Numero – määritelmä, lukutyypit ja käyttö matematiikassa

Numerot ihmisiä varten

On olemassa erilaisia tapoja antaa numeroille symboleja. Näitä menetelmiä kutsutaan numerojärjestelmiksi. Yleisin ihmisten käyttämä lukujärjestelmä on kymmenjärjestelmä. Kymmenlukujärjestelmää kutsutaan myös desimaalilukujärjestelmäksi. Kymmenlukujärjestelmä on yleinen, koska ihmisillä on kymmenen sormea ja kymmenen varvasta. Kymmenenperuslukujärjestelmässä käytetään 10 eri symbolia {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9}. Näitä kymmentä symbolia kutsutaan numeroiksi.

Numeron symboli muodostuu näistä kymmenestä numerosta. Numeroiden sijainti osoittaa, kuinka suuri luku on. Esimerkiksi luku 23 tarkoittaa desimaalilukujärjestelmässä (2 kertaa 10) plus 3. Vastaavasti 101 tarkoittaa 1 kertaa sata (=100) plus 0 kertaa 10 (=0) plus 1 kertaa 1 (=1).

Koneiden numerot

Toinen numerojärjestelmä on yleisempi koneissa. Koneiden lukujärjestelmää kutsutaan binäärilukujärjestelmäksi. Binäärilukujärjestelmää kutsutaan myös nimellä peruslukujärjestelmä kaksi. Kakkosperuslukujärjestelmässä käytetään kahta eri symbolia (0 ja 1). Näitä kahta symbolia kutsutaan biteiksi.

Binääriluvun symboli muodostuu näistä kahdesta bittisymbolista. Bittisymbolien sijainti osoittaa, kuinka suuri luku on. Esimerkiksi luku 10 tarkoittaa binäärilukujärjestelmässä oikeastaan 1 kertaa 2 plus 0, ja 101 tarkoittaa 1 kertaa neljä (=4) plus 0 kertaa kaksi (=0) plus 1 kertaa 1 (=1). Binääriluku 10 on sama kuin desimaaliluku 2. Binääriluku 101 on sama kuin desimaaliluku 5.

Englannin kielessä on erikoisnimiä joillekin desimaalilukujärjestelmän luvuille, jotka ovat "kympin potensseja". Kaikissa näissä kymmenjärjestelmän potenssiluvuissa käytetään vain symbolia "1" ja symbolia "0". Esimerkiksi kymmenen kymppiä on sama kuin kymmenen kertaa kymmenen eli sata. Symboleina tämä on "10 × 10 = 100". Myös kymmenen sataa on sama kuin kymmenen kertaa sata eli tuhat. Symboleina tämä on "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Myös joillakin muilla kympin potensseilla on erikoisnimet:

• 1 - yksi
• 10 - kymmenen
• 100 - sata
• 1,000 - tuhat
• 1,000,000 - miljoona

Kun kyseessä ovat tätä suuremmat luvut, on kaksi eri tapaa nimetä luvut englanniksi. "Pitkän asteikon" mukaan uusi nimi annetaan aina, kun luku on miljoona kertaa suurempi kuin viimeksi mainittu luku. Sitä kutsutaan myös "brittiläiseksi standardiksi". Tämä asteikko oli ennen yleinen Britanniassa, mutta sitä ei nykyään käytetä usein englanninkielisissä maissa. Sitä käytetään edelleen joissakin muissa Euroopan maissa.

Toinen asteikko on "lyhyt asteikko", jossa uusi nimi annetaan aina, kun luku on tuhat kertaa suurempi kuin viimeksi mainittu luku. Tämä asteikko on nykyään paljon yleisempi useimmissa englanninkielisissä maissa.

• 1,000,000,000 - miljardi (lyhyt asteikko), miljoona (pitkä asteikko).
• 1,000,000,000,000,000 - yksi biljoona (lyhyt asteikko), yksi miljardi (pitkä asteikko).
• 1,000,000,000,000,000,000 - yksi kvadriljoona (lyhyt asteikko), yksi biljardi (pitkä asteikko).

Luonnolliset luvut

Luonnolliset luvut ovat lukuja, joita tavallisesti käytämme laskemiseen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 jne. Jotkut sanovat, että myös 0 on luonnollinen luku. Kaikkien luonnollisten lukujen joukko kirjoitetaan muodossa N {\displaystyle \mathbb {N} } .

Toinen nimi näille luvuille on positiiviset luvut. Nämä luvut kirjoitetaan joskus +1:ksi osoittaakseen, että ne eroavat negatiivisista luvuista. Kaikki positiiviset luvut eivät kuitenkaan ole luonnollisia (esimerkiksi 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}} on positiivinen, mutta ei luonnollinen).

