Pyörimismäärä (kulmamäärä) – määritelmä, kaava L = Iω ja esimerkit

Akselin ympäri pyörivän kappaleen pyörähdysmomentti tai kiertomomentti (L) on sen inertiamomentin ja kulmanopeuden tulo:

L = I ω {\displaystyle L=I\omega }

jossa

I {\displaystyle I} on inertiamomentti (kulmakiihtyvyyden tai -hidastuvuuden vastus, joka on yhtä suuri kuin massan ja sen säteen neliön tulo mitattuna kohtisuoraan pyörimisakselista);

ω {\displaystyle \omega \ } on kulmanopeus.

Kulmavauhtia on kolmenlaista: värähtelykulmavauhti, spin-kulmavauhti ja kiertokulmavauhti.

Määritelmä, suureet ja yksiköt

Kulmamomentti on pyörimusliikkeen analogi lineaariselle liikemäärälle. Yksikkö SI-järjestelmässä on kg·m²/s. Inertiamomentti I mitataan kg·m² ja kulmanopeus ω rad/s, joten L = I ω antaa yksiköksi kg·m²/s.

Inertiamomentti (I)

Inertiamomentti kuvaa, miten massa on jakautunut pyörimisakselin suhteen. Diskreetille systeemille

• I = Σ m_i r_i² (summa kappaleiden massojen m_i ja etäisyyksien r_i neliöistä pyörimisakselista),
• jatkuvalle massajakaumalle I = ∫ r² dm.

Erilaisilla kappaleilla on tunnettuja kaavoja: esimerkiksi ympyräkehälle (hoop) I = m R², tasaiselle kiekolle I = 1/2 m R², suoralle tankoon sentraalisen akselin suhteen I = 1/12 m L² (tai akselista päästä I = 1/3 m L²).

Vektoriominaisuus ja yleisempi muoto

Kulmamomentti on vektori. Yleisemmin yhden pisteen liikkuvalle massalle pätee

L = r × p = r × (m v),

missä r on asemanvektori pisteestä valitun origon suhteen ja p on liikemäärävektori. Kiinteässä kappaleessa yleinen yhteys on

L = I · ω,

missä I voi olla inertia-tensori (matriisi). Jos kappale pyörii pääakselinsa ympäri, I on skalaari ja L on samansuuntainen kuin ω, jolloin voidaan käyttää yksinkertaista L = I ω -muotoa. Muulloin L ja ω eivät välttämättä ole yhdensuuntaiset.

Suunnan määrää oikeakätinen sääntö: peukalo osoittaa kulmamomentin suunnan, kun muut sormet osoittavat pyörimisnopeuden suunnan.

Vääntö (momentti) ja säilymislaki

Vääntö eli momentti τ liittyy kulmamomentin muutokseen ajassa:

τ = dL/dt.

Jos kappaleeseen ei vaikuta ulkoista vääntöä (τ_ext = 0), kulmamomentti säilyy: L = vakio. Tämä selittää ilmiöt kuten taitoluistelijan pyörimisen nopeuden muuttumisen lähentäessä käsiään vartaloon (I pienenee, joten ω suurenee säilyttäen L:n).

Esimerkkejä laskelmista

• Ympyräkehän (hoop) tapauksessa: I = m R², joten L = m R² ω. Jos m = 1 kg, R = 0,5 m ja ω = 4 rad/s, niin L = 1·0,5²·4 = 1·0,25·4 = 1 kg·m²/s.
• Tasainen pyörivä kiekko: I = (1/2) m R². Esimerkiksi m = 2 kg, R = 0,5 m, ω = 10 rad/s → I = 0,25 kg·m², L = 0,25·10 = 2,5 kg·m²/s.
• Pitkä tanko keskeltä akseloituna: I = (1/12) m L². Näin voidaan laskea monenlaisia rakenteita ja sovelluksia.

Kolme mainittua kulmavauhtityyppiä

• Värähtelykulmavauhti: usein liittyy pieniin taajiin tai värähtelyihin, joissa kappale kääntyy edestakaisin pienen kulman verran (esim. pienet värähtelyliikkeet tasapainoasemansa ympärillä).
• Spin-kulmavauhti: kappaleen oma pyörimisnopeus akselinsa ympäri (esim. kiekon tai maapallon pyörimisnopeus).
• Kiertokulmavauhti (orbitaalinen kulmanopeus): kuvaa kappaleen kulmanopeutta kiertyessä toisen kappaleen ympäri (esim. planeetan liike Auringon ympäri).

Käytännön sovelluksia ja huomioita

Kulmamomentti ja inertiamomentti ovat keskeisiä monissa teknisissä ja luonnontieteellisissä sovelluksissa: koneiston pyörivät osat (moottorit, generaattorit), tähtitiede (tähtien ja galaksien pyöriminen), ajoneuvojen dynamiikka ja urheilusuoritukset (esim. taitoluistelu, hyppytekniikat). Suunnittelussa otetaan huomioon inertiamomentin vaikutus kiihtyvyyksiin ja tarvittaviin vääntöihin.

Yhteenvetona: L = I ω antaa yksinkertaisen tavan laskea kulmamomentti, kun pyöriminen tapahtuu akselinsa ympäri ja inertiamomentti voidaan esittää skalaariarvona. Yleisemmin kulmamomentti on vektori ja yhteys ω:hun saattaa vaatia inertiatensorin huomioon ottamista.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mitä on kulmamomentti?

K: Miten kulmamomentti lasketaan?

Kysymys: Mitä kolmea erilaista kulmamomenttia on olemassa?

Hae kirjaimella