Poincarén otaksuma
Poincaré-epäily on matematiikan palloja koskeva kysymys. Se on nimetty Henri Poincarén, ranskalaisen matemaatikon ja fyysikon mukaan, joka muotoili sen vuonna 1904.
Pallolla (jota kutsutaan myös 2-palloksi, koska se on kaksiulotteinen pinta, vaikka se yleensä nähdään kolmiulotteisen avaruuden sisällä) on ominaisuus, että mikä tahansa sen silmukka voidaan supistaa pisteeseen (jos pallon ympärille kiedotaan kuminauha, se voidaan liu'uttaa alas pisteeseen). Matemaatikot sanovat, että 2-pallo on yksinkertaisesti yhdistetty. Muilla tiloilla ei ole tätä ominaisuutta, esimerkiksi donitsilla: kuminauhaa, joka kiertää koko donitsin kerran, ei voi liu'uttaa alas pisteeseen ilman, että se poistuu pinnalta.
Matemaatikot tiesivät, että tämä ominaisuus oli ainutlaatuinen 2-pallolle siinä mielessä, että mikä tahansa muu yksinkertaisesti yhdistetty avaruus, jossa ei ole reunoja ja joka on riittävän pieni (matemaatikon termein sanottuna kompakti), on itse asiassa 2-pallo. Se ei kuitenkaan enää pidä paikkaansa, jos poistamme ajatuksen pienuudesta, sillä myös äärettömän suuri taso on yksinkertaisesti yhdistetty. Myös säännöllinen kiekko (ympyrä ja sen sisus) on yksinkertaisesti yhdistetty, mutta sillä on reuna (rajaava ympyrä).
Oletuksessa kysytään, päteekö sama myös 3-ulotteiseen palloon, joka on luonnollisesti neljässä ulottuvuudessa elävä objekti. Tämä kysymys motivoi suurta osaa modernista matematiikasta, erityisesti topologian alalla. Venäläinen matemaatikko Grigori Perelman ratkaisi kysymyksen lopulta vuonna 2002 geometristen menetelmien avulla ja osoitti, että se todellakin pitää paikkansa. Hänelle myönnettiin työstään Fieldsin mitali ja miljoonan dollarin Millennium-palkinto, joista molemmista hän kieltäytyi.
Poincarén olettamus voidaan laajentaa myös korkeampiin ulottuvuuksiin: tämä on yleistetty Poincarén olettamus. Yllättäen se oli helpompi todistaa korkeampiulotteisille palloille: Smale todisti vuonna 1960, että se pätee 5- ja 6-ulotteiselle pallolle ja sitä suuremmille palloille. Vuonna 1982 Freedman osoitti, että se pätee myös 4-pallolle, mistä hänelle myönnettiin Fieldsin mitali.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mikä on Poincarén konjektuuri?
A: Poincarén konjektuuri on Henri Poincarén mukaan nimetty matematiikan palloja koskeva kysymys, jossa kysytään, ovatko tietyt 2-pallon ominaisuudet totta myös 3-pallolle.
Kysymys: Mikä ominaisuus 2-pallolla on?
V: 2-pallolla on ominaisuus, että mikä tahansa sen silmukka voidaan supistaa pisteeksi.
K: Onko tämä ominaisuus vain 2-pallolla?
V: Tämä ominaisuus on ainutlaatuinen 2-pallolle pienten tilojen osalta, joissa ei ole reunoja. Kuitenkin äärettömän suuri taso ja säännöllinen kiekko (ympyrä ja sen sisus) ovat molemmat yksinkertaisesti yhdistettyjä, mutta niissä on reunoja.
Kysymys: Kuka osoitti, että se pätee korkeampiulotteisille palloille?
V: Vuonna 1960 Smale osoitti, että se on totta 5- ja 6-ulotteisille ja sitä suuremmille palloille, ja vuonna 1982 Freedman osoitti, että se on totta myös 4-ulotteisille palloille.
K: Kuka ratkaisi Poincarén arvelun?
V: Poincarén arvelun ratkaisi venäläinen matemaatikko Grigori Perelman, joka osoitti geometristen menetelmien avulla, että arvelu pitää paikkansa.
K: Mitä palkintoja Perelman sai työstään?
V: Perelman sai Fieldsin mitalin ja miljoonan dollarin Millennium-palkinnon työstään Poincarén arvelun ratkaisemiseksi; hän kuitenkin kieltäytyi molemmista palkinnoista.