Jos 0 on luonnollinen luku, luonnolliset luvut ovat samat kuin kokonaisluvut. Jos 0:ta ei kutsuta luonnolliseksi luvuksi, luonnolliset luvut ovat samat kuin laskennalliset luvut. Jos siis sanoja "luonnolliset luvut" ei käytetä, syntyy vähemmän sekaannusta siitä, onko nolla mukana vai ei. Mutta valitettavasti jotkut sanovat, että nolla ei ole kokonaisluku, kun taas toiset sanovat, että kokonaisluvut voivat olla negatiivisia. "Positiiviset kokonaisluvut" ja "ei-negatiiviset kokonaisluvut" ovat toinen tapa sisällyttää nolla tai jättää nolla pois, mutta vain jos ihmiset tuntevat nämä sanat.

Negatiiviset luvut

Negatiiviset luvut ovat nollaa pienempiä lukuja.

Yksi tapa ajatella negatiivisia lukuja on käyttää lukujonoa. Kutsumme yhden pisteen tällä viivalla nollaksi. Sitten merkitsemme (kirjoitamme nimen) jokaiseen kohtaan viivalla sen mukaan, kuinka kaukana nollapisteestä oikealla on. Esimerkiksi piste yksi on yhden senttimetrin päässä oikealla, ja piste kaksi on kaksi senttimetriä oikealla.

Nollapisteestä yhden senttimetrin päässä vasemmalla oleva piste ei kuitenkaan voi olla piste yksi, koska on jo olemassa piste nimeltä yksi. Kutsumme siksi tätä pistettä miinus yhdeksi (-1, koska se on senttimetrin päässä, mutta vastakkaiseen suuntaan).

Alla on piirros numeroviivasta.

Kaikki normaalit matematiikan operaatiot voidaan tehdä negatiivisilla luvuilla:

• Negatiivisen luvun lisääminen toiseen on sama kuin positiivisen luvun pois ottaminen samoilla numeroilla. Esimerkiksi 5 + (-3) on sama kuin 5 - 3, ja se on 2.
• Negatiivisen luvun ottaminen pois toisesta luvusta on sama kuin positiivisen luvun lisääminen samoilla numeroilla. Esimerkiksi 5 - (-3) on sama kuin 5 + 3, ja se on 8.
• Kertomalla kaksi negatiivista lukua keskenään saadaan positiivinen luku. Esimerkiksi -5 kertaa -3 on 15.
• Negatiivisen luvun kertominen positiivisella luvulla tai positiivisen luvun kertominen negatiivisella luvulla tuottaa negatiivisen tuloksen. Esimerkiksi 5 kertaa -3 on -15.

Koska negatiivisen luvun neliöjuurta on mahdotonta löytää reaaliluvuille (koska negatiivinen kertaa negatiivinen on positiivinen reaaliluvuille), -1:n neliöjuurelle on annettu erityinen nimi: i. Tätä kutsutaan myös imaginääriyksiköksi.

Kokonaisluvut

Kokonaislukuja ovat kaikki luonnolliset luvut, niiden vastakohdat ja luku nolla. Desimaaliluvut ja murtoluvut eivät ole kokonaislukuja.

Rationaaliluvut

Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan kirjoittaa murtolukuina. Tämä tarkoittaa, että ne voidaan kirjoittaa muodossa a jaettuna b:llä, jossa luvut a ja b ovat kokonaislukuja ja b ei ole nolla.

Joidenkin rationaalilukujen, kuten 1/10, kirjoittamiseen desimaalilukuna tarvitaan desimaalipisteen jälkeen tietty määrä numeroita. Luku yksi kymmenesosa kirjoitetaan desimaalilukuna 0,1. Luvut, jotka kirjoitetaan äärellisessä desimaalimuodossa, ovat rationaalilukuja. Joidenkin rationaalilukujen, kuten 1/11, kirjoittamiseen desimaalimuodossa tarvitaan ääretön määrä numeroita desimaalipisteen jälkeen. Desimaalipisteen jälkeiset numerot toistuvat. Luku yksi yhdestoista kirjoitetaan desimaalimuodossa muodossa 0,090909090909 ... ... .

Prosenttiosuutta voidaan kutsua rationaaliluvuksi, koska prosenttiluku 7 % voidaan kirjoittaa murtolukuna 7/100. Se voidaan kirjoittaa myös desimaalilukuna 0,07. Joskus myös suhdelukua pidetään rationaalilukuna.

Irrationaaliset luvut

Irrationaaliset luvut ovat lukuja, joita ei voi kirjoittaa murtoluvuiksi, mutta joilla ei ole imaginaarisia osia (selitetään myöhemmin).

