Hilbertin avaruus
Hilbertin avaruus on matemaattinen käsite, joka kattaa euklidisen avaruuden ekstradimensionaalisen käytön eli avaruuden, jossa on enemmän kuin kolme ulottuvuutta. Hilbertin avaruus käyttää kahden ja kolmen ulottuvuuden matematiikkaa yrittäessään kuvata sitä, mitä tapahtuu suuremmissa kuin kolmessa ulottuvuudessa. Se on nimetty David Hilbertin mukaan.
Vektorialgebra ja -laskenta ovat menetelmiä, joita käytetään yleensä kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa. Hilbert-avaruudessa näitä menetelmiä voidaan käyttää missä tahansa äärellisessä tai äärettömässä määrässä ulottuvuuksia. Hilbert-avaruus on vektoriavaruus, jolla on sisäisen tuotteen rakenne, jonka avulla voidaan mitata pituutta ja kulmaa. Hilbert-avaruuksien on myös oltava täydellisiä, mikä tarkoittaa, että laskennan toimivuuden kannalta on oltava riittävästi raja-arvoja.
Varhaisimpia Hilbert-avaruuksia tutkivat 1900-luvun ensimmäisellä vuosikymmenellä David Hilbert, Erhard Schmidt ja Frigyes Riesz. John von Neumann keksi ensimmäisenä nimen "Hilbertin avaruus". Hilbert-avaruuden menetelmillä oli suuri merkitys funktionaalianalyysille.
Hilbert-avaruudet esiintyvät paljon matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa, usein äärettömän ulottuvuuden funktioavaruuksina. Ne ovat erityisen hyödyllisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, kvanttimekaniikan ja Fourier-analyysin (joka sisältää signaalinkäsittelyn ja lämmönsiirron) tutkimisessa. Hilbert-avaruuksia käytetään ergodisessa teoriassa, joka on termodynamiikan matemaattinen perusta. Kaikki normaalit euklidiset avaruudet ovat myös Hilbert-avaruuksia. Muita esimerkkejä Hilbert-avaruuksista ovat neliöintegroituvien funktioiden avaruudet, jaksojen avaruudet, yleistettyjen funktioiden Sobolev-avaruudet ja holomorfisten funktioiden Hardy-avaruudet.
Hilbert-avaruuksia voidaan käyttää värähtelevien jousien harmonioiden tutkimiseen.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on Hilbertin avaruus?
A: Hilbertin avaruus on matemaattinen käsite, joka käyttää kahden ja kolmen ulottuvuuden matematiikkaa yrittäessään kuvata sitä, mitä tapahtuu suuremmissa kuin kolmessa ulottuvuudessa. Se on vektoriavaruus, jossa on sisäisen tulon rakenne, jonka avulla voidaan mitata pituutta ja kulmaa, ja sen on myös oltava täydellinen, jotta laskutoimitukset toimisivat.
K: Kuka nimesi Hilbert-avaruuden käsitteen?
V: Hilbert-avaruuksien käsitettä tutkivat ensimmäisen kerran 1900-luvun alussa David Hilbert, Erhard Schmidt ja Frigyes Riesz. John von Neumann oli se, joka keksi nimen "Hilbert-avaruus".
Kysymys: Mitkä ovat Hilbert-avaruuksien sovelluksia?
V: Hilbert-avaruuksia käytetään monilla aloilla, kuten matematiikassa, fysiikassa, insinööritieteissä, funktionaalianalyysissä, osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, kvanttimekaniikassa, Fourier-analyysissä (joka sisältää signaalinkäsittelyn ja lämmönsiirron), ergodisessa teoriassa (termodynamiikan matemaattinen perusta), neliöintegroituvissa funktioissa, sekvensseissä, yleistetyistä funktioista muodostetuissa Sobolevin avaruuksissa ja holomorfisten funktioiden Hardy-avaruuksissa.
Kysymys: Ovatko kaikki normaalit euklidiset avaruudet myös Hilbert-avaruuksia?
V: Kyllä - kaikki normaalit euklidiset avaruudet ovat myös Hilbertin avaruuksia.
K: Miten Hilbert-avaruudet vaikuttivat funktionaalianalyysiin?
V: Hilbert-avaruuksien käyttö vaikutti suuresti funktionaalianalyysiin tarjoamalla uusia menetelmiä alaan liittyvien ongelmien tutkimiseen.
K: Minkälaista matematiikkaa tarvitsee tuntea, kun työskentelee Hilbert-avaruuden kanssa?
V: Vektorialgebraa ja -laskentaa käytetään tavallisesti, kun työskennellään kaksiulotteisen euklidisen tason tai kolmiulotteisen avaruuden kanssa; näitä menetelmiä voidaan kuitenkin käyttää myös minkä tahansa äärellisen tai äärettömän ulottuvuusluvun kanssa, kun käsitellään Hilbert-avaruutta.
