Lorentz-kerroin (γ) — määritelmä, kaava ja merkitys suhteellisuusteoriassa
Lorentz-kerroin γ: selkeä määritelmä, kaava γ=1/√(1−(v/c)²) ja sen vaikutus ajan, pituuden ja massan suhteellisuusteorian ilmiöihin.
Lorentz-kerroin on kerroin, jolla aika, pituus ja massa muuttuvat lähellä valonnopeutta (relativistisia nopeuksia) liikkuvassa kappaleessa.
Yhtälö on:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
jossa v on kappaleen nopeus ja c on valon nopeus. Suure (v/c) merkitään usein β \displaystyle \beta }. 
(beta), joten edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen:
Määritelmä ja yksinkertainen muoto
Lorentz-kerroin γ (gamma) määritellään usein muodossa
γ = 1 / sqrt(1 − β²), missä β = v / c on nopeuden v suhde valonnopeuteen c.
Se kertoo, miten aikaväliä, pituutta ja liikemäärään liittyviä suureita mitataan eri inertiaalikoordinaatistoissa, jotka liikkuvat toisiinsa nähden nopeudella v.
Perusilmiöt ja yhtälöt
- Aikadilataatio: Liikkuvan kellon kulunut aika Δt mitattuna lepokoordinaatistossa on Δt = γ Δτ, missä Δτ on kellon oma-aika (proper time).
- Pituuden supistuminen: Liikkuvan kappaleen pituus lepokoordinaatistossa on L = L0 / γ, missä L0 on kappaleen lepopituus (pituus kappaleen omassa lepokoordinaatistossa).
- Relativistinen liikemäärä: p = γ m v, missä m on kappaleen lepomassa (invariantti massa).
- Energia: Kokonaisenergia E = γ m c². Kineettinen energia on E_k = (γ − 1) m c².
- Lorentz-muunnos (yksinkertainen yksiulotteinen muoto):
t' = γ (t − v x / c²), x' = γ (x − v t).
Raja-arvot ja esimerkit
Kun v on paljon pienempi kuin c (v << c), β² ≈ 0 ja γ ≈ 1 — klassinen mekaniikka pätee hyvin. Kun v lähestyy c:tä, γ kasvaa nopeasti ja suhteellisuustehosteet tulevat merkittäviksi.
Esimerkkejä:
- v = 0,6 c → γ = 1,25
- v = 0,8 c → γ ≈ 1,6667
- v = 0,99 c → γ ≈ 7,09
- v = 0,999 c → γ ≈ 22,37
Näistä esimerkeistä näkyy, että hyvin läheltä valonnopeutta tulevat nopeudet aiheuttavat suuria kertoimia — esimerkiksi ajan hidastuminen ja massa-energiaan liittyvät vaikutukset korostuvat.
Käytännön merkitys ja havainnot
- Hiukkasfysiikassa gamma näkyy suoraan hiukkaskiihtyneiden hiukkasten liikemäärässä ja energiassa; nopeuden lähestyessä c:tä tarvittava energia kasvaa γ:n mukaisesti.
- Muonien elinaika ilmakehässä: nopeissa muoneissa havaittu pidempi kulunut aika selittyy aikadilataatiolla (γ > 1), mikä mahdollistaa niiden saavuttamisen maanpinnalle.
- GPS-järjestelmässä sekä suhteellisuusteorian että yleisen suhteellisuusteorian korjaukset (aikadilataatio ja painovoiman vaikutus aikaan) ovat olennaisia sijannin tarkkuuden kannalta.
Fysikaaliset tulkinnat ja huomautuksia
- γ on matemaattinen kertoja, joka syntyy Lorentz-muunnoksista; se ei ole itsessään uusi fysikaalinen perusyksikkö, vaan kertoo mittausten eroista eri koordinaatistoissa.
- Massasta puhuttaessa nykykäytännössä suositaan lepomassaa (invarianttia massaa) m, ja relativistisen massan käsite on vähitellen jäänyt vähemmälle käytölle. Energian ja γ:n avulla voidaan kuitenkin laskea kappaleen kokonaishavaittava energia ja liikemäärä.
- Massatonta hiukkasta (esim. fotoni) ei voi sijoittaa lepokoordinaatistoon, sillä v = c → β = 1 ja γ olisi ääretön; käytännössä massattomille hiukkasille ei ole määritelty δ:n mukaista lepomassaa.
- Koska γ → ∞ kun v → c, kappaleen nopeuden nostaminen lähelle valonnopeutta vaatii äärettömästi kasvavaa energiaa — siksi massalliset hiukkaset eivät voi saavuttaa valonnopeutta.
