Pyörimismäärä (kulmamäärä) – määritelmä, kaava L = Iω ja esimerkit
Pyörimismäärä (L) – selkeä määritelmä, kaava L = Iω ja havainnolliset esimerkit inertiamomentista ja kulmanopeudesta.
Akselin ympäri pyörivän kappaleen pyörähdysmomentti tai kiertomomentti (L) on sen inertiamomentin ja kulmanopeuden tulo:
jossa
on inertiamomentti (kulmakiihtyvyyden tai -hidastuvuuden vastus, joka on yhtä suuri kuin massan ja sen säteen neliön tulo mitattuna kohtisuoraan pyörimisakselista);
on kulmanopeus.
Kulmavauhtia on kolmenlaista: värähtelykulmavauhti, spin-kulmavauhti ja kiertokulmavauhti.
Määritelmä, suureet ja yksiköt
Kulmamomentti on pyörimusliikkeen analogi lineaariselle liikemäärälle. Yksikkö SI-järjestelmässä on kg·m²/s. Inertiamomentti I mitataan kg·m² ja kulmanopeus ω rad/s, joten L = I ω antaa yksiköksi kg·m²/s.
Inertiamomentti (I)
Inertiamomentti kuvaa, miten massa on jakautunut pyörimisakselin suhteen. Diskreetille systeemille
- I = Σ m_i r_i² (summa kappaleiden massojen m_i ja etäisyyksien r_i neliöistä pyörimisakselista),
- jatkuvalle massajakaumalle I = ∫ r² dm.
Erilaisilla kappaleilla on tunnettuja kaavoja: esimerkiksi ympyräkehälle (hoop) I = m R², tasaiselle kiekolle I = 1/2 m R², suoralle tankoon sentraalisen akselin suhteen I = 1/12 m L² (tai akselista päästä I = 1/3 m L²).
Vektoriominaisuus ja yleisempi muoto
Kulmamomentti on vektori. Yleisemmin yhden pisteen liikkuvalle massalle pätee
L = r × p = r × (m v),
missä r on asemanvektori pisteestä valitun origon suhteen ja p on liikemäärävektori. Kiinteässä kappaleessa yleinen yhteys on
L = I · ω,
missä I voi olla inertia-tensori (matriisi). Jos kappale pyörii pääakselinsa ympäri, I on skalaari ja L on samansuuntainen kuin ω, jolloin voidaan käyttää yksinkertaista L = I ω -muotoa. Muulloin L ja ω eivät välttämättä ole yhdensuuntaiset.
Suunnan määrää oikeakätinen sääntö: peukalo osoittaa kulmamomentin suunnan, kun muut sormet osoittavat pyörimisnopeuden suunnan.
Vääntö (momentti) ja säilymislaki
Vääntö eli momentti τ liittyy kulmamomentin muutokseen ajassa:
τ = dL/dt.
Jos kappaleeseen ei vaikuta ulkoista vääntöä (τ_ext = 0), kulmamomentti säilyy: L = vakio. Tämä selittää ilmiöt kuten taitoluistelijan pyörimisen nopeuden muuttumisen lähentäessä käsiään vartaloon (I pienenee, joten ω suurenee säilyttäen L:n).
Esimerkkejä laskelmista
- Ympyräkehän (hoop) tapauksessa: I = m R², joten L = m R² ω. Jos m = 1 kg, R = 0,5 m ja ω = 4 rad/s, niin L = 1·0,5²·4 = 1·0,25·4 = 1 kg·m²/s.
- Tasainen pyörivä kiekko: I = (1/2) m R². Esimerkiksi m = 2 kg, R = 0,5 m, ω = 10 rad/s → I = 0,25 kg·m², L = 0,25·10 = 2,5 kg·m²/s.
- Pitkä tanko keskeltä akseloituna: I = (1/12) m L². Näin voidaan laskea monenlaisia rakenteita ja sovelluksia.
Kolme mainittua kulmavauhtityyppiä
- Värähtelykulmavauhti: usein liittyy pieniin taajiin tai värähtelyihin, joissa kappale kääntyy edestakaisin pienen kulman verran (esim. pienet värähtelyliikkeet tasapainoasemansa ympärillä).
- Spin-kulmavauhti: kappaleen oma pyörimisnopeus akselinsa ympäri (esim. kiekon tai maapallon pyörimisnopeus).
- Kiertokulmavauhti (orbitaalinen kulmanopeus): kuvaa kappaleen kulmanopeutta kiertyessä toisen kappaleen ympäri (esim. planeetan liike Auringon ympäri).
