitsijalle) jaettuna c:llä, valon nopeudella (useita miljoonia kilometrejä tunnissa), jonka määrittelemme olevan sama kaikille havainnoijille.

Tämä on oikein, koska etäisyys jaettuna nopeudella antaa ajan, joka kuluu kyseisen matkan kulkemiseen kyseisellä nopeudella (esim. 30 mailia jaettuna nopeudella 10 mailia tunnissa: saadaan 3 tuntia, koska jos kuljetaan nopeudella 10 mailia tunnissa 3 tuntia, saavutetaan 30 mailia). Meillä on siis:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Tässä määritellään matemaattisesti, mitä mikä tahansa "aika" tarkoittaa mille tahansa havaitsijalle.

Kun nämä määritelmät on annettu, olkoon toinen tarkkailija K', joka on seuraava

• liikkuu K:n x-akselia pitkin nopeudella v,
• avaruuskoordinaatistossa on x' , y' ja z' ,

jossa x'-akseli on yhteneväinen x-akselin sekä y'- ja z'-akselien kanssa - "aina yhdensuuntainen" y- ja z-akselien kanssa.

Tämä tarkoittaa sitä, että kun K' antaa sijainnin kuten (3,1,2), x (joka tässä esimerkissä on 3) on sama paikka, josta K, ensimmäinen havaitsija, puhuisi, mutta y-akselilla oleva 1 tai z-akselilla oleva 2 ovat vain yhdensuuntaisia jonkin sijainnin kanssa K':n havaitsijan koordinaatistossa, ja

• jossa K ja K' ovat yhteneväiset hetkellä t = t' = 0.

Tämä tarkoittaa, että koordinaatti (0,0,0,0,0) on sama tapahtuma molemmille havaitsijoille.

Toisin sanoen molemmilla havaitsijoilla on (ainakin) yksi aika ja paikka, josta molemmat ovat yhtä mieltä, eli paikka ja aika nolla.

Lorentz-muunnokset ovat siis

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} ja

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Määritellään, että tapahtumalla on avaruusaikakoordinaatit (t,x,y,z) järjestelmässä S ja (t′,x′,y′,z′) viitekehyksessä, joka liikkuu nopeudella v kyseisen järjestelmän S′ suhteen. Tällöin Lorentz-muunnos määrää, että nämä koordinaatit liittyvät toisiinsa seuraavasti: Lorentz-kerroin on Lorentz-kerroin ja c on valon nopeus tyhjiössä, ja S′:n nopeus v on x-akselin suuntainen. Yksinkertaisuuden vuoksi y- ja z-koordinaatistoihin ei vaikuteta, ainoastaan x- ja t-koordinaatistot muunnetaan. Nämä Lorentz-muunnokset muodostavat yhden parametrin mittaisen lineaaristen muunnosten ryhmän, jonka parametri on nimeltään nopeus.

Ratkaisemalla edellä esitetyt neljä muunnosyhtälöä primeroimattomille koordinaateille saadaan käänteinen Lorentz-muunnos:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Jos tämä käänteinen Lorentz-muunnos tehdään yhteneväiseksi Lorentz-muunnoksen kanssa, joka tapahtuu primeroidusta järjestelmästä primeroimattomaan järjestelmään, primeroimaton kehys liikkuu nopeudella v′ = -v, joka mitataan primeroidussa kehyksessä.

X-akselissa ei ole mitään erityistä. Transformaatiota voidaan soveltaa y- tai z-akselille tai itse asiassa mihin tahansa suuntaan, mikä voidaan tehdä liikkeen suuntaisilla suunnilla (jotka vääntyvät γ-kertoimella) ja kohtisuorilla suunnilla; katso lisätietoja artikkelista Lorentz-muunnos.

Lorentz-muunnoksissa muuttumaton suure tunnetaan Lorentz-skalaarina.

Lorentz-muunnoksen ja sen käänteismuunnoksen kirjoittaminen koordinaattien erotuksina, kun yhdellä tapahtumalla on koordinaatit (x1, t1) ja (x′1, t′1), toisella tapahtumalla on koordinaatit (x2, t2) ja (x′2, t′2), ja erotukset määritellään seuraavasti

Yhtälö 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Yhtälö 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

saadaan

Yhtälö 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ \ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Yhtälö 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Jos otamme differentiaalit sen sijaan, että ottaisimme erotukset, saamme seuraavat tulokset

Yhtälö 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\\,dt)\ ,\ \ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

Yhtälö 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Massa, energia ja impulssi

Erityisessä suhteellisuusteoriassa kappaleen impulssi p {\displaystyle p} ja kokonaisenergia E {\displaystyle E} sen massan m {\displaystyle m} funktiona ovat seuraavanlaiset

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

ja

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Usein tehty virhe (myös joissakin kirjoissa) on kirjoittaa tämä yhtälö uudelleen käyttäen "relativistista massaa" (liikesuunnassa) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}} . Tämä on väärin siksi, että esimerkiksi valolla ei ole massaa, mutta sillä on energiaa. Jos käytämme tätä kaavaa, fotonilla (valohiukkasella) on massa, mikä on kokeiden mukaan väärin.

Erityisessä suhteellisuusteoriassa kappaleen massa, kokonaisenergia ja impulssi liittyvät toisiinsa yhtälöllä

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}} .

