Sinilaki (sinilause): määritelmä, kaava ja käyttö kolmiomittauksessa
Sinilaki (sinilause): selkeä määritelmä, kaavat ja käytöt kolmiomittauksessa — laske sivut ja kulmat helposti, ymmärrä moniselitteiset tapaukset ja numerovirheet.
Sinisääntö eli sinilaki on matematiikan lause, joka antaa yhteyden kolmion sivujen ja vastaavien kulmien sini-funktioiden välillä. Jos sinulla on kuvan kaltainen kolmio, alla olevat yhtälöt pätevät ja niitä käytetään laajasti kolmiomittauksessa.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } 
Tämä on toinen versio, joka on myös totta.
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } 
D on yhtä suuri kuin kolmion kehän halkaisija.
Määritelmä ja peruskäyttö
Sinilaki voidaan kirjoittaa muotoon
- a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R,
missä R on kolmion ympäri piirretyn kehän (ympyrän) säde ja D = 2R on kehän halkaisija. Tästä seuraa myös vastaava muoto sin A / a = sin B / b = sin C / c, joka on yhtälön käänteinen muoto.
Sinilakia käytetään erityisesti, kun tunnetaan joko
- kaksi kulmaa ja yksi sivu (ASA tai AAS) — silloin kaikki sivut ja kulmat voidaan laskea helposti, tai
- kaksi sivua ja kulma, jota ne eivät rajoita (SSA) — tästä syntyy niin kutsuttu moniselitteinen tapaus, ks. alla.
Perustelu (lyhyt johtaminen)
Yksi tavallinen johtotapa perustuu kolmion ympäri piirrettyyn ympyrään. Jos R on ympyrän säde, kulman A etäisyys kehältä antaa kaavan a = 2R sin A, koska korkeus tai jännevastine yhdistää jänteen pituuden ja kulman sinin. Jakamalla puolittain saadaan a / sin A = 2R, ja vastaavasti muille sivuille — näin syntyy sinilaki.
Moniselitteinen tapaus (SSA)
Kun tiedetään kaksi sivua ja kulma, jota ne eivät rajoita (esim. tunnetaan a, b ja A), sinilakia käytetään muodossa
- sin B = b sin A / a.
Tässä ovat mahdollisuudet:
- jos b sin A / a > 1 — ei mahdollista (ei ratkaisua),
- jos b sin A / a = 1 — yksi ratkaisu, jolloin kulma B on 90° (tai suora tapaus),
- jos 0 < b sin A / a < 1 — kaksi mahdollista ratkaisua: B ja 180° − B (kuten usein käy, kun toinen mahdollinen kulma on terävä ja toinen suurempi),
- jos b sin A / a = 0 — kulma B = 0° (degeneroitunut tapaus).
Kun saatavilla on kaksi mahdollista arvoa kulmalle B, on tärkeää käyttää lisätietoa (esim. kolmannen kulman suuruus tai geometrisia rajoituksia), jotta valitaan oikea ratkaisu, jossa kulmien summa on 180° ja sivujen suuntaus vastaa kolmiota.
Numeriset huomautukset ja käytännön vinkkejä
- Kun lasket kulmia funktiolla arcsin (asin), täytyy huomioida moniarvoisuus: asin palauttaa yleensä arvon −90°…90°, joten toinen mahdollinen kulma on 180° − asin(arvo). Tarkista kulmien summa ja geometrinen järkevyys.
- Älä luota pelkästään sinilakiin, jos tilanne on lähellä degeneraatiota: jos joku kulma on hyvin lähellä 0° tai 180°, sinin arvo on lähellä nollaa ja pienet mittausvirheet voivat aiheuttaa suuria suhteellisia virheitä. Tällöin kosinusten laki voi olla numeerisesti vakaampi vaihtoehto kulmien tai sivujen laskemiseen.
- Usein käytännön laskuissa kannattaa verrata sekä sinilain että kosinusten lain antamia arvoja ja käyttää numerisesti vakaampia kaavoja (esim. laskea ensin suurempi kulma tai käyttää atan2-tyyppisiä funktioita kulmien määrittämiseen).
Esimerkkejä laskuista
- Jos tunnet sivun a ja kulman A sekä haluat sivun b: b = a * (sin B / sin A) — mutta tarvitset ensin kulman B (esimerkiksi jos tunnet myös kulman B suoraan tai saat sen muulla keinolla).
- Jos tunnet a, A ja b (SSA), laske ensin sin B = b sin A / a ja tutkimalla arvoa päätä, onko B = arcsin(...) tai B = 180° − arcsin(...).
Yhteenveto
Sinilaki on keskeinen työkalu kolmiomittauksessa, joka yhdistää sivujen pituudet ja kulmien sinit. Se on tehokas varsinkin ASA- ja AAS-tilanteissa ja antaa (oikein tulkittuna) ratkaisut SSA-tilanteissa, joissa voi esiintyä moniselitteisyyttä. Käytä tarkkuutta, kun sinin arvo on hyvin pieni tai tilanteessa, jossa arcsin voi johtaa kahteen geometrisesti erilaiseen ratkaisuun; tarvittaessa hyödynnä kosinusten lakia tai muita numeerisesti vakaampia menetelmiä lisävarmistuksena.
Sinilaki on yksi kahdesta trigonometrisesta yhtälöstä, joita käytetään pituuksien ja kulmien määrittämiseen skalenikolmioissa. Toinen on kosinusten laki.
Kolmio, johon on merkitty tähän selitykseen tarvittavat kirjaimet. A, B ja C ovat kulmat. a on A:n vastakkainen sivu. b on B:n vastakkainen sivu. c on C:n vastakkainen sivu.
Todiste
Minkä tahansa kolmion pinta-ala T {\displaystyle T}
voidaan kirjoittaa muodossa puolet kolmion pohjasta kertaa sen korkeus (piirrettynä pisteestä, joka ei ole pohjassa). Riippuen siitä, kumman sivun valitsemme pohjaksi, pinta-ala voidaan antaa seuraavasti
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Kertomalla nämä luvuilla 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}
saadaan seuraavat luvut.
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,. } 
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on sinilaki?
V: Sinilaki, joka tunnetaan myös nimellä sinisääntö, on matematiikan lause, jonka mukaan jos sinulla on kuvan kaltainen kolmio, yhtälö on tosi.
K: Mitä tämä yhtälö sanoo?
V: Tämä yhtälö sanoo, että kunkin sivun pituuden ja sen vastakkaisen kulman siniarvon suhde on yhtä suuri.
K: Miten sitä käytetään?
V: Sinilakia voidaan käyttää kolmion jäljellä olevien sivujen löytämiseen, kun tiedetään kaksi kulmaa ja yksi sivu. Sitä voidaan käyttää myös silloin, kun tiedetään kaksi sivua ja yksi kulma, jota nämä kaksi sivua eivät sulje sisäänsä.
K: Mitä tapahtuu epäselvässä tapauksessa?
V: Joissakin tapauksissa kaava antaa kaksi mahdollista arvoa suljetulle kulmalle. Tätä kutsutaan epäselväksi tapaukseksi.
K: Miten se vertautuu muihin trigonometrisiin yhtälöihin?
V: Sinilaki on yksi kahdesta trigonometrisesta yhtälöstä, joita käytetään pituuksien ja kulmien löytämiseen skalenikolmioissa. Toinen on kosinusten laki.
K: Mikä on D:n arvo? V: D on yhtä suuri kuin kolmion kehäkaaren halkaisija.
Etsiä