Todennäköisyys – määritelmä, periaatteet ja laskuesimerkit

Mitä todennäköisyys tarkoittaa?

Todennäköisyys on luku, joka kertoo, kuinka todennäköisesti jokin tapahtuma toteutuu. Todennäköisyyttä merkitään usein P(A), missä A on tapahtuma. Tapahtuman todennäköisyys (p) on aina nollan (mahdoton) ja yhden (varma) välillä. Todennäköisyys voidaan ilmaista murto-osana, desimaalina tai prosenttina.

Perusmäärittelyt ja aksioomat

• Otanta-avaruus (näytteen avaruus) Ω on kaikkien mahdollisten tulosten joukko.
• Tapahtuma A on Ω:n osajoukko.
• Todennäköisyysfunktio P täyttää seuraavat sääntöjä:
  • 0 ≤ P(A) ≤ 1 kaikille tapahtumille A,
  • P(Ω) = 1 (jokin tapahtuma Ω tapahtuu aina),
  • Jos A ja B ovat keskenään toisensa poissulkevia (mutually exclusive), niin P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Yleisemmin P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Komplementti, ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus

• Komplementti: P(A^c) = 1 − P(A), missä A^c on tapahtuman A vastatapahtuma.
• Ehdollinen todennäköisyys: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), kun P(B) > 0. Tämä kertoo todennäköisyyden A:lle oletuksella, että B tapahtui.
• Riippumattomuus: A ja B ovat riippumattomia, jos P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Tällöin toisen tapahtuman tapahtuminen ei vaikuta toisen todennäköisyyteen.

Usein käytettyjä sääntöjä

• Multiplikaatiosääntö (itsenäisille tapahtumille): P(A ja B) = P(A) · P(B).
• Lisäämissääntö yleisesti: P(A tai B) = P(A) + P(B) − P(A ja B).
• Kun tarkastellaan useita itsenäisiä tapahtumia (esim. useita kolikkoheittoja tai nopanheittoja), todennäköisyys, että kaikki toteutuvat, on yksittäisten todennäköisyyksien tulo.

Esimerkkejä: kolikko ja noppa

Kolikko: Reilu kolikko antaa yleensä kaksi yhtä todennäköistä tulosta: kruuna ja klaava. Näin P(kruuna) = 1/2 = 0,5 = 50% ja P(klaava) = 1/2.

Noppa: Jos heitetään noppaa (monikko: noppa) ja oletetaan, että noppa on reilu, todennäköisyys sille, että sattuu juuri tietty luku, esimerkiksi 1, on 1/6. Sama pätee luvuille 2, 3, 4, 5 ja 6. Koska jokainen heitto tuottaa aina jonkin luvun 1–6, kaikkien mahdollisuuksien todennäköisyyksien summa on 1.

Useamman nopan heitot: kun heität kahta noppaa, mahdollisia järjestettyjä tuloksia on 6×6 = 36. Todennäköisyys saada täsmällinen järjestetty pari (esim. ensin 3 sitten 5) on 1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278. Jos halutaan esimerkiksi todennäköisyys saada molemmilla kuusi (6 ja 6), se on myös 1/36.

Summa kahdesta nopasta: summat vaihtelevat 2–12. Niiden todennäköisyydet eivät ole kaikki yhtä suuria, koska eri summia voi muodostaa eri määrällä yhdistelmiä. Esimerkiksi:

• P(summa = 2) = 1/36
• P(summa = 7) = 6/36 = 1/6
• P(summa > 10) = P(summa = 11 tai 12) = 2/36 + 1/36 = 3/36 = 1/12 ≈ 0,0833

Jos heität kolmea noppaa ja haluat tietyn järjestyksen, esimerkiksi 3, sitten 5 ja sitten 2, todennäköisyys on 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216 ≈ 0,00463. Huomaa, että järjestyksen merkitys vaikuttaa lopputuloksen laskemiseen: jos kysytään "saaanko jossakin järjestyksessä 2, 3 ja 5" (eli kaikki kolme lukua, missä tahansa järjestyksessä), yhdistelmien lukumäärä on suurempi ja todennäköisyys kasvaa suhteessa yhtä järjestystä vastaavaan lukemaan.

Muita käsitteitä ja sovelluksia

• Odotusarvo (keskiarvo) E(X) kertoo satunnaismuuttujan pitkän aikavälin keskiarvon. Esimerkiksi yhden reilun nopan odotusarvo on (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5.
• Varianssi ja keskihajonta mittaavat, kuinka paljon tulokset tyypillisesti poikkeavat odotusarvosta.
• Todennäköisyyslaskentaa käytetään laajasti eri aloilla: tilastotieteissä, luonnontieteissä, koneoppimisessa, vakuutusalalla, riskienhallinnassa ja peleissä.

Lyhyt yhteenveto

Todennäköisyys antaa systemaattisen tavan arvioida satunnaisten tapahtumien esiintymisen todennäköisyyksiä. Perusperiaatteita ovat todennäköisyyden arvot väliltä 0–1, komplementtisääntö, lisä- ja multiplikaatiosäännöt sekä ehdollinen todennäköisyys. Yksinkertaisia esimerkkejä ymmärtämiseen tarjoavat kolikon ja nopan heitot; monimutkaisempiin tilanteisiin tarvitaan yhdistelmälaskentaa, permutaatioita ja joskus bayesilaista päättelyä. Todennäköisyyslaskenta on työkalu, jonka avulla satunnaisuutta voidaan mallintaa ja ennusteita tehdä järkevästi.

Todennäköisyyslaskentaa voidaan kehittää ja esittää myös matematiikan avulla; käytännössä se yhdistää loogisen päättelyn ja laskennan tarjoamaan täsmällisiä vastauksia satunnaisiin kysymyksiin.