Yhteneväisyys (kongruenssi) geometriassa — määritelmä ja esimerkit
Ymmärrä yhteneväisyys (kongruenssi) geometriassa: selkeä määritelmä, käytännön esimerkit ja piirrosohjeet siirroista, kierroista ja peilauksista.
Geometriassa kaksi kuviota tai esinettä ovat yhteneväisiä, jos ne ovat muodoltaan ja kooltaan samanlaisia niin, että toinen voidaan saada täsmälleen toisen päälle käyttämällä vain jäykkiä liikkeitä (eli ilman koon muuttamista). Toinen voi olla myös toisen peilikuvana. Muodollisemmin kahta pistejoukkoa kutsutaan yhteneväksi, jos ja vain jos toinen voidaan muuttaa toiseksi isometrian avulla.
Mitä isometria ja jäykät liikkeet tarkoittavat
Isometria on muunnos, joka säilyttää etäisyydet ja kulmat. Tällaisia muunnoksia ovat esimerkiksi:
- siirto (translation),
- kääntö eli rotaatio (rotation),
- heijastus eli peilaus (reflection),
- liukukäännös eli glidipeilaus (glide reflection), joka on heijauksen ja siirron yhdistelmä.
Nämä muunnokset eivät venytä tai purista kuvaa; siksi niitä kutsutaan "jäykiksi liikkeiksi". Heijastus kääntää kuvion suuntaisuuden (orientaation), kun taas siirrot ja pyöritykset säilyttävät sen.
Perusominaisuudet ja merkintä
- Yhtenevät kappaleet säilyttävät kaikki etäisyydet ja kulmat: vastaavat sivut ovat yhtä pitkiä ja vastaavat kulmat yhtäsuuria.
- Yhtenevyys merkitään usein symbolilla ≅ (esim. △ABC ≅ △DEF).
- Jos toisen kappaleen kokoa täytyy muuttaa, kappaleet eivät ole yhteneviä vaan samankaltaisia (similar): samankaltaisuus sallii skaalaamisen.
Yhtenevyyskriteerit kolmioille
Kolmioiden yhtenevyyden todistamiseen yleisesti käytetyt säännöt ovat:
- SSS (sivu-sivu-sivu): kaikki kolmen sivun pituudet vastaavat toisiaan;
- SAS (sivu-kulma-sivu): kaksi sivua ja niiden välinen kulma vastaavat;
- ASA (kulma-sivu-kulma): kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu vastaavat;
- AAS (kulma-kulma-sivu): kaksi kulmaa ja jokin vastaava sivu vastaavat;
- RHS / HL (oikioinen kolmio): suorakulmaisten kolmioiden hypotenuusan ja yhden kateetin pituus vastaavat.
Näillä säännöillä voidaan varmistaa, että vastaavat kulmat ja sivut ovat pariteltavissa ja siten muodostuu isometria, joka siirtää toisen kolmion täsmälleen toisen päälle.
Monikulmiot ja muut muodot
Polygoneista (esimerkiksi monikulmiot) kaksi monikulmiota ovat yhteneviä, jos niiden sivujen määrä on sama ja niille löytyy sellainen kärkiparitus, että vastaavat sivut ovat yhtä pitkiä ja vastaavat kulmat yhtäsuuria. Säännölliset monikulmiot samalla sivunpituudella ovat siis yhteneviä riippumatta siitä, miten ne on käännetty tai siirretty.
Esimerkkejä käytännössä
- Kaksi suorakulmaista paperisuikaletta, joiden mitat ovat 5 cm × 3 cm, ovat yhteneviä riippumatta siitä, onko toinen käännetty tai käännetty ympäri.
- Kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5 yksikköä, on yhtenevä minkä tahansa toisen 3–4–5 kolmion kanssa (SSS-kriteeri): kyseessä on suorakulmainen kolmio.
