Neliöjuuri 2 eli 2:n puolipotenssi, matematiikassa merkittynä √2 tai 21⁄2, on positiivinen irrationaaliluku, jonka neliö on luku 2. Toisin sanoen luku x on √2 jos ja vain jos x·x = 2. Tämän luvun vastaluku −√2 on samalla toisen asteen yhtälön x² = 2 toinen juuri; yleensä termillä √2 tarkoitetaan nimenomaan positiivista juurta.

Määritelmä ja perusominaisuudet

  • Irrationalisuus: √2 ei ole rationaaliluku. Klassinen todistus käy oletuksesta, että √2 = p/q lyhimmillään olevina kokonaislukuna, mistä seuraa p² = 2q². Tästä p on parillinen, jolloin myös q olisi parillinen — ristiriita, joten oletus oli väärä.
  • Algebra: √2 on algebrallinen luku, eli se on rationaalikertoimisen polynomiyhtälön x² − 2 = 0 juuri. Se on erityisesti kahden asteen (kvadratiinen) irrationaaliluku.
  • Desimaaliesitys: Ei pääty eikä toistu: noin 1,4142135623730950488… (lukujono jatkuu äärettömänä ilman periodia).
  • Jatkuva murtoluku: √2:n yksinkertainen jatkuva murtoluku on periodinen: √2 = [1; 2, 2, 2, …]. Tämän vuoksi parhaat rationaaliset approksimaatiot saadaan jatkuvan murtoluvun anta­mista konvergentteista (esim. 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169 …).

Geometrinen tulkinta

Geometrisesti 2:n neliöjuuri on sellaisen yksikköneliön lävistäjän pituus, jonka sivujen pituus on yksi. Tämä seuraa suoraan Pythagoraan lauseen avulla: suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet 1 ja 1 antavat hypotenusaksi pituuden √(1²+1²) = √2. Tästä seuraa myös, että diagonaalin pituus on epäsuhdassa mihin tahansa rationaaliseen mittaan, eli diagonaali ja sivu eivät ole yhteismitallisia (epäkommensurabilisyyden klassinen havainto).

Numerollinen laskenta ja approksimaatiot

  • Newton–Raphson (Heronin menetelmä): hyvä iteraatiokaava neliöjuuren laskemiseen on x_{n+1} = (x_n + 2 / x_n) / 2. Esimerkiksi aloituksella x_0 = 1 saadaan x_1 = 1.5, x_2 ≈ 1.4166667, x_3 ≈ 1.4142157, ja lähestyminen on hyvin nopeaa.
  • Rationaaliset approksimaatiot: jatkuvan murtoluvun konvergentit antavat erinomaisia likiarvoja; tunnettuja hyviä approksimaatioita ovat esimerkiksi 99/70 ≈ 1.4142857 ja 239/169 ≈ 1.4142012.

Merkitys ja historia

√2 on yksi matematiikan klassisimmista ja tutkituimmista luvuista: muinainen havainto, että sivun ja diagonaalin pituudet eivät ole jaollisia samalla rationaalisella mittakaavalla, johti käsitykseen irrationaalisuudesta ja vaikutti matematiikan kehitykseen syvästi. Nykyisin √2 esiintyy lukuisissa yhteyksissä geometriassa, analyysissä, lukuteoriassa ja sovelluksissa, kuten mittauksissa ja numeerisissa algoritmeissa.

Lyhyt yhteenveto

√2 on positiivinen, ei‑rationaalinen reaali­luku, joka täyttää x² = 2. Se on yksiköneliön diagonaalin pituus, sen desimaalikehitelmä on ääretön ja ei‑toistuva, ja sen jatkuva murtoluku on toistuva muodoltaan [1; 2, 2, 2, …]. Laskennallisesti sitä lähestytään helposti Newtonin menetelmällä tai jatkuvan murtoluvun konvergentteja käyttäen.