Lyhyt yhteenveto
Lorentz-kerroin γ on keskeinen osa erityistä suhteellisuusteoriaa: se kvantifioi, kuinka paljon aika, pituus, liikemäärä ja energia muuttuvat, kun siirrytään koordinaatistosta toiseen, joka liikkuu suhteessa ensimmäiseen nopeudella v. Sen tunteminen on välttämätöntä suhteellisuuskorrektien laskemiseksi sekä teoreettisissa että käytännön sovelluksissa.
Klassinen suhteellisuusteoria
Klassinen suhteellisuusteoria on ajatus siitä, että jos heität pallon nopeudella 50 mailia tunnissa ja juokset samalla nopeudella 5 mailia tunnissa, pallo kulkee nopeudella 55 mailia tunnissa. Tietenkin pallo liikkuu edelleen poispäin sinusta 50 mailia tunnissa, joten jos sinulta kysyttäisiin, näkisitkö pallon kulkevan 50 mailia tunnissa. Samaan aikaan ystäväsi Rory näki, että sinä juoksit nopeudella 5 mph. Hän sanoisi, että pallo kulki 55 mailia tunnissa. Olette molemmat oikeassa, satuitte vain liikkumaan pallon mukana.
Valon nopeus c on 670,616,629 mph. Jos siis istut autossa, jonka nopeus on puolet valon nopeudesta (0,5 c), ja sytytät ajovalot, valo etääntyy sinusta 1 c:n vauhdilla... vai onko se 1,5 c? Lopputulos on, että c on c, oli miten oli. Seuraavassa kappaleessa selitetään, miksi se ei ole c - 0,5c.
Ajan laajeneminen
Kun kello on liikkeessä, se tikittää hitaammin pienen γ-kertoimen verran. 
. Kuuluisa kaksosparadoksi sanoo, että jos olisi kaksi kaksosta ja kaksonen A pysyisi maan päällä, kun kaksonen B matkusti lähellä c:tä muutaman vuoden ajan, niin kun kaksonen B palaisi takaisin maahan, hän olisi monta vuotta nuorempi kuin kaksonen A (koska hän koki vähemmän aikaa). Jos esimerkiksi kaksonen B lähti 20-vuotiaana ja matkusti 0,9c:n nopeudella 10 vuotta, niin palatessaan takaisin Maahan kaksonen B olisi 30-vuotias (20 vuotta + 10 vuotta) ja kaksonen A lähes 43-vuotias:
20 + ( 10 ∗ 1 1 - . 9 2 ) = 42.9416 {\displaystyle 20+(10*{\frac {1}{\sqrt {1-.9^{2}}}})=42.9416}} 
Kaksonen B ei huomaisi, että aika olisi hidastunut lainkaan. Jos hän katsoisi ulos ikkunasta, hänestä näyttäisi siltä, että maailmankaikkeus kulkee hänen ohitseen ja siksi hitaammin (muista, että hän on hänen mielestään levossa). Aika on siis suhteellista.
Pituuden supistuminen
Asiat lyhenevät liikesuunnassa, kun ne liikkuvat relativistisilla nopeuksilla. Kaksonen B:n matkan aikana hän huomaisi jotain outoa maailmankaikkeudessa. Hän huomasi, että se lyheni (supistui hänen liikkeensä suuntaan). Tekijä, jolla asiat lyhenevät, on γ \displaystyle \gamma}. .
Relativistinen massa
Relativistinen massa kasvaa myös. Se tekee niiden työntämisestä vaikeampaa. Kun saavutetaan 0,9999c, tarvitaan siis hyvin suuri voima, jotta vauhti kiihtyy. Tämä tekee mahdottomaksi sen, että mikään saavuttaisi valonnopeuden.
Silti, jos matkustat hieman hitaammin, vaikkapa 90 % valonnopeudesta, massasi kasvaa vain 2,3-kertaiseksi. Vaikka valonnopeuden saavuttaminen voi olla mahdotonta, voi silti olla mahdollista päästä lähelle sitä - siis jos polttoainetta riittää.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on Lorentzin kerroin?
V: Lorentz-kerroin on kerroin, jolla aika, pituus ja massa muuttuvat relativistisella nopeudella (lähellä valon nopeutta) liikkuvalle kohteelle.
K: Kenen mukaan se on nimetty?
V: Lorentz-kerroin on nimetty hollantilaisen fyysikon Hendrik Lorentzin mukaan.
K: Mikä yhtälö kuvaa Lorentzin tekijää?
V: Lorentzin kertoimen yhtälö on gamma = 1/(sqrt(1-(v/c)^2)), jossa v on kappaleen nopeus ja c on valon nopeus.
K: Mitä (v/c) tarkoittaa tässä yhtälössä?
V: Tässä yhtälössä (v/c) edustaa betaa (beta) eli kappaleen nopeuden ja valon nopeuden välistä suhdetta.
K: Miten tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen?
V: Voimme kirjoittaa tämän yhtälön uudelleen muotoon gamma = 1/(sqrt(1-beta^2)).
Etsiä