Poincarén oletus – määritelmä, historia ja Perelmanin ratkaisu
Poincarén oletus: selkeä määritelmä, historian käännekohtia ja Grigori Perelmanin ratkaisu. Syvenny topologian klassikko-ongelmaan ja sen vaikutuksiin matematiikassa.
Poincaré-epäily on matematiikan palloja koskeva kysymys. Se on nimetty Henri Poincarén, ranskalaisen matemaatikon ja fyysikon mukaan, joka muotoili sen vuonna 1904. Perusajatus liittyy siihen, miten monimutkaisia silmukoita tai reittejä (kuin kuminauhoja) voi olla pinnalla tai avaruudessa ja voidaanko ne aina vetää kokoon pisteeksi ilman, että ne katkeavat tai poistuvat pinnalta.
Pintojen ja avaruuksien tuttua esimerkkiä käytetään usein havainnollistukseen. Pallo (2-pallo, S^2) on pinta, jolla mikä tahansa silmukka voidaan supistaa pisteeseen; matemaatikot sanovat että se on yksinkertaisesti yhdistetty. Toisaalta esimerkiksi donitsilla (torus) on reikiä, joiden ympärille kulkevia kuminauhoja ei voi supistaa pisteeksi ilman, että ne katkeavat tai vedetään pinnan läpi.
Matemaatikot tiesivät pitkään, että 2-ulotteisten suljettujen (eli reunattomien) pintojen luokittelu oli yksinkertainen: yksinkertaisesti yhdistetty suljettu pinta on kotomeomorfinen 2-palloon. Kun siirrytään korkeampiin ulottuvuuksiin, tilanne muuttuu monimutkaisemmaksi. Poincarén alkuperäinen kysymys koski kolmiulotteista tilaa: onko jokainen suljettu, (kompakti) ja yksinkertaisesti yhdistetty 3-ulotteinen monooli kotomeomorfinen 3-palloon S^3?
Muodollinen muotoilu: Jos M on suljettu (eli kompakti ilman reunaa), 3-ulotteinen monooli ja sen perustaklassi (fundamental group) on triviali (kaikki ympyrät voidaan supistaa pisteeksi), onko M homeomorfinen 3-palloon S^3? Tämä on Poincarén epäilyn ydin.
On syytä huomata, että pelkkä homologia (eli kolmen mitan "kuin samanlaiset sormenjäljet" mittaavat) ei riitä: Poincaré itse antoi esimerkin 3-ulotteisesta monoolista, joka oli homologiassa samanlainen kuin 3-pallo mutta ei yksinkertaisesti yhdistetty. Tällaisia rakenteita kutsutaan Poincarén homologiasfääreiksi (Poincaré homology sphere) ja ne osoittivat, että tarvittava ehto oli nimenomaan yksinkertainen yhdistettävyys (triviaalinen fundamentaaliryhmä), ei pelkkä homologia.
Poincarén oletuksen yleistäminen eri ulottuvuuksille johti niin kutsuttuun yleistettyyn Poincarén oletukseen. Yllättävän usein korkeamman ulottuvuuden tapaukset olivat helpommin käsiteltävissä: Stephen Smale todisti vuonna 1960 oletuksen pätevän kaikille palloille, joiden ulottuvuus on vähintään 5 (S^n, n ≥ 5). Michael Freedman ratkaisi 4-ulotteisen tapauksen vuonna 1982, mistä hänelle myönnettiin Fieldsin mitali (vuonna 1986). Näin jäljelle jäi erityisesti vaikea ja pitkäaikainen tapaus n = 3.
3-ulotteisen tapauksen ratkaiseminen vaati uusia geometrisia menetelmiä. Richard Hamilton kehitti 1980-luvulla niin sanotun Ricci-virtauksen (Ricci flow) — differentiaaliyhtälöiden avulla etenevän prosessin, joka "tasoittaa" monoolin metristä rakenteen, pyrkien muuttamaan sen muotoa kohti tasaisempaa kurvatura-tilaa. Hamiltonin ohjelma luvattiin teoreettiseksi väyläksi ymmärtää 3-ulotteisia monooaleja, mutta Ricci-virtaus voi synnyttää singulaareja (epätoivottuja kupruja), jotka vaativat leikkaus- ja liimausmenetelmiä ("surgery") käsittelyyn.