Levossa olevalle kappaleelle p = 0 {\displaystyle p=0}, joten yllä oleva yhtälö yksinkertaistuu muotoon E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} . Näin ollen levossa olevalla massiivisella kappaleella on edelleen energiaa. Kutsumme tätä lepoenergiaa ja merkitsemme sitä E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0} = mc^{2}} .

Historia

Erityisen suhteellisuusteorian tarve syntyi Maxwellin sähkömagnetismin yhtälöiden perusteella, jotka julkaistiin vuonna 1865. Myöhemmin havaittiin, että niiden mukaan sähkömagneettisten aaltojen (kuten valon) on liikuttava vakionopeudella (eli valon nopeudella).

Jotta James Clerk Maxwellin yhtälöt olisivat sopusoinnussa sekä tähtitieteellisten havaintojen^[1] että newtonilaisen fysiikan kanssa,^[2] Maxwell ehdotti vuonna 1877, että valo kulkee eetterin läpi, joka on kaikkialla maailmankaikkeudessa.

Vuonna 1887 kuuluisassa Michelson-Morleyn kokeessa yritettiin havaita Maan liikkeen synnyttämä "eetterituuli". ^[3] Tämän kokeen pysyvät nollatulokset hämmensivät fyysikoita ja asettivat eetteriteorian kyseenalaiseksi.

Vuonna 1895 Lorentz ja Fitzgerald totesivat, että Michelsonin-Morleyn kokeen nollatulos voitaisiin selittää sillä, että eetterituuli supisti koetta eetterin liikesuuntaan. Tätä vaikutusta kutsutaan Lorentzin supistumiseksi, ja (ilman eetteriä) se on seurausta erityisestä suhteellisuusteoriasta.

Vuonna 1899 Lorentz julkaisi ensimmäisen kerran Lorentzin yhtälöt. Vaikka niitä ei julkaistu ensimmäistä kertaa, niitä käytettiin ensimmäistä kertaa Michelson-Morleyn nollatuloksen selitykseksi, sillä Lorentzin supistuminen on niiden tulos.

Vuonna 1900 Poincaré piti kuuluisan puheen, jossa hän pohti mahdollisuutta, että Michelsonin ja Morleyn kokeen selittämiseksi tarvittaisiin "uutta fysiikkaa".

Vuonna 1904 Lorentz osoitti, että sähkö- ja magneettikentät voidaan muuttaa toisiinsa Lorentz-muunnosten avulla.

Vuonna 1905 Einstein julkaisi Annalen der Physik -lehdessä erikoissuhteellisuusteoriaa esittelevän artikkelinsa "On the Electrodynamics of Moving Bodies". Tässä artikkelissa hän esitteli suhteellisuusteorian postulaatit, johti niistä Lorentzin muunnokset ja (tietämättä Lorentzin vuoden 1904 artikkelia) osoitti myös, miten Lorentzin muunnokset vaikuttavat sähkö- ja magneettikenttiin.

Myöhemmin vuonna 1905 Einstein julkaisi toisen artikkelin, jossa esiteltiin E = mc2.

Vuonna 1908 Max Planck vahvisti Einsteinin teorian ja nimesi sen suhteellisuusteoriaksi. Samana vuonna Hermann Minkowski piti kuuluisan avaruutta ja aikaa käsittelevän puheen, jossa hän osoitti, että suhteellisuusteoria on itsestään johdonmukainen, ja kehitti teoriaa edelleen. Nämä tapahtumat pakottivat fysiikkayhteisön ottamaan suhteellisuusteorian vakavasti. Suhteellisuusteoria tuli sen jälkeen yhä hyväksytymmäksi.

Vuonna 1912 Einstein ja Lorentz olivat ehdolla fysiikan Nobel-palkinnon saajiksi suhteellisuusteoriaa koskevan uraauurtavan työnsä ansiosta. Valitettavasti suhteellisuusteoria oli tuolloin niin kiistanalainen ja pysyi kiistanalaisena niin pitkään, ettei siitä koskaan myönnetty Nobelin palkintoa.

Kokeelliset vahvistukset

• Michelsonin ja Morleyn koe, jossa ei havaittu valon liikesuuntaan perustuvaa eroa valon nopeudessa.
• Fizeaun koe, jossa valon taitekerrointa liikkuvassa vedessä ei voida saada pienemmäksi kuin 1. Havaitut tulokset selitetään nopeuksien yhteenlaskusäännöllä.
• Valon energia ja impulssi noudattavat yhtälöä E = p c {\displaystyle E=pc} . (Newtonilaisessa fysiikassa tämän oletetaan olevan E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc}}) .)
• Poikittainen Doppler-ilmiö, jossa nopeasti liikkuvan kohteen lähettämä valo siirtyy punasiirtymään ajanlaajenemisen vuoksi.
• Maan pinnalla yläilmakehässä syntyvien myonien läsnäolo. Ongelmana on se, että myonien puoliintumisaikaa paljon kauemmin kestää päästä Maan pinnalle jopa lähes valonnopeudella. Niiden läsnäolon voidaan katsoa johtuvan joko aikadilataatiosta (meidän näkökulmastamme) tai maanpinnan etäisyyden pituuden supistumisesta (myonien näkökulmasta).
• Hiukkaskiihdyttimiä ei voida rakentaa ottamatta huomioon relativistista fysiikkaa.

Aiheeseen liittyvät sivut

• Yleinen suhteellisuusteoria