Neliöjuuri 2:sta
Neliöjuuri 2 tai (1/2)-luvun 2 potenssi, matematiikassa kirjoitettuna √2 tai 21⁄2 , on positiivinen irrationaaliluku, joka kerrottuna itsellään on yhtä suuri kuin luku 2. Tarkemmin sanottuna sitä kutsutaan 2:n pääasialliseksi neliöjuureksi, jotta se voidaan erottaa negatiivisesta versiosta, jossa myös tämä pätee.
Geometrisesti 2:n neliöjuuri on sellaisen neliön lävistäjän pituus, jonka sivujen pituus on yksi; tämä voidaan määrittää Pythagoraan lauseen avulla.
Neliöjuuri 2 on yhtä pitkä kuin sellaisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus, jonka jalat ovat pituudeltaan 1.
Todiste siitä, että 2:n neliöjuuri ei ole rationaalinen.
Luku 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
ei ole rationaalinen. Tässä on todiste.
- Oletetaan, että 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} on rationaalinen. On siis olemassa joitakin lukuja a , b {\displaystyle a,b}
siten, että a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .
- Voimme valita a:n ja b:n siten, että joko a tai b on pariton. Jos a ja b olisivat molemmat parillisia, murtolukua voitaisiin yksinkertaistaa (esimerkiksi sen sijaan, että kirjoitettaisiin 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}}
sen sijaan voitaisiin kirjoittaa 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
). - Jos yhtälön molemmat puolet neliöidään, saadaan a2 / b2 = 2 ja a2 = 2 b2 .
- Oikea puoli on 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}
. Tämä luku on parillinen. Joten myös vasemman puolen on oltava parillinen. Joten a 2 {\displaystyle a^{2}}
on parillinen. Jos pariton luku neliöidään, tuloksena on pariton luku. Ja jos parillinen luku neliöidään, tuloksena on myös parillinen luku. Joten {\displaystyle a}
on parillinen. - Koska a on parillinen, se voidaan kirjoittaa seuraavasti: a = 2 k {\displaystyle a=2k} .
- Käytetään vaiheessa 3 esitettyä yhtälöä. Saadaan 2b2 = (2k)2
- Voidaan käyttää potensointisääntöä (katso artikkeli) - tulos on 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}}
. - Molemmat puolet jaetaan 2:lla, joten b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}
. Tämä tarkoittaa, että b {\displaystyle b}
on parillinen. - Vaiheessa 2 sanoimme, että a on pariton tai b on pariton. Mutta vaiheessa 4 sanottiin, että a on parillinen, ja vaiheessa 7 sanottiin, että b on parillinen. Jos askeleessa 1 tekemämme oletus on totta, kaikkien näiden muiden asioiden on oltava totta, mutta koska ne ovat keskenään ristiriidassa, ne eivät kaikki voi olla totta; se tarkoittaa, että oletuksemme ei ole totta.
Ei ole totta, että 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} on rationaaliluku. Joten 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} on irrationaalinen.
