Inversio (matematiikka): käänteinen, käänteisluku ja inversiokäsitteet

Inversio (matematiikka): käänteisluku, käänteiset funktiot ja inversiokäsitteet selkeästi — määritelmät, esimerkit ja sovellukset.

Inversio (tai käänteisluvun löytäminen) on matematiikan idea, jossa on kyse sellaisen luvun, funktion tai matemaattisen rakenteen löytämisestä, joka eroaa nykyisestä, mutta jolla on samanlaiset ominaisuudet. Yksinkertaisin tapaus tästä on negaatio: Kun on annettu positiivinen luku, etsitään negatiivinen luku, jolla on sama arvo merkkiä lukuun ottamatta. Inversiolla pyritään usein muodostamaan operaation tai rakenteen "vastakkaista" tai kumoavaa vaikutusta, esimerkiksi siten, että alkuperäisen ja inverssin yhdistelmä palauttaa neutraalialkion (kuten nollan tai ykkösen).

Inversio voi viitata seuraaviin käsitteisiin:

• Addiviinen inverssi (negaatio) – luvun a additiivinen inverssi on luku b, jolle a + b = 0. Esimerkiksi 5:n aditiivinen inverssi on −5.
• Multiplikatiivinen inverssi (käänteisluku) – luvun a käänteisluku on luku a⁻¹ tai 1/a, jolle a·a⁻¹ = 1. Tämä on määritelty vain, kun a ≠ 0.
• Funktion käänteistoiminto – funktiolle f sen käänteisfunktio f⁻¹ täyttää f(f⁻¹(x)) = x ja f⁻¹(f(x)) = x (kun f on bijektio). Käänteisfunktio on eri asia kuin alkuperäisen funktion esikuva (preimage), vaikka usein käytetään samaa merkintää.
• Matriisin käänteinen – n×n-matriisi A on käännettävissä (eli sillä on inverssi A⁻¹), jos ja vain jos det(A) ≠ 0; tällöin A·A⁻¹ = I.
• Permutaation inverssi – permutaation käänteispermutaatio kumoaa alkuperäisen permutaation siten, että niiden koostumus on identiteettiperumutaatio.
• Ryhmissä ja monoidissa oleva inverssi – elementillä g ryhmässä on inverssi g⁻¹, joka täyttää g·g⁻¹ = e = g⁻¹·g. Ryhmissä inverssi on aina yksikäsitteinen.
• Modulaarinen inverssi – luku a:lla on modulo m:n inverssi, jos on b siten, että a·b ≡ 1 (mod m). Inverssi olemassa iff gcd(a,m)=1; sen löytää esimerkiksi laajennetulla Eukleideen algoritmilla.
• Geometrinen inversio – pisteen kuvaus ympyrän (tai pallon) mukaan: piste P kuvautuu P′:ksi siten, että P, P′ ja ympyrän keskipiste ovat samalla suoralla ja |OP|·|OP′| = r², missä r on kääntymisympyrän säde. Geometrinen inversio muuttaa usein suorat ja ympyrät toisikseen (poikkeuksena suorien, jotka kulkevat ympyrän keskipisteen kautta).
• Käänteiset trigonometriset funktiot – esimerkiksi arcsin, arctan ovat trigonometrisia funktioiden käänteisfunktioita tietyillä määrittelyjoukoilla.
• Involuutio – funktio tai operaatio, jonka oma inverssi on itse toiminto (f = f⁻¹), jolloin f∘f = id; esimerkkejä ovat peilaus tai yksinkertainen merkinvaihto x ↦ −x.

Perusominaisuudet ja laskusäännöt

• Komposition inverssi: (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹. Vastaavasti matriiseille (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ja ryhmän elementeille (gh)⁻¹ = h⁻¹g⁻¹.
• Inverssin olemassaolo riippuu rakenteesta: luvuille käänteisluku puuttuu vain, jos luku on nolla; matriisille tarvitaan ei‑nolla determinantt; funktiolle tarvitaan bijektiivisuus; modulaarisessa aritmetiikassa ehto on suhteellinen alkulukuisuus moduliin nähden.
• Inverssi on usein yksikäsitteinen: ryhmässä ja useimmissa algebraisissa rakenteissa jokaisella elementillä on korkeintaan yksi inverssi.

Esimerkkejä

• Luvuille: 7:n käänteisluku on 1/7, ja 7:n aditiivinen inverssi on −7.
• Funktion käänteinen: f(x) = 2x + 3 ⇒ f⁻¹(x) = (x − 3)/2 (f on bijektio R → R).
• Matriisi 2×2: A = [[a,b],[c,d]] on käännettävissä jos ad − bc ≠ 0. Tällöin A⁻¹ = (1/(ad−bc)) · [[d, −b], [−c, a]].
• Modulaarinen: modulo 11, luvun 3 inverssi on 4, koska 3·4 = 12 ≡ 1 (mod 11).
• Geometrinen inversio: ympyrän säde r ja piste P etäisyydellä d keskipisteestä kuvauspiste P′ sijaitsee samalla säteellä etäisyydellä r²/d.

Huomioita ja erot

• Käänteisfunktion käsite eroaa esikuvasta (preimage): merkitään usein samaa f⁻¹, mutta f⁻¹(B) voi tarkoittaa joukon B esikuvaa tai funktion käänteisfunktiota, kontekstista riippuen.
• Joissain rakenteissa on olemassa vain vasen- tai oikea-inverssi (esimerkiksi ei‑kommutatiivisissa algebrallisissa tilanteissa tai epätäydellisissä monoidissa).
• Ei‑kaikilla toiminnoilla tai objekteilla ole inverssiä; inverssin puuttuminen on usein olennainen osa rakenteen luonnetta (esimerkiksi nollan olemassaolo estää käänteislukujen muodostamisen kokonaislukujen joukossa ilman laajennusta rationaaleihin).

Inversiokäsitteen yleisyys tekee siitä keskeisen työkalun monilla matematiikan aloilla: algebrassa, analyysissä, geometriassa, numeerisessa laskennassa ja kryptografiassa. Inverssin olemassaolon ja laskemisen ehdot ja menetelmät vaihtelevat sovellusalueen mukaan.

Hae kirjaimella