- Jos paperilla on kaksi hahmoa, ja ne voidaan leikata irti ja sovittaa täydellisesti päällekkäin (paperin kääntäminen eli peilaus sallittuna), ne ovat yhteneviä.
Yhtenevyys avaruudessa ja orientaatio
Yhtenevyys ei rajoitu tasoon: avaruudelliset kappaleet (esimerkiksi polyedrit) voivat olla yhteneviä, kun niiden välillä on avaruusisometria (siirto, rotaatio tai heijastus avaruudessa). Huomaa, että heijastus muuttaa orientaation, mikä tekee peilikuvat erillisiksi orientaation kannalta, mutta ne ovat silti yhteneviä geometrisessa mielessä.
Käytännön huomioita
- Kun todistat yhtenevyyttä, määrittele selkeästi vastaavuus: mikä kärki vastaa mitäkin kärkeä ja mikä sivu vastaa mitäkin sivua; ilman tätä pareittelu voi olla epäselvää.
- Yhtenevyys säilyttää myös muita mittaominaisuuksia, kuten halkaisijat, keskikohdat ja etäisyyksien suhteet (täydellinen etäisyyksien säilyminen).
Yhteenvetona: kaksi geometriaobjektia ovat yhteneviä, jos toinen voidaan siirtää, kiertää tai heijastaa (tai näiden yhdistelmä) niin, että ne asettuvat täsmälleen päällekkäin. Jos kuvion kokoa on muutettava, kyse on enää samankaltaisuudesta, ei yhtenevyydestä.
Esimerkki kongruenssista. Vasemmalla olevat kaksi kolmiota ovat yhteneviä, ja kolmas on niiden kaltainen. Viimeinen kolmio ei ole samankaltainen eikä yhtenevä minkään muun kanssa. Huomaa, että kongruenssi sallii joidenkin ominaisuuksien, kuten sijainnin ja suunnan, muuttamisen, mutta jättää toiset ominaisuudet, kuten etäisyyden ja kulmien, ennalleen. Muuttumattomia ominaisuuksia kutsutaan invarianteiksi.
Esimerkkejä
- kaikki neliöt, joiden sivujen pituus on sama, ovat yhteneväisiä.
- kaikki tasasivuiset kolmiot, joiden sivujen pituus on sama, ovat yhteneväisiä.
Kongruenssitestit
- Kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu ovat samat kahdessa kolmiossa (ASA-kongruenssi).
- Kaksi kulmaa ja sivu, joka ei ole niiden välissä, ovat samat molemmissa kolmioissa (AAS-kongruenssi).
- Molempien kolmioiden kaikki kolme sivua ovat samat (SSS-kongruenssi).
- kaksi sivua ja niiden välinen kulma tekee 2 kolmiota yhteneviksi (SAS-kongruenssi).
Miten saamme uusia yhteneviä muotoja?
Meillä on melko paljon mahdollisuuksia ja muutamia sääntöjä, joiden avulla voimme tehdä uusista muodoista alkuperäisen kanssa yhteneviä.
- Jos siirretään geomentaalista muotoa tasossa, saadaan muoto, joka on kongruentti alkuperäisen kanssa.
- Jos siirron sijasta pyöritämme, saamme myös muodon, joka on yhteneväinen alkuperäisen kanssa.
- Vaikka ottaisimme alkuperäisen muodon peilikuvan, saisimme silti yhtenevän muodon.
- Jos yhdistämme nämä kolme toimintoa peräkkäin, saamme edelleen yhteneväisiä muotoja.
- Kongruentteja muotoja ei enää ole. Tarkemmin sanottuna tämä tarkoittaa sitä, että jos jokin muoto on yhteneväinen alkuperäisen kanssa, se voidaan saavuttaa edellä kuvatuilla kolmella toiminnolla.
Suhteella, jonka mukaan muoto on yhtenevä toisen muodon kanssa, on kolme kuuluisaa ominaisuutta.
