Miksi 0,999... on yhtä kuin 1 — selitys ja todistus
Selkeä ja tiivis selitys miksi 0,999... = 1 — matematiikan todistus, esimerkit ja intuitiivinen selvennys.
0,999... (kirjoitetaan myös 0,9 ja luetaan muodossa "0,9 pistettä 9 toistoa") on yksi tapa, jolla luku 1 (yksi) voidaan kirjoittaa. Vaikka se kirjoitetankin näin, se on silti yhtä suuri kuin 1 riippumatta siitä, kuinka monta ysiä on ennen ellipsiä.
Tässä selitetään, miksi 0,999... = 1 useilla eri tavoilla — sekä intuitiivisesti että matemaattisesti täsmällisesti. Kaikki osoitukset perustuvat siihen, miten desimaalilukujen esitykset, sarjat ja reaalilukujen raja-arvot toimivat.
1. Yksinkertainen algebrallinen todistus
Merkitään x = 0,999.... Kerrotaan yhtälö 10:llä:
10x = 9,999....
Vähennetään alkuperäinen yhtälö: 10x − x = 9,999... − 0,999... jolloin saadaan 9x = 9. Tästä x = 1. Siis 0,999... = 1.
2. Geometrinen sarja / raja-arvo
Desimaaliesitys 0,999... tarkoittaa lukujonojen raja-arvoa: 0,9, 0,99, 0,999, ... Sama kuin sarja
0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = sum_{k=1}^∞ 9·10−k.
Tämä on geometrinen sarja, jonka ensimmäinen termi on 0,9 (eli 9·10−1) ja suhdeluku 1/10. Geometrisen sarjan summa on a/(1−r), joten
sum = 9·10−1 / (1 − 10−1) = (9/10) / (9/10) = 1.
Toisin sanoen äärettömien osasummien raja-arvo on 1, joten 0,999... = 1.
3. Murtolukulaskenta (esimerkki 1/3)
Tuttujen murtolukujen avulla: 1/3 = 0,333... joten kertomalla yhtälöllä 3 saadaan 1 = 0,999.... Tämä on yksinkertainen ja yleisesti käytetty tapa havainnollistaa yhtäsuuruus.
4. Raja-arvojen ja ylärajan näkökulma
Otetaan jono s_n, jossa s_n on desimaali, jossa on n kappaletta ysiä: s_1 = 0,9, s_2 = 0,99, jne. Tämä jono on kasvava ja kaikilla n s_n < 1. Luku 1 on tälle jonolle yläraja, ja koska jonon raja-arvo on pienin yläraja (supremum), raja-arvo on 1. Näin ollen 0,999... eli jonon raja on 1.
5. Desimaali-esitysten epäyhtenäisyys (kaksinaiset esitykset)
On hyvä huomata, että joillain reaaliluvuilla on kaksi desimaali-esitystä: yksi, joka päättyy loputtomiin nolliin, ja toinen, joka päättyy loputtomiin ysiin. Esimerkki: 0,24999... = 0,25. Tämä ei ole ristiriita — se on vain desimaaliesitysten ominaisuus. Samalla tavalla 1 = 0,999.... Desimaalikirjoitus ei ole aina yksikäsitteinen lopussa olevien 9:ien ja 0:ien kohdalla.
Yleiset väärinkäsitykset
- ”0,999... on vähän pienempi kuin 1” — ei: jokainen mahdollinen etäisyys positiivisesta luvusta 1 tarkoittaisi, että erotus olisi jotakin positiivista epsilonia, mutta ei ole mitään positiivista reaalilukua, joka olisi yhä suurempi kuin 0,999... ja pienempi kuin 1. Erotus on nolla.
- ”Tässä on käytetty ikään kuin ääretöntä laskentaa, se ei ole kelvollinen” — äärettömät sarjat ja raja-arvot ovat vakiintyneitä käsitteitä analyysissa; yllä olevat todistukset käyttävät näitä täsmällisesti. Algebrallinen todistus on myös yksinkertainen ja pätevä.
Yhteenvetona: eri näkökulmista — algebrallisesti, sarjan summana, raja-arvona ja murtoluku-esimerkin kautta — kaikki johtavat samaan tulokseen: 0,999... on sama luku kuin 1. Tämä on esimerkki siitä, miten äärettömät desimaalit voivat antaa useampia esityksiä samalle reaaliluvulle.
Tietoja
0,999... on toistuva desimaaliluku, mikä tarkoittaa, että numero "9" toistuu ikuisesti. Se eroaa 0,999:stä, jossa on vain kolme 9:ää.
0.999... voidaan kirjoittaa myös muodossa 0. 9 ¯ {\displaystyle 0.{\bar {9}}} 
, 0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}}}
tai 0. ( 9 ) {\displaystyle 0.(9)\,} . 
Monien ihmisten on vaikea ymmärtää, miksi 0,999... on sama kuin 1. On olemassa monia todisteita, jotka osoittavat, miksi ne ovat sama luku, mutta monet näistä todistuksista ovat hyvin monimutkaisia.
Esimerkkejä
Yksi yksinkertainen tapa osoittaa, että 0,999... ja 1 ovat sama asia, on jakaa ne molemmat luvulla 3. Kun 0,999... jaetaan 3:lla, saadaan vastaus 0,333..., joka on sama kuin1 ⁄3 (murtoluku yksi kolmasosa).
0.999 ... 3 = 0.333 ... = 1 3 {\displaystyle {0.999\ldots \over 3}=0.333\ldots ={\frac {1}{3}}} 
Kun 1 jaetaan kolmella, vastaus on1 ⁄3 . Koska vastaukset ovat samat, se tarkoittaa, että 0,999... ja 1 ovat samat. Toinen tapa ajatella asiaa on, että jos1 ⁄3 = 0,333... ja2 ⁄3 = 0,666..., niin3 ⁄3 = 0,999..., joten koska3 ⁄3 = 1, myös 0,999... on oltava yhtä kuin 1. On monia muita tapoja osoittaa tämä.
Toinen tapa todistaa, että 0,999... = 1, on hyväksyä se yksinkertainen tosiasia, että jos kaksi lukua eroaa toisistaan, niiden välissä on oltava vähintään yksi luku. Esimerkiksi luvun 1 ja 2 välinen luku on 1,5 ja luvun 0,9 ja 1 välinen luku on 0,95. Koska luvussa 0,999... on ääretön määrä 9:iä, "viimeisen" 9:n jälkeen ei voi olla toista lukua, eli lukujen 0,999... ja 1 välillä ei ole yhtään lukua, joten ne ovat yhtä suuria.
Vielä yksi yleinen todiste on tällainen:
x = 0.999... {\displaystyle x=0.999... } 
10 x = 9.999... {\displaystyle 10x=9.999... } 
10 x - 1 x = 9 x {\displaystyle 10x-1x=9x} 
9 x = 9.999... - 0.999... = 9 {\displaystyle 9x=9.999...-0.999...=9} 
x = 1 {\displaystyle x=1} 
0.999... = 1 {\displaystyle 0.999...=1} 
Populaarikulttuurissa
Internetin kehittyessä 0,999...:sta väitellään usein uutisryhmissä ja ilmoitustauluilla. Jopa uutisryhmät ja ilmoitustaulut, joilla ei ole paljon tekemistä matematiikan kanssa, kiistelevät tästä. Uutisryhmässä sci.math väittely 0,999...:sta on "suosittu laji". Se on myös yksi sen FAQ:n kysymyksistä.
Etsiä