Käytännön sovelluksia ja huomioita
Kulmamomentti ja inertiamomentti ovat keskeisiä monissa teknisissä ja luonnontieteellisissä sovelluksissa: koneiston pyörivät osat (moottorit, generaattorit), tähtitiede (tähtien ja galaksien pyöriminen), ajoneuvojen dynamiikka ja urheilusuoritukset (esim. taitoluistelu, hyppytekniikat). Suunnittelussa otetaan huomioon inertiamomentin vaikutus kiihtyvyyksiin ja tarvittaviin vääntöihin.
Yhteenvetona: L = I ω antaa yksinkertaisen tavan laskea kulmamomentti, kun pyöriminen tapahtuu akselinsa ympäri ja inertiamomentti voidaan esittää skalaariarvona. Yleisemmin kulmamomentti on vektori ja yhteys ω:hun saattaa vaatia inertiatensorin huomioon ottamista.
Taitoluistelijan pyörähdysmomentti säilyy - kun hän pienentää sädettään vetämällä kätensä ja jalkansa sisään, hänen inertiamomenttinsa pienenee, mutta hänen kulmanopeutensa kasvaa tämän kompensoimiseksi.
Värähtelykiertomomentti
Värähtelykulmavauhti on fotonien kulmavauhti. Sen pienin osuus on Planckin värähtelykvantti tai toiminta:
Tämän kuvan mukaan fotonien syntyminen on nähtävä kuten kitaran soittaminen - se on äkillinen lisäys yhden värähtelymoodin heräämisessä.
-Davies, Paul. The Forces of Nature CUP, 1979, s. 116.
... värähtelyn energiakvantille, kuten Planckin energiakvantille, on vastattava pyörimisen energiakvantti ...
-Birtwistle, George. The Quantum Theory of the Atom CUP, 2015, s. 2-3.
Planckin toimintakvantti h on juuri kulmamomentin mittainen ...
-Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. Angular Momentum in Quantum Physics Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program, 1981
Spin-kulmamomentti
Pyörähdysmomentti on momentti, joka syntyy, kun kappale pyörii akselin ympäri, joka kulkee kappaleen keskipisteen kautta (esimerkiksi huippu pyörii keskiakselinsa ympäri).
Kappaleella, joka on hyvin hajallaan pyörimisakselista, on suuri hitausmomentti - sitä on hyvin vaikea saada pyörimään, mutta kun se kerran lähtee pyörimään, sitä on hyvin vaikea saada pysähtymään. Vastaavasti on helpompaa saada kappale pyörimään pienellä kulmanopeudella kuin saada se pyörimään suurella kulmanopeudella. Siksi pyörähdyksen kulmamomentti riippuu sekä siitä, kuinka levinnyt kappale on (inertiamomentti) että siitä, kuinka nopeasti se pyörii (kulmanopeus).
Orbitaalinen pyörähdysmomentti
Kiertokulmamomentti on kappaleen kiertomomentti, joka kiertää akselia, joka ei kulje kappaleen keskipisteen kautta. Esimerkiksi Aurinko ja Maa kiertävät toisiaan kiertämällä akselia, joka kulkee Auringon kautta, mutta ei Auringon keskipisteen kautta. Kiertokulmavauhti mittaa sitä, kuinka vaikeaa olisi saada kohde pysähtymään akselin ympärillä kiertämisen lopettamiseksi.
Conservation
Kulmavauhti on säilynyt suure - kappaleen kulmavauhti pysyy vakiona, ellei siihen kohdistu ulkoista vääntömomenttia.
Kulmavauhdilla on sekä suunta että suuruus, ja molemmat säilyvät. Moottoripyörät, frisbeet ja haulikot ovat kaikki hyötyominaisuuksiensa ansiosta kulmamomentin säilymisen ansiosta. Kiertymismomentin säilyminen on myös syy siihen, miksi hurrikaanit ovat kierteisiä ja neutronitähdet pyörivät nopeasti. Yleisesti ottaen momentin säilyminen rajoittaa systeemin mahdollista liikettä, mutta ei määritä sitä yksiselitteisesti.
Aiheeseen liittyvät sivut
- Momentum
- Pyörimisen liike-energia
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mitä on kulmamomentti?
V: Kulmavauhti, joka tunnetaan myös nimellä pyörimisvauhti, on kappaleen hitausmomentin ja sen kulmanopeuden tulo.
K: Miten kulmamomentti lasketaan?
V: Kiertomomentti lasketaan kertomalla kappaleen inertiamomentti ja sen kulmanopeus. Tämä voidaan ilmaista matemaattisesti muodossa L = Iù, jossa I on inertiamomentti (kulmakiihtyvyyden tai -hidastuvuuden vastus) ja ù on kulmanopeus.
Kysymys: Mitä kolmea erilaista kulmamomenttia on olemassa?
V: Kolme erilaista kulmamomenttia ovat värähtely-, spin- ja kiertomomentti.
Etsiä