- Jos jätämme alkuperäisen muodon alkuperäiselle paikalleen, se on yhtenevä itsensä kanssa. Tätä käyttäytymistä, tätä ominaisuutta kutsutaan refleksiivisyydeksi.
Jos esimerkiksi edellä esitetty siirto ei ole varsinainen siirto, vaan ainoastaan siirto, joka tekee nollan pituisen liikkeen. Tai vastaavasti, jos yllä oleva kierto ei ole varsinainen kierto, vaan ainoastaan kierto, jonka kulma on nolla.
- Jos muoto on yhteneväinen toisen muodon kanssa, myös tämä toinen muoto on yhteneväinen alkuperäisen kanssa. Tätä käyttäytymistä, tätä ominaisuutta kutsutaan symmetriaksi.
Jos esimerkiksi siirretään tai käännetään tai peilataan uutta muotoa takaisin alkuperäiseen, alkuperäinen muoto on yhtenevä uuden kanssa.
- Jos muoto C on yhteneväinen muodon B kanssa ja muoto B on yhteneväinen alkuperäisen muodon A kanssa, myös muoto C on yhteneväinen alkuperäisen muodon A kanssa. Tätä käyttäytymistä, tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi.
Jos esimerkiksi ensin siirretään ja sitten kierretään, uusi muoto on edelleen yhteneväinen alkuperäisen kanssa.
Nämä kolme kuuluisaa ominaisuutta, refleksiivisyys, symmetria ja transitiivisuus, muodostavat yhdessä ekvivalenssin käsitteen. Ominaisuus kongruenssi on siis eräänlainen vastaavuussuhde tason muotojen välillä.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mitä tarkoittaa, että kaksi lukua on yhtenevä geometrisesti?
V: Kaksi kuviota on geometriassa yhteneväisiä, jos ne ovat samanmuotoisia ja -kokoisia tai jos toinen niistä on samanmuotoinen ja -kokoinen kuin toisen peilikuvana.
K: Miten kahta pistejoukkoa kutsutaan yhteneväksi?
V: Kahta pistejoukkoa kutsutaan yhteneväksi, jos ja vain jos toinen voidaan muuttaa toiseksi isometrian avulla.
K: Mihin jäykkiä liikkeitä käytetään isometriassa?
V: Jäykkiä liikkeitä käytetään isometriassa geometristen hahmojen uudelleen sijoittamiseen, kääntämiseen tai heijastamiseen ilman niiden koon muuttamista, jotta ne olisivat täsmälleen yhteneväiset muiden kohteiden kanssa.
K: Voiko kaksi figuuria olla yhteneviä, jos toisen niistä on muutettava kokoaan, jotta ne osuisivat yhteen toisen kanssa?
V: Ei, jos toisen kappaleen kokoa on muutettava, jotta se osuisi yksiin toisen kappaleen kanssa, nämä kaksi kappaletta eivät ole yhteneviä, mutta niitä kutsutaan samankaltaisiksi.
K: Mitä voimme sanoa kahden paperilla olevan eri tasokuvion yhteneväisyydestä?
V: Kaksi erillistä tasokuviota paperilla on yhteneviä, jos voimme leikata ne irti ja sovittaa ne sitten täysin yhteen kääntämällä paperia tarvittaessa.
K: Mitä ovat yhtenevät monikulmiot?
V: Yhdenmuotoiset monikulmiot ovat monikulmioita, jotka voidaan taittaa kahtia ja muodostaa toinen säännöllinen monikulmio, joka on myös yhdenmuotoinen.
Kysymys: Millä kriteerillä kahta kohdetta voidaan geometriassa kutsua yhteneväksi?
V: Geometriassa kaksi kohdetta voidaan kutsua yhteneväisiksi sillä perusteella, että toista kohdetta voidaan siirtää, kääntää tai heijastaa niin, että se on täsmälleen yhtenevä toisen kohteen kanssa ilman, että sen koko muuttuu.
Etsiä