Irrationaaliluvut esiintyvät usein geometriassa. Jos esimerkiksi neliön sivujen pituus on 1 metri, vastakkaisten kulmien välinen etäisyys on neliöjuuri kahdesta, joka on 1,414213 ... ... . Tämä on irrationaalinen luku. Matemaatikot ovat osoittaneet, että jokaisen luonnollisen luvun neliöjuuri on joko kokonaisluku tai irrationaaliluku.

Yksi tunnettu irrationaaliluku on pii. Se on ympyrän ympärysmitta jaettuna sen halkaisijalla. Tämä luku on sama jokaiselle ympyrälle. Luku pi on noin 3,1415926535 ... ... .

Irrationaalista lukua ei voida kokonaan kirjoittaa desimaalilukuna. Siinä olisi ääretön määrä numeroita desimaalipisteen jälkeen, ja toisin kuin 0,333333 ..., nämä numerot eivät toistuisi ikuisesti.

Reaaliluvut

Reaaliluvut on nimi kaikille edellä luetelluille lukujoukoille:

• Rationaaliluvut, myös kokonaisluvut
• Irrationaaliset luvut

Reaaliluvut muodostavat reaaliviivan. Tämä on kaikki ne luvut, joissa ei ole imaginaarilukuja.

Kuvitteelliset luvut

Kuvitteelliset luvut muodostuvat reaaliluvuista kerrottuna luvulla i. Tämä luku on neliöjuuri miinus yhdestä (-1).

Reaaliluvuissa ei ole yhtään lukua, joka neliöimällä saadaan luvuksi -1. Siksi matemaatikot keksivät luvun. He nimesivät tämän luvun i:ksi eli imaginääriyksiköksi.

Kuvitteelliset luvut toimivat samojen sääntöjen mukaan kuin reaaliluvut:

• Kahden imaginääriluvun summa saadaan vetämällä (faktoroimalla) i pois. Esimerkiksi 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Kahden imaginääriluvun erotus löytyy samalla tavalla. Esimerkiksi 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Kun kerrot kaksi imaginäärilukua, muista, että i × i (i² ) on -1. Esimerkiksi 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Kuvitteellisia lukuja kutsuttiin kuvitteellisiksi luvuiksi, koska kun ne löydettiin ensimmäisen kerran, monet matemaatikot eivät uskoneet niiden olemassaoloon. Henkilö, joka löysi imaginääriluvut, oli Gerolamo Cardano 1500-luvulla. Ensimmäisenä sanoja imaginääriluku käytti René Descartes. Ensimmäiset henkilöt, jotka käyttivät näitä lukuja, olivat Leonard Euler ja Carl Friedrich Gauss. Molemmat elivät 1700-luvulla.

Kompleksiluvut

Kompleksiluvut ovat lukuja, joissa on kaksi osaa: reaaliosa ja imaginääriosa. Jokainen edellä kirjoitettu lukutyyppi on myös kompleksiluku.

Kompleksiluvut ovat lukujen yleisempi muoto. Kompleksiluvut voidaan piirtää numerotasolle. Tämä muodostuu reaalilukuviivasta ja imaginäärilukuviivasta.

3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | | i|_ | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | | .-2-2i -2i|_ | | | -3i|_ | |

Kaikki tavallinen matematiikka voidaan tehdä kompleksiluvuilla:

• Kun haluat laskea yhteen kaksi kompleksilukua, lisää reaali- ja imaginääriosat erikseen. Esimerkiksi (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Kun haluat vähentää kompleksiluvun toisesta luvusta, vähennä reaali- ja imaginääriosa erikseen. Esimerkiksi (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Kahden kompleksiluvun kertominen on monimutkaisempaa. Se on helpointa kuvata yleisellä tasolla kahden kompleksiluvun a + bi ja c + di avulla.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a \times c+a \times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Esimerkiksi (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transsendenttiluvut

Reaalilukua tai kompleksilukua kutsutaan transsendentaaliluvuksi, jos sitä ei voida saada kokonaislukukertoimisen algebrallisen yhtälön tuloksena.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Sen todistaminen, että tietty luku on transsendentaalinen, voi olla erittäin vaikeaa. Jokainen transsendentaaliluku on myös irrationaaliluku. Ensimmäiset ihmiset, jotka havaitsivat, että on olemassa transsendentaalilukuja, olivat Gottfried Wilhelm Leibniz ja Leonhard Euler. Joseph Liouville todisti ensimmäisenä transsendentaalilukujen olemassaolon. Hän teki tämän vuonna 1844.

Joitakin tunnettuja transsendentaalilukuja ovat:

• e
• π
• e^a algebralle a ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

• Numeroiden nimet englanniksi