Sinisääntö eli sinilaki on matematiikan lause, joka antaa yhteyden kolmion sivujen ja vastaavien kulmien sini-funktioiden välillä. Jos sinulla on kuvan kaltainen kolmio, alla olevat yhtälöt pätevät ja niitä käytetään laajasti kolmiomittauksessa.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Tämä on toinen versio, joka on myös totta.

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

D on yhtä suuri kuin kolmion kehän halkaisija.

Määritelmä ja peruskäyttö

Sinilaki voidaan kirjoittaa muotoon

  • a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R,

missä R on kolmion ympäri piirretyn kehän (ympyrän) säde ja D = 2R on kehän halkaisija. Tästä seuraa myös vastaava muoto sin A / a = sin B / b = sin C / c, joka on yhtälön käänteinen muoto.

Sinilakia käytetään erityisesti, kun tunnetaan joko

  • kaksi kulmaa ja yksi sivu (ASA tai AAS) — silloin kaikki sivut ja kulmat voidaan laskea helposti, tai
  • kaksi sivua ja kulma, jota ne eivät rajoita (SSA) — tästä syntyy niin kutsuttu moniselitteinen tapaus, ks. alla.

Perustelu (lyhyt johtaminen)

Yksi tavallinen johtotapa perustuu kolmion ympäri piirrettyyn ympyrään. Jos R on ympyrän säde, kulman A etäisyys kehältä antaa kaavan a = 2R sin A, koska korkeus tai jännevastine yhdistää jänteen pituuden ja kulman sinin. Jakamalla puolittain saadaan a / sin A = 2R, ja vastaavasti muille sivuille — näin syntyy sinilaki.

Moniselitteinen tapaus (SSA)

Kun tiedetään kaksi sivua ja kulma, jota ne eivät rajoita (esim. tunnetaan a, b ja A), sinilakia käytetään muodossa

  • sin B = b sin A / a.

Tässä ovat mahdollisuudet:

  • jos b sin A / a > 1 — ei mahdollista (ei ratkaisua),
  • jos b sin A / a = 1 — yksi ratkaisu, jolloin kulma B on 90° (tai suora tapaus),
  • jos 0 < b sin A / a < 1 — kaksi mahdollista ratkaisua: B ja 180° − B (kuten usein käy, kun toinen mahdollinen kulma on terävä ja toinen suurempi),
  • jos b sin A / a = 0 — kulma B = 0° (degeneroitunut tapaus).

Kun saatavilla on kaksi mahdollista arvoa kulmalle B, on tärkeää käyttää lisätietoa (esim. kolmannen kulman suuruus tai geometrisia rajoituksia), jotta valitaan oikea ratkaisu, jossa kulmien summa on 180° ja sivujen suuntaus vastaa kolmiota.

Numeriset huomautukset ja käytännön vinkkejä

  • Kun lasket kulmia funktiolla arcsin (asin), täytyy huomioida moniarvoisuus: asin palauttaa yleensä arvon −90°…90°, joten toinen mahdollinen kulma on 180° − asin(arvo). Tarkista kulmien summa ja geometrinen järkevyys.
  • Älä luota pelkästään sinilakiin, jos tilanne on lähellä degeneraatiota: jos joku kulma on hyvin lähellä 0° tai 180°, sinin arvo on lähellä nollaa ja pienet mittausvirheet voivat aiheuttaa suuria suhteellisia virheitä. Tällöin kosinusten laki voi olla numeerisesti vakaampi vaihtoehto kulmien tai sivujen laskemiseen.
  • Usein käytännön laskuissa kannattaa verrata sekä sinilain että kosinusten lain antamia arvoja ja käyttää numerisesti vakaampia kaavoja (esim. laskea ensin suurempi kulma tai käyttää atan2-tyyppisiä funktioita kulmien määrittämiseen).

Esimerkkejä laskuista

  • Jos tunnet sivun a ja kulman A sekä haluat sivun b: b = a * (sin B / sin A) — mutta tarvitset ensin kulman B (esimerkiksi jos tunnet myös kulman B suoraan tai saat sen muulla keinolla).
  • Jos tunnet a, A ja b (SSA), laske ensin sin B = b sin A / a ja tutkimalla arvoa päätä, onko B = arcsin(...) tai B = 180° − arcsin(...).

Yhteenveto

Sinilaki on keskeinen työkalu kolmiomittauksessa, joka yhdistää sivujen pituudet ja kulmien sinit. Se on tehokas varsinkin ASA- ja AAS-tilanteissa ja antaa (oikein tulkittuna) ratkaisut SSA-tilanteissa, joissa voi esiintyä moniselitteisyyttä. Käytä tarkkuutta, kun sinin arvo on hyvin pieni tai tilanteessa, jossa arcsin voi johtaa kahteen geometrisesti erilaiseen ratkaisuun; tarvittaessa hyödynnä kosinusten lakia tai muita numeerisesti vakaampia menetelmiä lisävarmistuksena.

Sinilaki on yksi kahdesta trigonometrisesta yhtälöstä, joita käytetään pituuksien ja kulmien määrittämiseen skalenikolmioissa. Toinen on kosinusten laki.