Lorentz-kerroin on kerroin, jolla aika, pituus ja massa muuttuvat lähellä valonnopeutta (relativistisia nopeuksia) liikkuvassa kappaleessa.
Yhtälö on:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
jossa v on kappaleen nopeus ja c on valon nopeus. Suure (v/c) merkitään usein β \displaystyle \beta }. 
(beta), joten edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen:
Määritelmä ja yksinkertainen muoto
Lorentz-kerroin γ (gamma) määritellään usein muodossa
γ = 1 / sqrt(1 − β²), missä β = v / c on nopeuden v suhde valonnopeuteen c.
Se kertoo, miten aikaväliä, pituutta ja liikemäärään liittyviä suureita mitataan eri inertiaalikoordinaatistoissa, jotka liikkuvat toisiinsa nähden nopeudella v.
Perusilmiöt ja yhtälöt
- Aikadilataatio: Liikkuvan kellon kulunut aika Δt mitattuna lepokoordinaatistossa on Δt = γ Δτ, missä Δτ on kellon oma-aika (proper time).
- Pituuden supistuminen: Liikkuvan kappaleen pituus lepokoordinaatistossa on L = L0 / γ, missä L0 on kappaleen lepopituus (pituus kappaleen omassa lepokoordinaatistossa).
- Relativistinen liikemäärä: p = γ m v, missä m on kappaleen lepomassa (invariantti massa).
- Energia: Kokonaisenergia E = γ m c². Kineettinen energia on E_k = (γ − 1) m c².
- Lorentz-muunnos (yksinkertainen yksiulotteinen muoto):
t' = γ (t − v x / c²), x' = γ (x − v t).
Raja-arvot ja esimerkit
Kun v on paljon pienempi kuin c (v << c), β² ≈ 0 ja γ ≈ 1 — klassinen mekaniikka pätee hyvin. Kun v lähestyy c:tä, γ kasvaa nopeasti ja suhteellisuustehosteet tulevat merkittäviksi.
Esimerkkejä:
- v = 0,6 c → γ = 1,25
- v = 0,8 c → γ ≈ 1,6667
- v = 0,99 c → γ ≈ 7,09
- v = 0,999 c → γ ≈ 22,37
Näistä esimerkeistä näkyy, että hyvin läheltä valonnopeutta tulevat nopeudet aiheuttavat suuria kertoimia — esimerkiksi ajan hidastuminen ja massa-energiaan liittyvät vaikutukset korostuvat.
Käytännön merkitys ja havainnot
- Hiukkasfysiikassa gamma näkyy suoraan hiukkaskiihtyneiden hiukkasten liikemäärässä ja energiassa; nopeuden lähestyessä c:tä tarvittava energia kasvaa γ:n mukaisesti.
- Muonien elinaika ilmakehässä: nopeissa muoneissa havaittu pidempi kulunut aika selittyy aikadilataatiolla (γ > 1), mikä mahdollistaa niiden saavuttamisen maanpinnalle.
- GPS-järjestelmässä sekä suhteellisuusteorian että yleisen suhteellisuusteorian korjaukset (aikadilataatio ja painovoiman vaikutus aikaan) ovat olennaisia sijannin tarkkuuden kannalta.
Fysikaaliset tulkinnat ja huomautuksia
- γ on matemaattinen kertoja, joka syntyy Lorentz-muunnoksista; se ei ole itsessään uusi fysikaalinen perusyksikkö, vaan kertoo mittausten eroista eri koordinaatistoissa.
- Massasta puhuttaessa nykykäytännössä suositaan lepomassaa (invarianttia massaa) m, ja relativistisen massan käsite on vähitellen jäänyt vähemmälle käytölle. Energian ja γ:n avulla voidaan kuitenkin laskea kappaleen kokonaishavaittava energia ja liikemäärä.
- Massatonta hiukkasta (esim. fotoni) ei voi sijoittaa lepokoordinaatistoon, sillä v = c → β = 1 ja γ olisi ääretön; käytännössä massattomille hiukkasille ei ole määritelty δ:n mukaista lepomassaa.
- Koska γ → ∞ kun v → c, kappaleen nopeuden nostaminen lähelle valonnopeutta vaatii äärettömästi kasvavaa energiaa — siksi massalliset hiukkaset eivät voi saavuttaa valonnopeutta.
Lyhyt yhteenveto
Lorentz-kerroin γ on keskeinen osa erityistä suhteellisuusteoriaa: se kvantifioi, kuinka paljon aika, pituus, liikemäärä ja energia muuttuvat, kun siirrytään koordinaatistosta toiseen, joka liikkuu suhteessa ensimmäiseen nopeudella v. Sen tunteminen on välttämätöntä suhteellisuuskorrektien laskemiseksi sekä teoreettisissa että käytännön sovelluksissa.
