Matematiikassa kovera säännöllinen 4-polytooppi (tai polychoron) on 4-ulotteinen (4D) polytooppi, joka on sekä säännöllinen että kovera. Ne ovat Platonin kappaleiden (kolmiulotteiset) ja säännöllisten monikulmioiden (kaksiulotteiset) neliulotteisia vastineita. Käytännössä "säännöllinen" tarkoittaa sitä, että kaikki solut (3-ulotteiset kappaleet), kasvot (2-ulotteiset monikulmiot), särmät ja huiput ovat kongruentteja ja että polytoopin symmetriaryhmä toimii transitiviisesti huippujen (ja siten myös muiden elementtien) yli.

Sveitsiläinen matemaatikko Ludwig Schläfli kuvasi nämä polytoopit ensimmäisen kerran 1800-luvun puolivälissä. Schläfli havaitsi, että tällaisia lukuja on täsmälleen kuusi. Viisi näistä voidaan ajatella Platonin kappaleiden korkeamman ulottuvuuden analogeiksi. Lisäksi on yksi luku (24-kenno), jolle ei ole kolmiulotteista vastinetta.

Jokaista kuperaa säännöllistä 4-polytooppia rajoittaa joukko 3-ulotteisia soluja, jotka ovat kaikki saman tyyppisiä ja kokoisia platonisia kiinteitä aineita. Nämä on sovitettu yhteen niiden pintoja pitkin säännöllisellä tavalla.

Määritelmä Schläfli-symbolin avulla

Säännöllinen 4-polytooppi voidaan merkitä Schläfli-symbolilla {p,q,r}. Tämä tarkoittaa käytännössä:

  • solut ovat säännöllisiä polyedrejä {p,q} (eli niiden kasvot ovat p-kulmioita ja kussakin solun huipussa kohtaa q kasvoa);
  • ja jokaista kasvoa ympäröi tarkalleen r solua.
    • Esimerkiksi {5,3,3} tarkoittaa, että solut ovat dodekaedrejä ({5,3}) ja että jokaista pentagonaalista kasvoa ympäröi kolme solua.

    Kuusi kuperaa säännöllistä 4-polytooppia (Schläfli)

    Schläflin luokittelussa on täsmälleen kuusi konvekseja säännöllisiä 4-polytooppia. Alla on niiden tavalliset nimet, Schläfli-symbolit, sekä keskeiset esiintymälukumäärät (huiput V, särmät E, kasvot F ja solut C):

    • 5-cell (tunnetaan myös nimellä 4-simpleksi) — Schläfli {3,3,3}. Solut: 5 tetraedriä. V=5, E=10, F=10, C=5. (Itse-duaalinen.)
    • 8-cell (tesserakti, hyperkuutio) — Schläfli {4,3,3}. Solut: 8 kuutiota. V=16, E=32, F=24 (nelikulmioita), C=8. (Dualinen parinsa on 16-cell.)
    • 16-cell (ristipolytooppi, cross polytope) — Schläfli {3,3,4}. Solut: 16 tetraedriä. V=8, E=24, F=32, C=16. (Dualinen parinsa on tesserakti.)
    • 24-cell — Schläfli {3,4,3}. Solut: 24 oktaedria. V=24, E=96, F=96, C=24. Tämä on ainut säännöllinen 4-polytooppi, jolla ei ole suoraa Platonin kappaleen kolmiulotteista vastinetta; se on myös itse-duaalinen ja liittyy erityiseen symmetria-ryhmään F4.
    • 120-cell — Schläfli {5,3,3}. Solut: 120 dodekaedriä. V=600, E=1200, F=720, C=120. (Dualinen parinsa on 600-cell.)
    • 600-cell — Schläfli {3,3,5}. Solut: 600 tetraedriä. V=120, E=720, F=1200, C=600. (Dualinen parinsa on 120-cell; liittyy icosahedral-symmetriaan H4.)

    Dualisuus ja symmetria

    Neljäulotteisissa säännöllisissä polytoopeissa vallitsee dualisuus samalla tavalla kuin alemmissa dimensioissa: duali vaihtaa huipujen ja solujen määrät keskenään. Tästä seuraa dualiparit:

  • 5-cell on itse-duaalinen;
  • tesserakti (8-cell) ja 16-cell ovat toistensa dualeja;
  • 120-cell ja 600-cell ovat toistensa dualeja;
  • 24-cell on itse-duaalinen.
    • Symmetriaryhmät luokitellaan Coxeterin peiliryhmien mukaan: 5-cell liittyy A4-ryhmään, tesserakti/16-cell B4-ryhmään, 24-cell F4-ryhmään ja 120/600 H4-ryhmään.

    Perusominaisuuksia ja kaavat

    Säännöllisille 4-polytoopeille pätee Euler–Poincarén tyyppinen suhde pinnalle:

    V − E + F − C = 0

    Tämä on 4-ulotteinen vastaava kaavalle V − E + F = 2, joka tunnetaan kolmiulotteisissa komponenteissa. Lisäksi Schläfli-symboli antaa suoraan tiedon soluista ja siitä, kuinka monta solua kohtaa kutakin kasvoa (r).

    Käyttö ja havainnollistaminen

    Säännölliset 4-polytoopit ovat sekä teoreettisesti kiinnostavia että pedagogisesti hyviä esimerkkejä symmetriasta ja korkeampien ulottuvuuksien geometriasta. Niitä tutkitaan muun muassa ryhmäteorian, topologian ja geometrian yhteyksissä. Niitä voidaan visualisoida projisoimalla 4-ulotteinen rakenne kolmiulotteiseen tilaan tai tarkastelemalla karttapintaisia leikkauksia ja erikoisia koordinaattiesityksiä.

    Lyhyt historiallisuus

    Ludwig Schläfli teki perustavanlaatuiset luokittelutöiden 1800-luvulla ja osoitti, että convex säännöllisiä 4-polytooppeja on tasan kuusi. Myöhemmin luvun geometrien ja ryhmätutkijoiden työ on liittänyt nämä polytoopit selkeästi Coxeter-ryhmiin ja moniin nykyaikaisiin sovelluksiin.