Lukujono | joukko toisiinsa liittyviä tapahtumia, liikkeitä tai kohteita, jotka seuraavat toisiaan tietyssä järjestyksessä

Sekvenssi on sana, joka tarkoittaa "toisiinsa liittyvien tapahtumien, liikkeiden tai asioiden joukkoa, jotka seuraavat toisiaan tietyssä järjestyksessä".

Sitä käytetään matematiikassa ja muilla tieteenaloilla. Tavallisessa käytössä sillä tarkoitetaan tapahtumasarjaa, joka seuraa toistaan. Matematiikassa sarja muodostuu useista asioista, jotka asetetaan peräkkäin. Asioiden järjestyksellä on merkitystä. Esimerkiksi sekä (sininen, punainen, keltainen) että (keltainen, sininen, punainen) ovat sarjoja, mutta ne eivät ole samoja. Numeroista koostuvia sarjoja kutsutaan myös etenemisiksi.

Jaksoja on kahdenlaisia. Toinen on äärellinen sarja, jolla on loppu. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4, 5) on äärellinen sarja. Toinen laji on ääretön sarja, joka tarkoittaa, että se jatkuu eikä lopu koskaan. Esimerkki äärettömästä sarjasta on kaikkien parillisten lukujen sarja, joka on suurempi kuin 0. Tämä sarja ei koskaan lopu: se alkaa luvuilla 2, 4, 6 ja niin edelleen, ja aina voi jatkaa parillisten lukujen nimeämistä.

Jos sarja on äärellinen, on helppo sanoa, mikä se on: voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa ylös kaikki sarjaan kuuluvat asiat. Tämä ei toimi äärettömän sarjan kohdalla. Toinen tapa kirjoittaa sarja on siis kirjoittaa sääntö, jonka avulla asia voidaan löytää mistä tahansa paikasta. Säännön pitäisi kertoa, miten asia saadaan n:nteen paikkaan, jossa n voi olla mikä tahansa luonnollinen luku. Tämä tarkoittaa sitä, että sarja on oikeastaan erityyppinen funktio, jonka alueena ovat luonnolliset luvut. Joskus kirjoitamme sarjan muodossa ( a n ) {\displaystyle (a_{n})}. {\displaystyle (a_{n})}, jossa a n {\displaystyle a_{n}}{\displaystyle a_{n}} tarkoittaa sarjan n:ää termiä.

Sääntö voisi esimerkiksi olla, että n:nnen sijan asia on luku 2×n (2 kertaa n). Tämä kertoo, mikä koko sarja on, vaikka se ei koskaan lopu. Ensimmäinen luku on 2×1 eli 2. Toinen luku on 2×2 eli 4. Jos haluamme tietää, mikä on sadas luku, voimme yksinkertaisesti laskea 2×100 ja saada tulokseksi 200. Riippumatta siitä, minkä luvun sarjassa haluamme, sääntö voi kertoa meille, mikä se on.


 

Sarjatyypit

Aritmeettinen eteneminen (AP)

Aritmeettisessa etenemisessä termin ja sitä edeltävän termin erotus on aina vakio.

Esimerkki: ... {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots } {\displaystyle 4,9,14,19,24,29,34,\ldots }

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 ja niin edelleen.

Jos siis ensimmäinen termi on a ja vakioero on D, aritmeettisen sarjan yleinen kaava on a n = a + ( n - 1 ) D {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D} {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)D}, missä n on termin lukumäärä.

Geometriset progressiot (GP)

Geometrisessa etenemisessä termin ja sitä edeltävän termin välinen suhde on aina vakio.

Esimerkki: {\displaystyle 3,6,12,24,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots } {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,192,\ldots }

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2 ja niin edelleen.

Jos siis otetaan a ensimmäiseksi termiksi ja r suhteeksi, geometrisen progression yleinen kaava on a n = a r n - 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}} {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}, missä n on termien lukumäärä.

Harmoninen eteneminen (HP)

Harmonisessa etenemisessä termin ja sitä edeltävän termin käänteisarvon välinen ero on vakio.

Esimerkki: {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots } {\displaystyle 3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots }

( 1 / 1.5 ) - ( 1 / 3 ) = 1 3 , ( 1 / 1 ) - ( 1 / 1.5 ) = 1 3 , ( 1 / 3 4 ) - ( 1 / 1 ) = 1 3 {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}}} {\displaystyle (1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}}ja niin edelleen.



 

Sarja

Sarja on sarjan kaikkien termien summa.

Yleinen kaava aritmeettisen sarjan summan laskemiseksi on seuraava

S = n 2 [ 2 a + ( n - 1 ) d ] {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]} {\displaystyle S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]}

Geometrisen sarjan arvo on S = a 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}} {\displaystyle S={\tfrac {a}{1-r}}}jos sarja on ääretön, ja S = a ( 1 - r n ) 1 - r {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}} {\displaystyle S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}}, jos se on äärellinen.

Tässä a on ensimmäinen termi, d on aritmeettisen sarjan yhteinen erotus, r on geometrisen sarjan suhde ja n on termien lukumäärä.



 

Aiheeseen liittyvät sivut

  • Cauchyn jakso
  • Sarjan raja
  • Sarja
 

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on jakso?


A: Jakso on joukko toisiinsa liittyviä tapahtumia, liikkeitä tai kohteita, jotka seuraavat toisiaan tietyssä järjestyksessä.

K: Miten sitä käytetään?


V: Sitä käytetään matematiikassa ja muilla tieteenaloilla. Tavallisessa käytössä se tarkoittaa tapahtumasarjaa, joka seuraa toistaan.

K: Mitä kahdenlaisia sarjoja on?


V: Kahdenlaisia sarjoja ovat äärelliset sarjat, joilla on loppu, ja äärettömät sarjat, jotka eivät koskaan pääty.

K: Voitko antaa esimerkin äärettömästä sarjasta?


V: Esimerkki äärettömästä sarjasta on kaikkien parillisten lukujen sarja, jotka ovat suurempia kuin 0. Tämä sarja ei koskaan lopu; se alkaa luvuilla 2, 4, 6 ja niin edelleen.

K: Miten voimme kirjoittaa äärettömän sarjan?


V: Voimme kirjoittaa äärettömän sarjan ylös kirjoittamalla säännön, jonka avulla voimme löytää asian mistä tahansa haluamastamme paikasta. Säännön pitäisi kertoa, miten asia saadaan n:nteen paikkaan, jossa n voi olla mikä tahansa luonnollinen luku.

Kysymys: Mitä tarkoittaa (a_n), kun kirjoitetaan sarjaa?


V: (a_n) tarkoittaa sarjan n:ttä termiä.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3