Pythagoraan lause – määritelmä, kaava ja esimerkit

Pythagoraan lauseen mukaan hypotenuusan neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden pinta-alojen summa. Tässä kuvassa sinisen neliön pinta-ala lisättynä punaisen neliön pinta-alaan muodostaa violetin neliön pinta-alan. Se on nimetty kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan mukaan:

Jos jalkojen pituudet ovat a ja b ja hypotenuusan pituus on c, niin a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} .

Tästä lauseesta on olemassa monia erilaisia todistuksia. Ne jakautuvat neljään luokkaan:

1. Lineaarisiin suhteisiin perustuvat: algebralliset todisteet.
2. Pinta-alojen vertailuun perustuvat: geometriset todistukset.
3. Ne, jotka perustuvat vektorioperaatioon.
4. Massaan ja nopeuteen perustuvat: dynaamiset todistukset.

Kreikkalainen matemaatikko Eudoxus Cnidusilainen löysi yhden todistuksen Pythagoraan lauseesta.

Todistuksessa käytetään kolmea lemmaa:

1. Kolmioilla, joilla on sama pohja ja korkeus, on sama pinta-ala.
2. Kolmio, jonka pohja ja korkeus ovat yhtä suuret kuin neliön sivu, on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin neliön puolikas.
3. Kolmioilla, joiden kaksi sivua ja yksi kulma ovat yhtenevät, on sama pinta-ala.

Todiste on:

1. Sinisellä kolmiolla on sama pinta-ala kuin vihreällä kolmiolla, koska sillä on sama pohja ja korkeus (lemma 1).
2. Vihreällä ja punaisella kolmiolla on molemmilla kaksi sivua, jotka ovat yhtä suuret kuin saman neliön sivut, ja kulma, joka on yhtä suuri kuin suora kulma (90 asteen kulma) ja kolmion kulma, joten ne ovat yhteneviä ja niillä on sama pinta-ala (lemma 3).
3. Punaisten ja keltaisten kolmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret, koska niiden korkeudet ja pohjat ovat samat (lemma 1).
4. Sinisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin keltaisen kolmion pinta-ala, koska

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. Ruskeilla kolmioilla on sama pinta-ala samoista syistä.
2. Sinisellä ja ruskealla on kummallakin puolet pienemmän neliön pinta-alasta. Niiden pinta-alojen summa on puolet suuremman neliön pinta-alasta. Tästä johtuen pienten neliöiden pinta-alojen puolikkaat ovat yhtä suuria kuin puolet isomman neliön pinta-alasta, joten niiden pinta-ala on sama kuin isomman neliön pinta-ala.

Todistus samankaltaisten kolmioiden avulla

Pythagoraan lauseelle saadaan toinen todiste käyttämällä samankaltaisia kolmioita.

d a = a c ⇒ a 2 = d c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad {a^{2}}={dc}\quad (1)}

e b = b c ⇒ b 2 = e c ( 2 ) {\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad {b^{2}}={ec}\quad (2)}

Lisää kuvasta yhtälöt (1) ja (2):

Ja saamme:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}
 

Pythagoraan kolmoset ovat kolme kokonaislukua, jotka sopivat yhtälöön a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} .

Kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5, on tunnettu esimerkki. Jos a=3 ja b=4, niin 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} koska 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25}} . Tämä voidaan esittää myös muodossa 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.} {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.}

Kolme-neljä-viisi-kolmio toimii kaikille 3:n, 4:n ja 5:n kertaluvuille. Toisin sanoen myös luvut 6, 8, 10 tai 30, 40 ja 50 ovat Pythagoraan kolmioita. Toinen esimerkki kolmikosta on kolmio 12-5-13, koska 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13}} .

Pythagoraan kolmikkoa, joka ei ole muiden kolmikkojen monikerta, kutsutaan primitiiviseksi pythagoraaniseksi kolmikoksi. Mikä tahansa primitiivinen Pythagoraan kolmio voidaan löytää lausekkeella ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , mutta seuraavien ehtojen on täytyttävä. Ne asettavat rajoituksia arvoille m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} ovat positiivisia kokonaislukuja.
2. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} ei ole muita yhteisiä tekijöitä kuin 1.
3. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} ovat vastakkaisen pariteetin omaavia. m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} ovat vastakkaisen pariteetin omaavia, kun m {\displaystyle m} on parillinen ja n {\displaystyle n} on pariton tai m {\displaystyle m} on pariton ja n {\displaystyle n} on parillinen.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Jos kaikki neljä ehtoa täyttyvät, arvot m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} muodostavat primitiivisen Pythagoraan kolmikon.

m = 2 {\displaystyle m=2} ja n = 1 {\displaystyle n=1} muodostavat alkeellisen Pythagoraan kolmikon. Arvot täyttävät kaikki neljä ehtoa. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} ja m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , joten syntyy kolmikko ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} .