Jono (matematiikassa) – lukujonot, määritelmä ja esimerkit

Jono (matematiikassa): selkeä määritelmä ja a_n-notaatio, lukujonot, äärelliset ja äärettömät esimerkit sekä säännöt termien laskemiseen — opas sarjojen ymmärtämiseen.

Tekijä: Leandro Alegsa

Sekvenssi tai matematiikassa yleisemmin jono on järjestetty joukko alkioita, jotka seuraavat toisiaan tietyssä järjestyksessä. Sana tarkoittaa "toisiinsa liittyvien tapahtumien, liikkeiden tai asioiden joukkoa, jotka seuraavat toisiaan tietyssä järjestyksessä". Sekvenssejä käytetään sekä matematiikassa että monilla muilla tieteenaloilla; arkikielessä se tarkoittaa yksinkertaisesti tapahtumasarjaa, joka etenee vaiheittain.

Määritelmä ja merkintä

Matematiikassa jono on usein järjestys, jossa alkioilla on paikkakohtainen merkitys: esimerkiksi (sininen, punainen, keltainen) ja (keltainen, sininen, punainen) ovat eri jonot, vaikka alkioiden joukko olisi sama. Numeroista koostuvia jonoja kutsutaan myös lukujonoiksi tai etenemisiksi.

Formaalisti jono voidaan nähdä funktiona, jonka määrittelyjoukkona ovat luonnolliset luvut: jokaiselle paikan numerolle n (usein n ∈ N) on määritelty alkio a_n. Tämän vuoksi jonoa merkitään usein muodossa ( a n ) {\displaystyle (a_{n})}. {\displaystyle (a_{n})}, jossa a n {\displaystyle a_{n}}{\displaystyle a_{n}} tarkoittaa jonon n:ttä termiä. Indeksin n voi alkaa tyypillisesti yhdestä (n = 1) tai nollasta (n = 0), riippuen käytännöstä.

Äärelliset ja äärettömät jonot

Jonot voidaan jakaa kahteen pääryhmään:

  • Äärellinen jono: jollakin on lopullinen määrä alkioita. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4, 5) on äärellinen jono. (Katso myös äärellinen.)
  • Ääretön jono: jatkuu loputtomiin, eikä kaikkia alkioita voi listata loppuun saakka. Esimerkki äärettömästä jonosta on kaikkien parillisten lukujen jono, joka alkaa luvuilla 2, 4, 6, 8, ... ja jatkuu loputtomiin. (Katso myös ääretön.)

Äärellisen jonon kaikki alkiot voidaan kirjoittaa suoraan ylös, mutta äärettömässä jonossa on tavallisesti tarpeen antaa sääntö tai kaava, joka kertoo miten saada n:s alkio. Esimerkiksi säännön "n:nnen paikan luku on 2×n" antaa äärettömän jonon, jonka termit ovat a_n = 2n (n = 1, 2, 3, ...). Tällöin ensimmäinen termi on 2, toinen 4 ja sadannes 200, koska 2×100 = 200. (Sääntöjen avulla voimme siis paikantaa minkä tahansa kohdan äärettömästä jonosta.)

Esimerkkejä jonoista

  • Yksinkertainen numeroinen jono: a_n = n antaa jonon 1, 2, 3, 4, ...
  • Parilliset luvut: a_n = 2n → 2, 4, 6, 8, ... (kuten edellä)
  • Geometrinen jono: a_n = a_1·r^(n-1). Esimerkiksi a_1 = 3, r = 2 → 3, 6, 12, 24, ...
  • Aritmeettinen jono: a_n = a_1 + (n−1)d. Esim. a_1 = 1, d = 3 → 1, 4, 7, 10, ...
  • Rekursiivinen jono: termi määritellään aiempien termien avulla. Tunnettu esimerkki on Fibonacci-jono: F_1 = 1, F_2 = 1 ja F_n = F_{n−1} + F_{n−2} (n ≥ 3) → 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
  • Ei-numeerinen jono: jonon alkiot voivat olla myös värejä, symboleja tai funktioita, esimerkiksi (sin, cos, tan) tai (f_1, f_2, f_3), joissa f_i ovat funktioita.

Jonojen ominaisuuksia (peruskäsitteitä)

  • Rajoittuneisuus (boundedness): jono on rajoitettu, jos sen kaikki termit jäävät jonkin luvun väliin. Esim. jono a_n = sin(n) on rajoitettu välille [−1, 1].
  • Monotonisuus: jono voi olla kasvava (a_{n+1} ≥ a_n), tiukasti kasvava, laskeva tai tiukasti laskeva.
  • Raja-arvo (konvergenssi): äärettömän jonon raja-arvo on luku L, johon a_n lähestyy, kun n kasvaa. Esim. a_n = 1/n konvergoi nollaan. Jono, jolla ei ole raja-arvoa, sanotaan divergoivaksi.
  • Aljono (subsequence): jokin jono koostuu alkuperäisjonoa valitsemalla tietyn indeksisarjan, esimerkiksi kaikki parilliset indeksit muodostavat aljonon.
  • Tiheys ja kasaantumispisteet: jonolla voi olla useita kertymispisteitä (limit-points), joihin aljonot voivat konvergoida.
  • Periodisuus: jono on periodinen, jos sen termit toistuvat säännöllisesti, eli on k > 0 siten, että a_{n+k} = a_n kaikilla n.

