Kovera säännöllinen 4-polytooppi

Matematiikassa kovera säännöllinen 4-polytooppi (tai polychoron) on 4-ulotteinen (4D) polytooppi, joka on sekä säännöllinen että kovera. Ne ovat Platonin kappaleiden (kolmiulotteiset) ja säännöllisten monikulmioiden (kaksiulotteiset) neliulotteisia vastineita.

Sveitsiläinen matemaatikko Ludwig Schläfli kuvasi nämä polytoopit ensimmäisen kerran 1800-luvun puolivälissä. Schläfli havaitsi, että tällaisia lukuja on täsmälleen kuusi. Viisi näistä voidaan ajatella Platonin kappaleiden korkeamman ulottuvuuden analogeiksi. Lisäksi on yksi luku (24-kenno), jolle ei ole kolmiulotteista vastinetta.

Jokaista kuperaa säännöllistä 4-polytooppia rajoittaa joukko 3-ulotteisia soluja, jotka ovat kaikki saman tyyppisiä ja kokoisia platonisia kiinteitä aineita. Nämä on sovitettu yhteen niiden pintoja pitkin säännöllisellä tavalla.

Ominaisuudet

Seuraavissa taulukoissa on lueteltu kuuden kuperan säännöllisen monikulmion ominaisuuksia. Näiden polykorien symmetriaryhmät ovat kaikki Coxeter-ryhmiä, ja ne esitetään kyseisessä artikkelissa kuvatulla merkintätavalla. Ryhmän nimen perässä oleva numero on ryhmän järjestys.

Nimet	Perhe	Schläfli symboli	Verteksit	Reunat	Kasvot	Solut	Vertex-luvut	Kaksoispolytooppi	Symmetriaryhmä
Pentachoron5-solupentatopehyperpyramidihypertetraedri4-simpleksi	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 kolmiot	5 tetraedrit	tetraedrit	(itse-duaalinen)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-soluhypercube4-kuutio	hyperkuutio (n-kuutio)	{4,3,3}	16	32	24 neliöt	8 kuutiot	tetraedrit	16-kennoinen	B₄	384
Hexadecachoron16-soluorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex	ristipolytooppi (n-ortopleksi)	{3,3,4}	8	24	32 kolmiot	16 tetraedrit	oktaedrit	tesserakti	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoktaedri		{3,4,3}	24	96	96 kolmiot	24 oktaedrit	kuutiot	(itse-duaalinen)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-soluinendodekaplexhyperdodekaedripolydodekaedri		{5,3,3}	600	1200	720 viisikulmioita	120 dodekaedrit	tetraedrit	600-kennoinen	H₄	14400
Hexacosichoron600-soluinentetraedrihyperikosaedripolytetraedri		{3,3,5}	120	720	1200 kolmiot	600 tetraedrit	icosahedra	120-kennoinen	H₄	14400

Koska jokaisen tällaisen kuvion raja vastaa topologisesti 3-palloa, jonka Eulerin ominaisarvo on nolla, meillä on Eulerin moniulotteisen kaavan 4-ulotteinen analogi:

N 0- N +1 N2 - N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

jossa N_k tarkoittaa polytoopin k-pintojen lukumäärää (huippu on 0-pinta, reuna on 1-pinta jne.).

Visualisoinnit

Seuraavassa taulukossa esitetään joitakin näiden polytooppien 2-ulotteisia projektioita. Erilaisia muita visualisointeja on saatavilla muilla alla olevilla verkkosivustoilla. Myös Coxeter-Dynkinin diagrammien kuvaajat on esitetty Schläfli-symbolin alapuolella.

5-kennoinen	8-kennoinen	16-kennoinen	24-kennoinen	120-kennoinen	600-kennoinen
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Petrie-polygonien sisällä olevat rautalankamaiset ortografiset projektiot.

Kiinteät ortografiset projektiot
tetraedrinen kuori (solu-/vertex-keskeinen)	kuutiomainen kirjekuori (solukeskitetty)	octahedralenvelope (vertex centered)	kuutioktaedrinen kuori (solukeskitetty)	typistetty rhombictriacontahedronikuori (solukeskitetty)	Pentakis-ikosidodekaedrinen kuori (huippukeskitetty)
Schlegelin rautalankakaaviot (perspektiiviprojektio)
(Solukeskeinen)	(Solukeskeinen)	(Solukeskeinen)	(Solukeskeinen)	(Solukeskeinen)	(Vertex-keskeinen)
Stereografiset rautalankaprojektiot (hypersfääriset)

Aiheeseen liittyvät sivut

Säännöllinen polytooppi
Platoninen kiinteä aine

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on kupera säännöllinen 4-polytooppi?

V: Kovera säännöllinen 4-polytooppi on 4-ulotteinen polytooppi, joka on sekä säännöllinen että kovera.

K: Mitkä ovat koverien säännöllisten 4-polytooppien analogit kolmessa ja kahdessa ulottuvuudessa?

V: Koverien säännöllisten 4-polyytooppien analogit kolmiulotteisina ovat platoniset kappaleet, kun taas kaksiulotteisina ne ovat säännöllisiä monikulmioita.

K: Kuka kuvasi ensimmäisenä kuperat säännölliset 4-polytoopit?

V: Sveitsiläinen matemaatikko Ludwig Schläfli kuvasi ensimmäisenä kuperat säännölliset 4-polyytoopit 1800-luvun puolivälissä.

Kysymys: Kuinka monta kuperaa säännöllistä 4-polytooppia on olemassa?

V: Kuperia säännöllisiä 4-polytooppeja on tasan kuusi.

Kysymys: Mikä on 24-soluisen polytoopin ainutlaatuinen piirre kuperien säännöllisten 4-polyytooppien joukossa?

V: 24-soluisella polytoopilla ei ole kolmiulotteista vastinetta kuperien säännöllisten 4-polytooppien joukossa.

Kysymys: Mitkä kolmiulotteiset solut rajoittavat kutakin kuperaa säännöllistä 4-polyytooppia?

V: Jokaista kuperaa säännöllistä 4-polytooppia rajoittaa joukko kolmiulotteisia soluja, jotka ovat kaikki saman tyyppisiä ja kokoisia platonisia kiinteitä aineita.

Kysymys: Miten 3-ulotteiset solut sopivat yhteen kuperassa säännöllisessä 4-polytoopissa?

V: Kolmiulotteiset solut sovitetaan toisiinsa kuperassa säännöllisessä 4-polyytopissa säännönmukaisesti niiden pintoja pitkin.