Venäläinen matemaatikko Grigori Perelman julkaisi vuosina 2002–2003 sarjan esipainoksia, joissa hän kehitti Hamiltonin ohjelmaa eteenpäin. Perelman esitteli uusia analyysityökaluja (mm. niin kutsutun entropy-funktionaalin ja tarkkoja arvioita singulaareihin liittyen) ja osoitti, että Ricci-virtaus voidaan jatkaa läpi singulaaristen hetkien suorittamalla hyvin kontrolloidut leikkaukset. Näin hän kykeni luokittelemaan suljetut 3-ulotteiset monoolet ja näytti, että yksinkertaisesti yhdistetty suljettu 3-monooli on todellakin kotomeomorfinen 3-palloon. Perelmanin työn läpikäynti ja täsmentäminen vietti vuosia, mutta tulos hyväksyttiin laajasti 2000-luvun puoliväliin mennessä.
Perelmanille tarjottiin työstään Fieldsin mitalia (2006) ja Clayn instituutin miljoonan dollarin Millennium-palkintoa (palkinto myönnettiin virallisesti 2010), mutta hän kieltäytyi sekä mitaleista että rahapalkinnoista. Hänen ratkaisunsa on yksi merkittävimmistä saavutuksista topologiassa ja geometriassa 2000-luvulla, ja se sulki yli sata vuotta vanhan avoimen ongelman.
Poincarén oletuksen ratkaisu ei ole vain lopullinen vastaus tiettyyn luokittelukysymykseen: se on esimerkki siitä, miten geometriset ja analyysiset menetelmät (kuten Ricci-virtaus) voivat ratkaista syvällisiä topologisia ongelmia. Ratkaisu on myös vaikuttanut laajemmin 3-ulotteisten monoolien luokitteluun, geometriseen analyysiin ja matemaattiseen ymmärrykseen singulaariuksien muodostumisesta ja käsittelystä.
Yhteenvetona: Poincarén epäilyn perusväite — että jokainen suljettu, yksinkertaisesti yhdistetty 3-ulotteinen monooli on 3-pallo — todistettiin todeksi Perelmanin työn myötä. Korkeammissa ulottuvuuksissa väitteet todistettiin aiemmin (Smale, Freedman), mutta 3-ulotteinen tapaus osoittautui erityisen vaativaksi ja johti pitkään kehitystyöhön geometrian ja topologian risteysalueella.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mikä on Poincarén konjektuuri?
A: Poincarén konjektuuri on Henri Poincarén mukaan nimetty matematiikan palloja koskeva kysymys, jossa kysytään, ovatko tietyt 2-pallon ominaisuudet totta myös 3-pallolle.
Kysymys: Mikä ominaisuus 2-pallolla on?
V: 2-pallolla on ominaisuus, että mikä tahansa sen silmukka voidaan supistaa pisteeksi.
K: Onko tämä ominaisuus vain 2-pallolla?
V: Tämä ominaisuus on ainutlaatuinen 2-pallolle pienten tilojen osalta, joissa ei ole reunoja. Kuitenkin äärettömän suuri taso ja säännöllinen kiekko (ympyrä ja sen sisus) ovat molemmat yksinkertaisesti yhdistettyjä, mutta niissä on reunoja.
Kysymys: Kuka osoitti, että se pätee korkeampiulotteisille palloille?
V: Vuonna 1960 Smale osoitti, että se on totta 5- ja 6-ulotteisille ja sitä suuremmille palloille, ja vuonna 1982 Freedman osoitti, että se on totta myös 4-ulotteisille palloille.
K: Kuka ratkaisi Poincarén arvelun?
V: Poincarén arvelun ratkaisi venäläinen matemaatikko Grigori Perelman, joka osoitti geometristen menetelmien avulla, että arvelu pitää paikkansa.
K: Mitä palkintoja Perelman sai työstään?
V: Perelman sai Fieldsin mitalin ja miljoonan dollarin Millennium-palkinnon työstään Poincarén arvelun ratkaisemiseksi; hän kuitenkin kieltäytyi molemmista palkinnoista.
Etsiä