16-soluinen (heksadekachoron): säännöllinen 4-ulotteinen polytooppi

16-soluinen (heksadekachoron) — säännöllinen 4-ulotteinen polytooppi: Schläflin ortopleksi, neljännen ulottuvuuden symmetria, rakenne ja ominaisuudet selkeästi esitelty.

Neliulotteisessa geometriassa 16-solu on säännöllinen kupera monikulmio eli polytooppi neljässä ulottuvuudessa. Se tunnetaan myös nimellä heksadekachoron. Se on yksi kuudesta säännöllisestä kuperasta monikulmiosta, jotka sveitsiläinen matemaatikko Ludwig Schläfli kuvasi ensimmäisen kerran 1800-luvun puolivälissä.

Conway kutsuu sitä ortopleksiksi ortanttikompleksille, samoin kuin koko ristipolyytooppien luokkaa.

Perusominaisuudet

• Schläfli-symboli: {3,3,4}.
• Solujen (cells) määrä: 16 — jokainen solu on säännöllinen tetraedri ({3,3}).
• Kasvot (faces): 32 kolmionmuotoista tahkoa.
• Reunat (edges): 24.
• Huiput (vertices): 8.
• Topologinen ominaisuus: Euler–Poincarén suhde neljässä ulottuvuudessa V − E + F − C = 8 − 24 + 32 − 16 = 0.

Koordinaatit ja rakenne

Yksi kätevä tapa esittää 16-solu on sijoittaa sen huiput neliulotteiseen koordinaatistoon yksikköakseleiden positiivisiin ja negatiivisiin suuntiin. Huippujen koordinaatit ovat:

• (±1, 0, 0, 0),
• (0, ±1, 0, 0),
• (0, 0, ±1, 0),
• (0, 0, 0, ±1).

Tässä esityksessä ympärysympyrän (circumradius) säde on 1 ja reunapituus on √2. Vastakkaiset huiput (esim. (1,0,0,0) ja (−1,0,0,0)) eivät ole yhdistettyjä reunalla; jokaisella huipulla on 6 naapuria, ja huipun ympärillä oleva huipputaso (vertex figure) on oktaedri.

Dualisuus ja suhteet muihin polytoppeihin

• Dualipolytooppi: 16-solu on tesseraktin (8-solu, eli tesseract/8-cell) duali. Tämä tarkoittaa muun muassa sitä, että 16-solu ja tesserakti jakavat saman symmetriaryhmän ja että huiput ja solut vaihtuvat dualisoinnissa.
• Ristipolyytooppien perhe: 16-solu on neljännessä ulottuvuudessa sijaitseva ristipolyytooppi (cross-polytope, ortoplex). Yleisesti n-ulotteisen ristipolyytoopin huippujen määrä on 2n ja niiden koordinaatit ovat ± yksikköakseleiden suuntavektorit.
• Analogia 3-ulotteisuuteen: 3-ulotteinen ristipolyytooppi on oktaedri; 16-solu on tätä 4-ulotteinen vastine.

Symmetria

16-solun symmetriaryhmä on hyperoktaedrinen ryhmä B4 (joissain notaatioissa BC4) ja sillä on 2^4·4! = 384 symmetriaa. Nämä symmetriat vastaavat koordinaattien merkinvaihtoja ja permutaatioita, jotka säilyttävät rakenne- ja etäisyyssuhteet.

Rakennus ja paikallinen yhteensopivuus

• Solut ovat tetraedrejä, ja jokaista reunaa kohti liittyy 4 tetraedria (Schläfli-symbolin viimeinen luku r = 4 kertoo, kuinka monta solua reunaa ympäröi).
• Huippukohtaisten keraamiseen kuvion (vertex figure) muoto on oktaedri, eli kuhunkin huippuun liittyy 6 reunaa ja 8 kolmiota ympärillä.
• 16-solun voi saada myös ottamalla tesseraktin keskipisteet (solujen keskipisteet) ja muodostamalla niistä convex hullin — tämä on dualisoinnin idea rinnakkaisessa muodossa.

Visualisointi ja projektio

Koska 16-solu elää neljässä ulottuvuudessa, sen tarkka hahmottaminen edellyttää projektioita alempiin ulottuvuuksiin. Tavallisia visualisointikeinoja ovat:

• ortografiset ja perspektiiviprojektiot 3-ulotteiseen avaruuteen, joiden jälkeen voidaan edelleen piirtää 2D-kuvaksi;
• tähystäminen suorakulmaiseen kubukseen (tesseraktin yhteydessä) ja näyttäminen dualisoinnin avulla;
• sisä- ja ulkoprojektiot, jotka paljastavat solujen tetraedrisen rakenteen ja oktaedriset huippukuvion muodostelmat.

Nimet ja terminologia

• Suomeksi käytetään nimityksiä 16-solu tai heksadekachoron.
• Englanniksi yleisiä nimiä ovat 16-cell, hexadecachoron ja cross-polytope (4D) tai orthoplex.
• Conwayn terminologiaa mukaillen sitä kutsutaan myös ortopleksiksi, korostaen rakennetta, joka liittyy "ortantteihin" ja ristipolyytooppien luokkaan.

Lisätietoa ja jatkolukemista

16-solu on keskeinen esimerkki säännöllisistä 4-ulotteisista polytoppeista ja toimii hyvänä porttina ymmärtää korkeampien ulottuvuuksien symmetrioita, dualiteettia ja ristipolyytooppien yleisiä ominaisuuksia. Sen yhteydet tesseraktiin, symmetriaryhmiin ja Schläfli-notaatioon tarjoavat laajan pohjan jatko-opinnoille neljä-ulotteisessa geometriassa.

Hae kirjaimella