Fermat’n luku

Fermat-luku on erityinen positiivinen luku. Fermat-luvut on nimetty Pierre de Fermatin mukaan. Kaava, joka tuottaa ne, on

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\\overset {n}{}}}+1}} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

jossa n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Yhdeksän ensimmäistä Fermat-lukua ovat (OEIS:n sarja A000215):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = ²¹⁶ + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Vuoteen 2007 mennessä vain 12 ensimmäistä Fermat-lukua on laskettu kokonaan. (kirjoitettu alkulukujen tulona) Nämä kertolaskujen kertoimet löytyvät osoitteesta Prime Factors of Fermat Numbers (Fermat-lukujen alkuluvut).

Jos 2n + 1 on alkuluku ja n > 0, voidaan osoittaa, että n:n on oltava kahden potenssi. Jokainen alkuluku, jonka muoto on 2n + 1, on Fermat-luku, ja tällaisia alkulukuja kutsutaan Fermat-lukuiksi. Ainoat tunnetut Fermat-lukujen alkuluvut ovat F0,...,F4.

Mielenkiintoisia asioita Fermat'n luvuista

Kahdella Fermat-luvulla ei ole yhteisiä jakajia.
Fermat'n luvut voidaan laskea rekursiivisesti: Jos haluat saada N:nnen luvun, kerrotaan kaikki sitä edeltävät Fermat-luvut ja lisätään tulokseen kaksi.

Mihin niitä käytetään

Nykyään Fermat'n lukuja voidaan käyttää satunnaislukujen tuottamiseen välillä 0 ja jonkin N-arvon välillä, joka on 2:n potenssi.

Fermat'n arvaus

Fermat arveli näitä lukuja tutkiessaan, että kaikki Fermat-luvut olivat alkulukuja. Leonhard Euler osoitti tämän vääräksi, kun hän kertoi F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ vuonna 1732.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Fermat'n luku?

A: Fermat-luku on erityinen positiivinen luku, joka on nimetty Pierre de Fermatin mukaan. Se saadaan kaavalla F_n = 2^2^(n) + 1, jossa n on ei-negatiivinen kokonaisluku.

K: Kuinka monta Fermat-lukua on olemassa?

V: Vuoteen 2007 mennessä vain 12 ensimmäistä Fermat-lukua on laskettu täysin faktorisoituna.

K: Mitkä ovat yhdeksän ensimmäistä Fermat-lukua?

A: Yhdeksän ensimmäistä Fermat-lukua ovat F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), ja F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

Kysymys: Mitä voidaan sanoa alkuluvuista, joiden muoto on 2n + 1?

V: Jos 2n + 1 on alkuluku ja n > 0, voidaan osoittaa, että n:n on oltava kahden potenssi. Jokainen alkuluku muodossa 2n + 1 on myös Fermat-luku, ja tällaisia alkulukuja kutsutaan Fermat-lukuiksi. Ainoat tunnetut Fermat-luvut ovat 0-4.

Kysymys: Mistä löytyy kaikkien 12 tunnetun faktoroidun Fermat-luvun faktorisoinnit?

V: Kaikkien 12 tunnetun faktoroidun Fermat-luvun faktorisoinnit löytyvät osoitteesta Prime Factors of Fermat Numbers.

K: Kuka oli Pierre de Fermaat?

V: Pierre de Fermaat oli 1600-luvulla elänyt vaikutusvaltainen ranskalainen matemaatikko, jonka työ loi suuren osan modernin matematiikan perustasta. Hänet tunnetaan parhaiten panoksestaan todennäköisyysteoriaan ja analyyttiseen geometriaan sekä kuuluisasta viimeisestä teoreemastaan, joka pysyi ratkaisemattomana vuoteen 1995 asti, jolloin Andrew Wiles lopulta todisti sen algebrallisesta geometriasta peräisin olevien menetelmien avulla.