Monty Hallin ongelma
Monty Hallin ongelma on kuuluisa todennäköisyysongelma. Ongelma perustuu yhdysvaltalaiseen televisiopeliohjelmaan Let's Make a Deal. Se on nimetty tämän ohjelman mukaan Monty Halliksi.
Ongelmassa on kolme ovea. Yhden oven takana on auto (arvokas palkinto) ja kahden muun oven takana vuohet (arvoltaan vähäiset palkinnot). Ensin pelaaja valitsee oven, mutta ei avaa sitä. Sitten isäntä, jolla on tieto siitä, mitä jokaisen oven takana on, avaa toisen oven, jonka takana on varmasti vuohi (kumman tahansa oven avaaminen on yhtä todennäköistä, jos auto on pelaajan oven takana). Lopuksi isäntä antaa pelaajan valita, pitääkö hän sen, mitä ensimmäisen oven takana on, vai vaihtaako hän valinnan kolmanteen oveen (siihen, jota isäntä ei avannut). Tehtävän säännöt ovat seuraavat: isännän on avattava ovi, jonka takana on vuohi, ja annettava pelaajan vaihtaa. Kysymys on siitä, lisääkö valintojen vaihtaminen mahdollisuuksia saada auto.
Mahdollisuudet siihen, että auto on kahden vielä suljetun oven takana, näyttävät yhtä suurilta, joten useimmat sanovat, että valintojen vaihtaminen ei lisää mahdollisuuksia saada auto. Oikea vastaus on, että vaihtoehtojen vaihtaminen lisää auton saamisen todennäköisyyttä 1/3:sta (yksi kolmesta) 2/3:een (kaksi kolmesta).
Tämä johtuu siitä, että valitsemalla yhden oven kolmesta pelaajalla on yksi mahdollisuus kolmesta valita ovi, jossa on auto. Mahdollisuus siihen, että auto on jossain kahden muun oven takana, on kaksi kolmesta. Parantaakseen mahdollisuuksiaan voittaa auto pelaajan pitäisi siis vaihtaa yksi ovi kahteen muuhun oveen heti, jos hän saa valita. Mutta odottakaa! Isäntä yrittää sitten hämmentää pelaajaa avaamalla yhden omista vuohenovistaan. Se ei muuta mitään, sillä muista, että pelaaja vaihtaa edelleen yhden ovensa kahteen muuhun oveen (vaikka toinen niistä on avattu).
Nämä ovat vaihtoehdot:
1. (Hävitä): Jos pelaaja valitsee auton, isäntä näyttää vuohen. Jos pelaaja sitten muuttaa valintaansa, hän saa vuohen .
2. (Voitto) : Jos pelaaja valitsee vuohen, isäntä näyttää toisen vuohen. Jos pelaaja muuttaa valintaansa, hän saa auton.
3. (Voitto) : Jos pelaaja valitsee toisen vuohen, isäntä näyttää ensimmäisen vuohen. Jos pelaaja muuttaa valintaansa, hän saa auton.
On siis totta, että jos pelaaja vaihtaa (vaihtaa), hän voittaa auton kaksi kertaa kolmesta.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on Monty Hall -ongelma?
V: Monty Hall -ongelma on kuuluisa todennäköisyysongelma (sattumaongelma), joka perustuu yhdysvaltalaiseen televisiopeliohjelmaan Let's Make a Deal. Siinä on kolme ovea, joista yhden takana on auto ja kahden takana vuohet.
Kysymys: Mitä juontaja tietää?
V: Juontaja tietää, mitä kunkin oven takana on, ja valitsee aina oven, jonka takana on vuohi.
K: Lisääkö valintojen vaihtaminen mahdollisuuksia saada auto?
V: Kyllä, valintojen vaihtaminen lisää mahdollisuuksia saada auto 1/3:sta (yksi kolmesta) 2/3:een (kaksi kolmesta).
K: Miten tämä todennäköisyys toimii?
V: Alkuperäisessä ovivalinnassa on vain 1/3 mahdollisuus, että pelaaja valitsee oven, jossa on auto. Sen jälkeen on 2/3 mahdollisuus, että jos pelaaja vaihtaa valintaa nähtyään isännän avaavan jonkin muun oven, hän saa auton.
Kysymys: Ovatko kaikki vaihtoehdot samanarvoisia voittamisen tai häviämisen kannalta?
V: Ei, on kolme eri vaihtoehtoa voittaa tai hävitä riippuen siitä, vaihtaako pelaaja valintansa sen jälkeen, kun hän on nähnyt isännän avaavan yhden muista ovista. Jos valitset aluksi oikein ja vaihdat sitten valintaasi, häviät; jos valitset aluksi väärin, mutta vaihdat valintaasi sen jälkeen, voitat; ja jos valitset aluksi oikein, mutta et vaihda valintaasi sen jälkeen, voitat myös.
K: Onko totta, että vaihto lisää mahdollisuuksiasi voittaa kaksi kertaa kolmesta?
V: Kyllä, on totta, että vaihtaminen lisää mahdollisuuksiasi voittaa kaksi kertaa kolmesta.
