Lause (matematiikka)
Teoreemi on todistettu ajatus matematiikassa. Lauseet todistetaan käyttämällä logiikkaa ja muita jo todistettuja teoreemoja. Lemma on lause, joka jonkun on todistettava, jotta hän voi todistaa toisen lauseen. Lauseet koostuvat kahdesta osasta, hypoteeseista ja johtopäätöksistä.
Lauseissa käytetään päättelyä, toisin kuin teorioissa, jotka ovat empiirisiä.
Jotkin lauseet ovat triviaaleja, ne seuraavat suoraan lauseista. Toisia teoreemoja kutsutaan "syvällisiksi", niiden todistaminen on pitkää ja vaikeaa. Joskus tällaiset todistukset liittyvät muihin matematiikan alueisiin tai osoittavat yhteyksiä eri alueiden välillä. Lause voi olla yksinkertainen lausua ja silti syvä. Erinomainen esimerkki on Fermat'n viimeinen lause, ja on olemassa monia muita esimerkkejä yksinkertaisista mutta syvällisistä lauseista muun muassa lukuteoriassa ja kombinatoriikassa.
On muitakin teoreemoja, joille tiedetään todiste, mutta niitä ei voi helposti kirjoittaa ylös. Parhaita esimerkkejä ovat neljän värin lause ja Keplerin arvelu. Molempien lauseiden tiedetään olevan totta vain pelkistämällä ne laskennalliseksi etsinnäksi, joka sitten todennetaan tietokoneohjelmalla. Aluksi monet matemaatikot eivät hyväksyneet tätä todistusmuotoa, mutta viime vuosina se on tullut laajemmin hyväksytyksi. Matemaatikko Doron Zeilberger on jopa mennyt niin pitkälle, että on väittänyt, että nämä ovat mahdollisesti ainoat ei-triviaalit tulokset, joita matemaatikot ovat koskaan todistaneet. Monet matemaattiset lauseet voidaan pelkistää suoraviivaisempaan laskentaan, kuten polynomiidentiteetit, trigonometriset identiteetit ja hypergeometriset identiteetit.
Pythagoraan lauseella on ainakin 370 tunnettua todistusta.
Kirjat
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, haettu 2009-11-15.
- Hoffman, P. (1998). Mies, joka rakasti vain numeroita: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Ulkoinen linkki osoitteessa
|title=(help)CS1 maint: multiple names: authors list (linkki).
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on teoreema?
A: Teoreemi on ajatus, joka on todistettu todeksi matematiikassa käyttämällä logiikkaa ja muita jo todistettuja teoreemoja.
K: Mikä on lemma?
A: Lemma on sivuteoreema, joka on todistettava, jotta pääteoreema voidaan todistaa.
K: Miten teoreemoja keksitään?
V: Lauseet koostuvat kahdesta osasta - hypoteeseista ja johtopäätöksistä - ja niissä käytetään pikemminkin päättelyä kuin empiirisiä teorioita.
K: Ovatko kaikki teoreemat vaikeita todistaa?
V: Ei, jotkin teoreemat ovat triviaaleja, koska ne seuraavat suoraan lauseista, kun taas toiset vaativat pitkiä ja vaikeita todistuksia, joissa on mukana muita matematiikan alueita tai joissa osoitetaan yhteyksiä eri alueiden välillä.
K: Voiko lause olla yksinkertainen mutta syvällinen?
V: Kyllä, esimerkki tästä on Fermat'n viimeinen lause, joka on yksinkertainen lausua, mutta sen todistus on pitkä ja vaikea.
K: Onko olemassa teoreemoja, joiden todistus tunnetaan, mutta joita ei voi helposti kirjoittaa ylös?
V: Kyllä, esimerkkeinä voidaan mainita neljän värin lause ja Keplerin arvelu, jotka voidaan todentaa vain ajamalla ne tietokoneohjelmien läpi.
K: Voidaanko matemaattisia teoreemoja joskus pelkistää yksinkertaisempiin laskutoimituksiin?
V: Kyllä, matemaattiset teoreemat voidaan joskus pelkistää yksinkertaisempiin laskutoimituksiin, kuten polynomi-identiteetteihin, trigonometrisiin identiteetteihin tai hypergeometrisiin identiteetteihin.
