Negatiivinen luku: määritelmä, ominaisuudet ja selkeät esimerkit

Opi negatiivisten lukujen määritelmä, ominaisuudet ja selkeät esimerkit — kätevä selitys miinusluvuista, laskusäännöistä ja arjen sovelluksista.

Negatiivinen luku on luku, joka osoittaa vastakohtaa. Jos positiivinen luku on etäisyys ylöspäin, negatiivinen luku on etäisyys alaspäin. Jos positiivinen luku tarkoittaa etäisyyttä oikealle, negatiivinen luku tarkoittaa etäisyyttä vasemmalle. Jos positiivinen luku on talletus pankkitilille, negatiivinen luku on nosto kyseiseltä pankkitililtä. Jos positiivinen luku on minuuttien määrä tulevaisuudessa, negatiivinen luku on minuuttien määrä menneisyydessä. Jos positiivinen luku tarkoittaa yhteenlaskua, negatiivinen luku tarkoittaa vähennystä.

Laskennalliset luvut (1, 2, 3 ja niin edelleen) ovat kaikki positiivisia lukuja. Positiivisia lukuja, negatiivisia lukuja ja nollaa kutsutaan yhdessä "merkityiksi luvuiksi" tai kokonaisluvuiksi.

Luku nolla ei ole positiivinen eikä negatiivinen. Nolla on oma vastakohtansa, joten +0 = -0. Toisin sanoen nolla askelta oikealle on sama kuin nolla askelta vasemmalle.

Negatiivinen luku on aina pienempi kuin nolla.

Negatiivinen luku kirjoitetaan laittamalla miinusmerkki "-" positiivisen luvun eteen. Esimerkiksi 3 on positiivinen luku, mutta -3 on negatiivinen luku. Se on "negatiivinen kolme" tai "miinus kolme"; se tarkoittaa 3:n vastakohtaa.

Negatiiviset luvut ovat nollan vasemmalla puolella lukujonossa. Luku ja sen vastakohta ovat aina yhtä kaukana nollasta. Negatiivinen luku -3 on yhtä kaukana nollasta vasemmalla kuin 3 on nollasta oikealla:

Joskus kirjoitamme vastakkaisten lukujen parin painotuksen vuoksi muodossa -3 ja +3.

Luku ja sen vastakohta summaavat aina nollan. Näin ollen -3 ja +3 summa on 0. Tämä voidaan kirjoittaa joko muodossa -3 + 3 = 0 tai muodossa 3 + (- 3) = 0. Lisäksi luvun ja sen vastakohdan sanotaan "kumoavan toisensa".

Perusominaisuudet

• Negatiivinen luku on pienempi kuin nolla: esimerkiksi -1 < 0 ja -10 < -2.
• Etäisyys nollasta: luvun ja sen vastakohdan etäisyys nollasta (absoluuttinen arvo) on sama: |3| = |-3| = 3.
• Nolla ei ole negatiivinen: nolla on erillinen käsite, ei positiivinen eikä negatiivinen.
• Merkit ja esitystapa: negatiiviset luvut merkitään miinusmerkillä (-).

Laskusäännöt ja esimerkit

Negatiivisten lukujen laskeminen perustuu muutamiin yksinkertaisiin sääntöihin. Tässä selkeät perussäännöt ja esimerkit:

• Yhteen- ja vähennyslasku:
  • Kun lisäät kahta negatiivista lukua: summasta tulee negatiivinen. Esim. -4 + (-3) = -(4+3) = -7.
  • Kun lisäät negatiivisen ja positiivisen luvun, kyse on erosta. Esim. 5 + (-3) = 2 ja -5 + 3 = -2.
  • Vähennys voidaan ajatella lisäämisenä: a - b = a + (-b). Esim. 2 - (-3) = 2 + 3 = 5.
• Kertolasku:
  • Positiivinen × positiivinen = positiivinen. (3 × 2 = 6)
  • Positiivinen × negatiivinen = negatiivinen. (3 × -2 = -6)
  • Negatiivinen × negatiivinen = positiivinen. (-3 × -2 = 6)
• Jakolasku: Jakolaskussa pätevät samat merkkisäännöt kuin kertolaskussa:
  • Negatiivinen ÷ positiivinen = negatiivinen. (-6 ÷ 2 = -3)
  • Negatiivinen ÷ negatiivinen = positiivinen. (-6 ÷ -2 = 3)

