Trigonometria

Trigonometria (kreikan sanoista trigonon = kolme kulmaa ja metron = mitta) on matematiikan alkeisosa, joka käsittelee kulmia, kolmioita ja trigonometrisia funktioita, kuten siniä (lyhenne sin), kosinia (lyhenne cos) ja tangenttia (lyhenne tan). Sillä on jonkinlainen yhteys geometriaan, vaikka siitä, mikä tämä yhteys tarkalleen ottaen on, vallitsee erimielisyyttä; joidenkin mielestä trigonometria on vain osa geometriaa.

Yleiskatsaus ja määritelmät

Trigonometriassa käytetään monia erityisiä sanoja kuvaamaan kolmion osia. Joitakin trigonometrian määritelmiä ovat:

Suorakulmainen kolmio - Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka kulma on 90 astetta. (Kolmio voi olla vain yksi suorakulmainen.) Tavallisia trigonometrisia suhdelukuja voidaan käyttää vain suorakulmaisiin kolmioihin.
Hypotenuusa - Kolmion hypotenuusa on kolmion pisin sivu ja se sivu, joka on vastapäätä suorakulmaa. Esimerkiksi oikealla olevan kolmion hypotenuusa on sivu c.
Kulman vastakkainen puoli - Kulman vastakkainen puoli on se puoli, joka ei leikkaa kulman kärkeä. Esimerkiksi sivu a on oikealla olevan kolmion kulman A vastakohta.
Kulman vierekkäinen sivu - Kulman vierekkäinen sivu on sivu, joka leikkaa kulman kärkipisteen, mutta ei ole hypotenuusa. Esimerkiksi sivu b on oikealla olevan kolmion kulman A vieressä.

Tavallinen suorakulmainen kolmio. C on suorakulma tässä kuvassa

Trigonometriset suhteet

Suorakulmaisille kolmioille on kolme tärkeintä trigonometrista suhdelukua ja kolme näiden suhdelukujen käänteislukua. Yhteensä suhdelukuja on 6. Ne ovat:

Sinus (sin) - Kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkainen hypotenuusa {\displaystyle {{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuusa}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Kosinus (cos) - Kulman kosinus on yhtä suuri kuin vierekkäisen hypotenuusan {\displaystyle {{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuusa}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Tangentti (tan) - Kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkainen vierekkäinen {\displaystyle {{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}$

Näiden suhdelukujen käänteisluvut ovat:

Kosecantti (csc) - Kulman kosecantti on yhtä suuri kuin hypotenuusan vastakohta {\displaystyle {{\text{Hypotenuusa}} \over {\text{Opposite}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}$ tai csc θ = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta ={1 \over \sin \theta}} $\csc \theta ={1 \over \sin \theta }$

Sekantti (sec) - Kulman sekantti on yhtä suuri kuin hypotenuusan vierekkäinen {\displaystyle {{\text{Hypotenuusa}} \over {\text{Adjacent}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}$ tai sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }} $\sec \theta ={1 \over \cos \theta }$

Cotangentti (cot) - Kulman cotangentti on yhtä suuri kuin vierekkäinen vastakkainen {\displaystyle {{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}$ tai cot θ = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={1 \over \tan \theta}} $\cot \theta ={1 \over \tan \theta }$

Opiskelijat käyttävät usein muistisääntöjä tämän suhteen muistamiseksi. Suorakulmaisen kolmion sini-, kosini- ja tangenttisuhteet voidaan muistaa esittämällä ne kirjainjonoina, kuten SOH-CAH-TOA:

Sinus = vastakkainen ÷ hypotenuusa

Kosinus = vierekkäinen ÷ hypotenuusa

Tangentti = vastakkainen ÷ vierekkäinen

Käyttämällä trigonometriaa

Sinien ja kosinusten avulla voi vastata lähes kaikkiin kolmioita koskeviin kysymyksiin. Tätä kutsutaan kolmion "ratkaisemiseksi". Minkä tahansa kolmion loput kulmat ja sivut voidaan selvittää heti, kun tiedetään kaksi sivua ja niihin sisältyvä kulma tai kaksi kulmaa ja yksi sivu tai kolme sivua. Nämä lait ovat käyttökelpoisia kaikilla geometrian aloilla, koska jokainen monikulmio voidaan kuvata kolmioiden yhdistelmänä.

Trigonometria on tärkeää myös maanmittauksessa, vektorianalyysissä ja jaksollisten funktioiden tutkimisessa.

On olemassa myös niin sanottu pallotrigonometria, joka käsittelee pallogeometriaa. Sitä käytetään tähtitieteen, geodesian ja navigoinnin laskelmissa.

Trigonometrian lait

Sinusten laki

a Sin A = b Sin B = c Sin C {\displaystyle {\displaystyle {\text{a}} \over {\text{Sin A}}={\text{b}} \over {\text{Sin B}}={\text{c}} \over {\text{Sin C}}}}} ${{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}={{\text{b}} \over {\text{Sin B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}$

Kosinusten laki

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ( A ) {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)} $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

Tangenttien laki

a - b a + b = tan ( 1 2 ( A - B ) ) tan ( 1 2 ( A + B ) ) tan ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}}(A+B))}}} ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}}$