Yhdistetty kaasulaki – PV/T-kaava ideaalikaasien paine, tilavuus ja lämpötila

Boylen lain mukaan paineen ja tilavuuden tulo on vakio:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charlesin lain mukaan tilavuus on verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussacin lain mukaan paine on verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

jossa P on paine, V tilavuus ja T ideaalikaasun absoluuttinen lämpötila.

Yhdistämällä (1) ja jompikumpi (2) tai (3) saadaan uusi yhtälö, jossa on P, V ja T. Jos yhtälö (1) jaetaan lämpötilalla ja yhtälö (2) kerrotaan paineella, saadaan:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P}} .

Koska molempien yhtälöiden vasen puoli on sama, saadaan tulokseksi seuraava luku

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P}} ,

mikä tarkoittaa, että

P V T = vakio {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}}} .

Korvaamalla Avogadron laki saadaan ideaalikaasun yhtälö.

Yhdistetyn kaasulain johtaminen pelkkää alkeisalgebraa käyttäen voi sisältää yllätyksiä. Esimerkiksi, kun lähdetään liikkeelle kolmesta empiirisestä laista.

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\!}           (1) Gay-Lussacin laki, tilavuus oletetaan vakioksi.

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}           (2) Charlesin laki, paine oletetaan vakioksi

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\!}           (3) Boylen laki, lämpötila oletetaan vakioksi.

jossa k_V , k_P ja k_T ovat vakioita, voidaan nämä kolme kertoa keskenään, jolloin saadaan seuraavat luvut

P V P V = k V T k P T k T k T {\displaystyle PVPV=k_V}Tk_{P}Tk_{T}Tk_{T}\,\!}

Molempien puolien neliöjuuren ottaminen ja jakaminen T:llä näyttää tuottavan halutun tuloksen.

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}\,\!}

Jos kuitenkin ennen edellä esitetyn menettelyn soveltamista vain järjestetään uudelleen Boylen lain termit, k_T = PV, niin peruuttamisen ja uudelleenjärjestelyn jälkeen saadaan seuraava tulos

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!}

mikä ei ole kovin hyödyllistä, ellei jopa harhaanjohtavaa.

Fysikaalinen johdanto, joka on pidempi mutta luotettavampi, alkaa siitä, että Gay-Lussacin lain vakiotilavuusparametri muuttuu järjestelmän tilavuuden muuttuessa. Vakiotilavuudella V₁ laki saattaa näkyä P = k₁ T, kun taas vakiotilavuudella V₂ se saattaa näkyä P = k₂ T. Merkitään tätä "muuttuvaa vakiotilavuutta" k_V (V), jolloin laki kirjoitetaan uudelleen muotoon

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\!}           (4)

Sama pätee Charlesin lain vakioon, joka voidaan kirjoittaa seuraavasti

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\!}           (5)

Kun etsitään k_V (V), ei pidä ajattelemattomasti poistaa T:tä (4) ja (5) väliltä, koska P vaihtelee edellisessä, kun taas jälkimmäisessä se oletetaan vakioksi. Pikemminkin olisi ensin määritettävä, missä mielessä nämä yhtälöt ovat yhteensopivia keskenään. Tätä varten muistutetaan, että kaksi mitä tahansa muuttujaa määrittää kolmannen. Jos P ja V ovat riippumattomia, kuvittelemme, että T-arvot muodostavat pinnan PV-tason yläpuolella. Määrätyt V₀ ja P₀ määrittelevät T₀ , pisteen tällä pinnalla. Kun nämä arvot korvataan kohdissa (4) ja (5) ja järjestetään uudelleen, saadaan seuraavat tulokset

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}}}

Koska nämä molemmat kuvaavat sitä, mitä tapahtuu samassa pisteessä pinnalla, nämä kaksi numeerista lauseketta voidaan rinnastaa ja järjestää uudelleen.

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}{V_{0}}}\,\!}           (6)

Huomaa, että

1/k_V (V₀ ) ja 1/k_P (P₀ ) ovat P-akselin/V-akselin suuntaisten ja PV-tason yläpuolella olevan pinnan kyseisen pisteen kautta kulkevien kohtisuorien kaltevuudet. Näiden kahden suoran kaltevuuden suhde riippuu ainoastaan P₀ /V₀ arvosta kyseisessä pisteessä.

Huomattakoon, että funktionaalinen muoto (6) ei riippunut valitusta pisteestä. Sama kaava olisi syntynyt millä tahansa muulla P- ja V-arvojen yhdistelmällä. Näin ollen voidaan kirjoittaa

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V} (7)

Tämä tarkoittaa, että pinnan jokaisella pisteellä on oma parinsa sen läpi kulkevia kohtisuoraviivoja, joiden kaltevuussuhde riippuu vain kyseisestä pisteestä. Kun (6) on tiettyjen kaltevuuksien ja muuttujien arvojen välinen suhde, (7) on kaltevuusfunktioiden ja funktion muuttujien välinen suhde. Se pätee missä tahansa pinnan pisteessä, toisin sanoen missä tahansa ja missä tahansa P- ja V-arvojen yhdistelmässä. Ratkaistaksesi tämän yhtälön funktiolle k_V (V) erotetaan ensin muuttujat, V vasemmalla ja P oikealla.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Valitaan mikä tahansa paine P₁ . Oikealla puolella arvioidaan jokin mielivaltainen arvo, kutsutaan sitä k_arb .

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!}           (8)

Tämän yhtälön on nyt pätevinä, ei vain yhdelle V:n arvolle, vaan kaikille V:n arvoille. Ainoa k_V (V) -määritelmä, joka takaa tämän kaikille V:lle ja mielivaltaiselle k_arb -arvolle on seuraava

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{{\text{arb}}}{V}}}} (9)

joka voidaan todentaa korvaamalla se luvulla (8).

Lopuksi, kun (9) korvataan Gay-Lussacin lailla (4) ja järjestetään uudelleen, saadaan yhdistetty kaasulaki.

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!}

Huomaa, että vaikka Boylen lakia ei käytetty tässä johdannaisessa, se on helppo päätellä tuloksesta. Yleensä tämäntyyppisessä johdannaislaskennassa tarvitaan vain kaksi kolmesta lähtölaista - kaikki lähtölait johtavat samaan yhdistettyyn kaasulakiin.

Yhdistetyn kaasulain avulla voidaan selittää mekaniikka, jossa paine, lämpötila ja tilavuus vaikuttavat. Esimerkkejä: ilmastointilaitteet, jääkaapit ja pilvien muodostuminen, ja sitä käytetään myös nestemekaniikassa ja termodynamiikassa.

• Daltonin laki