0.999...
0,999... (kirjoitetaan myös 0,9 ja luetaan muodossa "0,9 pistettä 9 toistoa") on yksi tapa, jolla luku 1 (yksi) voidaan kirjoittaa. Vaikka se kirjoitetaankin näin, se on silti yhtä suuri kuin 1 riippumatta siitä, kuinka monta ysiä on ennen ellipsiä.
Tietoja
0,999... on toistuva desimaaliluku, mikä tarkoittaa, että numero "9" toistuu ikuisesti. Se eroaa 0,999:stä, jossa on vain kolme 9:ää.
0.999... voidaan kirjoittaa myös muodossa 0. 9 ¯ {\displaystyle 0.{\bar {9}}} 
, 0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}}}
tai 0. ( 9 ) {\displaystyle 0.(9)\,} . 
Monien ihmisten on vaikea ymmärtää, miksi 0,999... on sama kuin 1. On olemassa monia todisteita, jotka osoittavat, miksi ne ovat sama luku, mutta monet näistä todistuksista ovat hyvin monimutkaisia.
Esimerkkejä
Yksi yksinkertainen tapa osoittaa, että 0,999... ja 1 ovat sama asia, on jakaa ne molemmat luvulla 3. Kun 0,999... jaetaan 3:lla, saadaan vastaus 0,333..., joka on sama kuin1 ⁄3 (murtoluku yksi kolmasosa).
0.999 ... 3 = 0.333 ... = 1 3 {\displaystyle {0.999\ldots \over 3}=0.333\ldots ={\frac {1}{3}}} 
Kun 1 jaetaan kolmella, vastaus on1 ⁄3 . Koska vastaukset ovat samat, se tarkoittaa, että 0,999... ja 1 ovat samat. Toinen tapa ajatella asiaa on, että jos1 ⁄3 = 0,333... ja2 ⁄3 = 0,666..., niin3 ⁄3 = 0,999..., joten koska3 ⁄3 = 1, myös 0,999... on oltava yhtä kuin 1. On monia muita tapoja osoittaa tämä.
Toinen tapa todistaa, että 0,999... = 1, on hyväksyä se yksinkertainen tosiasia, että jos kaksi lukua eroaa toisistaan, niiden välissä on oltava vähintään yksi luku. Esimerkiksi luvun 1 ja 2 välinen luku on 1,5 ja luvun 0,9 ja 1 välinen luku on 0,95. Koska luvussa 0,999... on ääretön määrä 9:iä, "viimeisen" 9:n jälkeen ei voi olla toista lukua, eli lukujen 0,999... ja 1 välillä ei ole yhtään lukua, joten ne ovat yhtä suuria.
Vielä yksi yleinen todiste on tällainen:
x = 0.999... {\displaystyle x=0.999... } 
10 x = 9.999... {\displaystyle 10x=9.999... } 
10 x - 1 x = 9 x {\displaystyle 10x-1x=9x} 
9 x = 9.999... - 0.999... = 9 {\displaystyle 9x=9.999...-0.999...=9} 
x = 1 {\displaystyle x=1} 
0.999... = 1 {\displaystyle 0.999...=1} 
Populaarikulttuurissa
Internetin kehittyessä 0,999...:sta väitellään usein uutisryhmissä ja ilmoitustauluilla. Jopa uutisryhmät ja ilmoitustaulut, joilla ei ole paljon tekemistä matematiikan kanssa, kiistelevät tästä. Uutisryhmässä sci.math väittely 0,999...:sta on "suosittu laji". Se on myös yksi sen FAQ:n kysymyksistä.
