Monty Hallin ongelma on kuuluisa todennäköisyysongelma. Ongelma perustuu yhdysvaltalaiseen televisiopeliohjelmaan Let's Make a Deal. Se on nimetty tämän ohjelman mukaan Monty Halliksi.

Perusasetelma on yksinkertainen mutta helposti harhaanjohtava: pelissä on kolme ovea. Yhden oven takana on arvokkaampi palkinto, yleensä auto, ja kahden muun oven takana on vuohet (vähäarvoiset palkinnot, kuvattu alkuperäisessä tekstissä palkinnot). Pelaaja valitsee ensin yhden oven, mutta ei avaa sitä. Tämän jälkeen ohjelman isäntä, joka tietää mitä ovien takana on, avaa yhden jäljellä olevista ovista niin, että sen takana on varmasti vuohi. Lopuksi pelaajalle tarjotaan mahdollisuus pitää alkuperäinen valinta tai vaihtaa jäljellä olevaan suljettuun oveen (siihen, jota isäntä ei avannut).

Miksi vaihtaminen kannattaa?

Usein ajatus tuntuu loogiselta, että kahden suljetun oven todennäköisyydet olisivat yhtä suuret (eli 50/50). Tämä intuitio kuitenkin unohtaa isännän toimintatavan: isäntä aina tietää oven sisällön ja avaa tarkoituksella vuohen sisältävän oven. Oikea vastaus on, että vaihtamalla ottaakin voittaa auton todennäköisyydellä 2/3, kun taas pysymällä alkuperäisessä valinnassa voittomahdollisuus on vain 1/3.

Selitys lyhyesti:

  • Alkuvalinta: pelaajan ensimmäinen valinta saa auton todennäköisyydellä 1/3 ja vuohen todennäköisyydellä 2/3.
  • Isännän toimenpide: koska isäntä avaa aina oven, jonka takana on vuohi, hän ei pudota auton todennäköisyyttä pois — hän vain paljastaa yhden vuohen. Jos pelaajan alkuvalinta oli auto (1/3), isäntä avaa jonkin vuohen ja vaihtamalla pelaaja menettää voiton. Jos alkuvalinta oli vuohi (2/3), isäntä avaa toisen vuohen ja vaihtamalla pelaaja saa auton.
  • Siispä vaihtamalla voittaa aina silloin, kun alkuvalinta oli vuohi — se tapahtuu 2/3 kerroista.

Esimerkkitapaukset

Kolme mahdollista alkutilannetta (jokainen todennäköisyydellä 1/3):

  • Valitset oven, jossa on auto. Isäntä avaa jonkin vuohen. Jos vaihdat, saat vuohen → tappiollinen vaihtaminen.
  • Valitset oven, jossa on ensimmäinen vuohi. Isäntä avaa toisen vuohen. Jos vaihdat, saat auton → voitto vaihtamalla.
  • Valitset oven, jossa on toinen vuohi. Isäntä avaa ensimmäisen vuohen. Jos vaihdat, saat auton → voitto vaihtamalla.

Yhteenvetona: vaihtamalla voitat 2/3 ajasta, pysymällä alkuperäisessä valinnassa voitat 1/3 ajasta.

Lisätarkennuksia ja huomioita

  • Oletus on olennainen: isäntä tietää missä auto on, hän ei koskaan avaa auto-ovea ja hän aina tarjoaa vaihtomahdollisuuden. Jos isäntä toimisi eri tavalla (esimerkiksi avaisi oven satunnaisesti tai joskus ei tarjoaisi vaihtoa), todennäköisyydet muuttuvat.
  • Jos isäntä valitsee avaamansa oven satunnaisesti eikä tiedä oven sisältöä, ja joskus voi sattua että hän paljastaa auton, tilanne ei enää vastaa alkuperäistä Monty Hall -ongelmaa.
  • Useimmat selitykset auttavat, jos simuloit pelin käytännössä: toista 100 tai 1000 kertaa sääntöjen mukaisesti ja huomaat, että vaihtamalla voitat noin 2/3 kerroista.
  • Historiallisesti ilmiö herätti laajaa keskustelua, esimerkiksi kun kolumnisti Marilyn vos Savant antoi saman neuvon ja sai paljon kritiikkiä — myöhemmin laskelmat ja simulaatiot vahvistivat hänen vastauksensa oikeaksi.

Miten muistaa helposti?

Muistisääntö: alkuvalinta kattaa vain yhden oven (1/3), joten kahden muun oven yhteinen todennäköisyys auton sijainnille on 2/3. Isännän avaama vuohi ei hajauta tätä todennäköisyyttä uudelleen — hän vain poistaa yhden mahdollisuuden, jolloin koko 2/3 "siirtyy" jäljellä olevaan suljettuun oveen. Siksi vaihtaminen kaksinkertaistaa voittomahdollisuuden 1/3 → 2/3.

Lopuksi: jos pelaisit sarjan pelejä ja haluaisit maksimoida voitot, strategiana kannattaa aina vaihtaa.