Absoluuttinen arvo

Absoluuttinen arvo |a| kertoo, kuinka kaukana luku a on nollasta. Se on aina ei-negatiivinen:

• |3| = 3
• |-3| = 3
• |0| = 0

Absoluuttinen arvo on hyödyllinen, kun vertaillaan etäisyyksiä tai ratkaistaan yhtälöitä, joissa käsitellään etäisyyksiä nollasta.

Vertailu ja suuruusjärjestys

Kun vertaillaan negatiivisia lukuja, muistettavaa on että luku, jolla on suurempi itseisarvo, on pienempi todellisessa lukusuunnassa. Esimerkiksi -8 < -3, koska -8 on kauempana nollasta vasemmalle.

Yleisiä sääntöjä:

• Jos a < b ja c > 0, niin ac < bc.
• Jos a < b ja c < 0, niin ac > bc (epäyhtälön suunta vaihtuu).

Reaaliluvut, rationaaliluvut ja kokonaisluvut

Negatiivisia lukuja esiintyy kaikissa lukujoukoissa, joissa on myös positiivisia lukuja: kokonaisluvut (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...), rationaaliluvut (kuten -1/2) ja reaaliluvut (kuten -√2 tai -3.14). Näin ollen negatiiviset luvut eivät rajoitu vain kokonaislukuihin.

Arkipäivän esimerkkejä

• Lämpötila: -5 °C tarkoittaa viittä astetta pakkasta.
• Talouden tilanne: -200 € tarkoittaa 200 euron velkaa tai miinus saldoa tilillä.
• Ajankohta suhteessa nykyhetkeen: -10 minuuttia tarkoittaa 10 minuuttia aiemmin.
• Sijainti lukusuoralla: -3 tarkoittaa kolme yksikköä vasemmalle nollasta.

Yleisiä virheitä ja huomioita

• Moni sekoittaa miinusmerkin ja vähennysmerkin: miinusmerkki etuliitteessä tekee luvusta negatiivisen (esim. -4), kun taas vähennysoperaatio on laskutoimitus (esim. 7 - 4).
• Kun otat luvun negatiivisen käänteislukuarvon (kuten -(-3)), miinusmerkit kumoavat toisensa: -(-3) = 3.
• Negatiivisten lukujen kertolaskussa kahden negatiivisen tulos on positiivinen — tämä on monelle yllätys aluksi.

Yhteenveto

Negatiivinen luku ilmaisee vastakkaista suuntaa verrattuna positiiviseen lukuun. Ne ovat tärkeitä monissa matematiikan osa-alueissa ja arkielämän tilanteissa, kuten lämpötilassa, taloudessa ja ajoissa. Keskeisiä asioita ovat miinusmerkki etuliitteenä, nollan asema erillisenä lukuna sekä laskusäännöt, joissa negatiivisten lukujen merkit vaikuttavat summiin, erotuksiin, kertolaskuihin ja jakolaskuihin.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on negatiivinen luku?

K: Miten negatiivinen luku kirjoitetaan?

K: Mitä ovat merkityt luvut?

K: Mistä löydämme negatiiviset luvut reaaliviivalla?

K: Mitä tapahtuu, kun lasketaan yhteen kaksi vastakkaismerkkistä lukua?

K: Onko olemassa jokin muu tapa esittää kaikki negatiiviset reaaliluvut?

Hae kirjaimella