Jonot funktioina ja eri määrittelyjoukot

Jonot voidaan määritellä mihin tahansa arvojoukkoon: reaalilukuihin, kompleksi​lukuihin, vektoreihin tai vaikkapa matriiseihin tai funktioihin. Tavallinen tapa on antaa eksplisiittinen kaava a_n funktiona indeksistä n tai rekursiivinen määritelmä, jossa termit lasketaan aiempien termien avulla.

Erot sarjan kanssa

Terminologia selkeyden vuoksi: jono (sequence) on lista alkioita a_1, a_2, a_3, ... kun taas sarja (series) tarkoittaa jonon termien summan tarkastelua, esimerkiksi ∑_{n=1}^∞ a_n. Sarjan konvergenssi on eri käsite kuin jonon konvergenssi.

Sovelluksia

Jonot ovat peruskäsite analyysissä, differentiaaliyhtälöissä, numeerisissa menetelmissä, todennäköisyyslaskennassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Esimerkiksi iteratiiviset algoritmit tuottavat usein jonoja, joiden raja-arvon tunteminen kertoo algoritmin vakaudesta ja lopputuloksesta.

Yhteenveto

Jono on järjestetty alkioiden sarja, jota voidaan tarkastella joko äärellisenä tai äärettömänä. Äärettömiä jonoja kuvataan säännöllä tai kaavalla, joka kertoo, miten löytää n:s termi. Jonojen tutkiminen keskittyy usein ominaisuuksiin kuten konvergenssiin, raja-arvoihin, monotonisuuteen ja rajoittuneisuuteen. Jonot ovat laaja ja käytännöllinen käsite, joka ilmenee monilla matematiikan ja luonnontieteiden alueilla.


 

Sarjatyypit

Aritmeettinen eteneminen (AP)

Aritmeettisessa etenemisessä termin ja sitä edeltävän termin erotus on aina vakio.

Esimerkki: ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots }

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 ja niin edelleen.

Jos siis ensimmäinen termi on a ja vakioero on D, aritmeettisen sarjan yleinen kaava on a n = a + ( n - 1 ) D {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D} {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D}, missä n on termin lukumäärä.

Geometriset progressiot (GP)

Geometrisessa etenemisessä termin ja sitä edeltävän termin välinen suhde on aina vakio.

Esimerkki: {\displaystyle 3,6,12,24,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots }

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2 ja niin edelleen.

Jos siis otetaan a ensimmäiseksi termiksi ja r suhteeksi, geometrisen progression yleinen kaava on a n = a r n - 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}} {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}, missä n on termien lukumäärä.

Harmoninen eteneminen (HP)

Harmonisessa etenemisessä termin ja sitä edeltävän termin käänteisarvon välinen ero on vakio.

Esimerkki: {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots }

( 1 / 1.5 ) - ( 1 / 3 ) = 1 3 , ( 1 / 1 ) - ( 1 / 1.5 ) = 1 3 , ( 1 / 3 4 ) - ( 1 / 1 ) = 1 3 {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}}} {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}ja niin edelleen.



 

Sarja

Sarja on sarjan kaikkien termien summa.

Yleinen kaava aritmeettisen sarjan summan laskemiseksi on seuraava

S = n 2 [ 2 a + ( n - 1 ) d ] {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]} {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]}

Geometrisen sarjan arvo on S = a 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}} {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}jos sarja on ääretön, ja S = a ( 1 - r n ) 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}} {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}, jos se on äärellinen.

Tässä a on ensimmäinen termi, d on aritmeettisen sarjan yhteinen erotus, r on geometrisen sarjan suhde ja n on termien lukumäärä.



 

Aiheeseen liittyvät sivut

  • Cauchyn jakso
  • Sarjan raja
  • Sarja
 

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on jakso?


A: Jakso on joukko toisiinsa liittyviä tapahtumia, liikkeitä tai kohteita, jotka seuraavat toisiaan tietyssä järjestyksessä.

K: Miten sitä käytetään?


V: Sitä käytetään matematiikassa ja muilla tieteenaloilla. Tavallisessa käytössä se tarkoittaa tapahtumasarjaa, joka seuraa toistaan.

K: Mitä kahdenlaisia sarjoja on?


V: Kahdenlaisia sarjoja ovat äärelliset sarjat, joilla on loppu, ja äärettömät sarjat, jotka eivät koskaan pääty.

K: Voitko antaa esimerkin äärettömästä sarjasta?


V: Esimerkki äärettömästä sarjasta on kaikkien parillisten lukujen sarja, jotka ovat suurempia kuin 0. Tämä sarja ei koskaan lopu; se alkaa luvuilla 2, 4, 6 ja niin edelleen.

K: Miten voimme kirjoittaa äärettömän sarjan?


V: Voimme kirjoittaa äärettömän sarjan ylös kirjoittamalla säännön, jonka avulla voimme löytää asian mistä tahansa haluamastamme paikasta. Säännön pitäisi kertoa, miten asia saadaan n:nteen paikkaan, jossa n voi olla mikä tahansa luonnollinen luku.

Kysymys: Mitä tarkoittaa (a_n), kun kirjoitetaan sarjaa?


V: (a_n) tarkoittaa sarjan n:ttä termiä.


Etsiä
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3