Neliöjuuri luvusta 2 (√2) — määritelmä, ominaisuudet ja geometrinen tulkinta

Neliöjuuri 2 (√2): määritelmä, ominaisuudet ja geometrinen tulkinta — irrationaaliluvun merkitys, Pythagoras ja neliön lävistäjän pituus selkeästi ja visuaalisesti.

Tekijä: Leandro Alegsa

13-01-2026 13:38

Neliöjuuri 2 eli 2:n puolipotenssi, matematiikassa merkittynä √2 tai 2^1⁄2, on positiivinen irrationaaliluku, jonka neliö on luku 2. Toisin sanoen luku x on √2 jos ja vain jos x·x = 2. Tämän luvun vastaluku −√2 on samalla toisen asteen yhtälön x² = 2 toinen juuri; yleensä termillä √2 tarkoitetaan nimenomaan positiivista juurta.

Määritelmä ja perusominaisuudet

Irrationalisuus: √2 ei ole rationaaliluku. Klassinen todistus käy oletuksesta, että √2 = p/q lyhimmillään olevina kokonaislukuna, mistä seuraa p² = 2q². Tästä p on parillinen, jolloin myös q olisi parillinen — ristiriita, joten oletus oli väärä.
Algebra: √2 on algebrallinen luku, eli se on rationaalikertoimisen polynomiyhtälön x² − 2 = 0 juuri. Se on erityisesti kahden asteen (kvadratiinen) irrationaaliluku.
Desimaaliesitys: Ei pääty eikä toistu: noin 1,4142135623730950488… (lukujono jatkuu äärettömänä ilman periodia).
Jatkuva murtoluku: √2:n yksinkertainen jatkuva murtoluku on periodinen: √2 = [1; 2, 2, 2, …]. Tämän vuoksi parhaat rationaaliset approksimaatiot saadaan jatkuvan murtoluvun antamista konvergentteista (esim. 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169 …).

Geometrinen tulkinta

Geometrisesti 2:n neliöjuuri on sellaisen yksikköneliön lävistäjän pituus, jonka sivujen pituus on yksi. Tämä seuraa suoraan Pythagoraan lauseen avulla: suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet 1 ja 1 antavat hypotenusaksi pituuden √(1²+1²) = √2. Tästä seuraa myös, että diagonaalin pituus on epäsuhdassa mihin tahansa rationaaliseen mittaan, eli diagonaali ja sivu eivät ole yhteismitallisia (epäkommensurabilisyyden klassinen havainto).

Numerollinen laskenta ja approksimaatiot

Newton–Raphson (Heronin menetelmä): hyvä iteraatiokaava neliöjuuren laskemiseen on x_{n+1} = (x_n + 2 / x_n) / 2. Esimerkiksi aloituksella x_0 = 1 saadaan x_1 = 1.5, x_2 ≈ 1.4166667, x_3 ≈ 1.4142157, ja lähestyminen on hyvin nopeaa.
Rationaaliset approksimaatiot: jatkuvan murtoluvun konvergentit antavat erinomaisia likiarvoja; tunnettuja hyviä approksimaatioita ovat esimerkiksi 99/70 ≈ 1.4142857 ja 239/169 ≈ 1.4142012.

Merkitys ja historia

√2 on yksi matematiikan klassisimmista ja tutkituimmista luvuista: muinainen havainto, että sivun ja diagonaalin pituudet eivät ole jaollisia samalla rationaalisella mittakaavalla, johti käsitykseen irrationaalisuudesta ja vaikutti matematiikan kehitykseen syvästi. Nykyisin √2 esiintyy lukuisissa yhteyksissä geometriassa, analyysissä, lukuteoriassa ja sovelluksissa, kuten mittauksissa ja numeerisissa algoritmeissa.

Lyhyt yhteenveto

√2 on positiivinen, ei‑rationaalinen reaaliluku, joka täyttää x² = 2. Se on yksiköneliön diagonaalin pituus, sen desimaalikehitelmä on ääretön ja ei‑toistuva, ja sen jatkuva murtoluku on toistuva muodoltaan [1; 2, 2, 2, …]. Laskennallisesti sitä lähestytään helposti Newtonin menetelmällä tai jatkuvan murtoluvun konvergentteja käyttäen.

Neliöjuuri 2 on yhtä pitkä kuin sellaisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus, jonka jalat ovat pituudeltaan 1.

Todiste siitä, että 2:n neliöjuuri ei ole rationaalinen.

Luku 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ ei ole rationaalinen. Tässä on todiste.

Oletetaan, että 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ on rationaalinen. On siis olemassa joitakin lukuja a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ siten, että a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} . $a/b={\sqrt {2}}$
Voimme valita a:n ja b:n siten, että joko a tai b on pariton. Jos a ja b olisivat molemmat parillisia, murtolukua voitaisiin yksinkertaistaa (esimerkiksi sen sijaan, että kirjoitettaisiin 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}} ${\frac {2}{4}}$ sen sijaan voitaisiin kirjoittaa 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Jos yhtälön molemmat puolet neliöidään, saadaan a² / b² = 2 ja a² = 2 b² .
Oikea puoli on 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Tämä luku on parillinen. Joten myös vasemman puolen on oltava parillinen. Joten a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ on parillinen. Jos pariton luku neliöidään, tuloksena on pariton luku. Ja jos parillinen luku neliöidään, tuloksena on myös parillinen luku. Joten {\displaystyle a} on parillinen.
Koska a on parillinen, se voidaan kirjoittaa seuraavasti: a = 2 k {\displaystyle a=2k} . $a=2k$
Käytetään vaiheessa 3 esitettyä yhtälöä. Saadaan 2b² = (2k)²
Voidaan käyttää potensointisääntöä (katso artikkeli) - tulos on 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Molemmat puolet jaetaan 2:lla, joten b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . Tämä tarkoittaa, että b {\displaystyle b} $b$ on parillinen.
Vaiheessa 2 sanoimme, että a on pariton tai b on pariton. Mutta vaiheessa 4 sanottiin, että a on parillinen, ja vaiheessa 7 sanottiin, että b on parillinen. Jos askeleessa 1 tekemämme oletus on totta, kaikkien näiden muiden asioiden on oltava totta, mutta koska ne ovat keskenään ristiriidassa, ne eivät kaikki voi olla totta; se tarkoittaa, että oletuksemme ei ole totta.

Ei ole totta, että 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ on rationaaliluku. Joten 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ on irrationaalinen.

Etsiä