Geometriassa kaksi kuviota tai esinettä ovat yhteneväisiä, jos ne ovat muodoltaan ja kooltaan samanlaisia niin, että toinen voidaan saada täsmälleen toisen päälle käyttämällä vain jäykkiä liikkeitä (eli ilman koon muuttamista). Toinen voi olla myös toisen peilikuvana. Muodollisemmin kahta pistejoukkoa kutsutaan yhteneväksi, jos ja vain jos toinen voidaan muuttaa toiseksi isometrian avulla.

Mitä isometria ja jäykät liikkeet tarkoittavat

Isometria on muunnos, joka säilyttää etäisyydet ja kulmat. Tällaisia muunnoksia ovat esimerkiksi:

  • siirto (translation),
  • kääntö eli rotaatio (rotation),
  • heijastus eli peilaus (reflection),
  • liukukäännös eli glidipeilaus (glide reflection), joka on heijauksen ja siirron yhdistelmä.

Nämä muunnokset eivät venytä tai purista kuvaa; siksi niitä kutsutaan "jäykiksi liikkeiksi". Heijastus kääntää kuvion suuntaisuuden (orientaation), kun taas siirrot ja pyöritykset säilyttävät sen.

Perusominaisuudet ja merkintä

  • Yhtenevät kappaleet säilyttävät kaikki etäisyydet ja kulmat: vastaavat sivut ovat yhtä pitkiä ja vastaavat kulmat yhtäsuuria.
  • Yhtenevyys merkitään usein symbolilla ≅ (esim. △ABC ≅ △DEF).
  • Jos toisen kappaleen kokoa täytyy muuttaa, kappaleet eivät ole yhteneviä vaan samankaltaisia (similar): samankaltaisuus sallii skaalaamisen.

Yhtenevyyskriteerit kolmioille

Kolmioiden yhtenevyyden todistamiseen yleisesti käytetyt säännöt ovat:

  • SSS (sivu-sivu-sivu): kaikki kolmen sivun pituudet vastaavat toisiaan;
  • SAS (sivu-kulma-sivu): kaksi sivua ja niiden välinen kulma vastaavat;
  • ASA (kulma-sivu-kulma): kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu vastaavat;
  • AAS (kulma-kulma-sivu): kaksi kulmaa ja jokin vastaava sivu vastaavat;
  • RHS / HL (oikioinen kolmio): suorakulmaisten kolmioiden hypotenuusan ja yhden kateetin pituus vastaavat.

Näillä säännöillä voidaan varmistaa, että vastaavat kulmat ja sivut ovat pariteltavissa ja siten muodostuu isometria, joka siirtää toisen kolmion täsmälleen toisen päälle.

Monikulmiot ja muut muodot

Polygoneista (esimerkiksi monikulmiot) kaksi monikulmiota ovat yhteneviä, jos niiden sivujen määrä on sama ja niille löytyy sellainen kärkiparitus, että vastaavat sivut ovat yhtä pitkiä ja vastaavat kulmat yhtäsuuria. Säännölliset monikulmiot samalla sivunpituudella ovat siis yhteneviä riippumatta siitä, miten ne on käännetty tai siirretty.

Esimerkkejä käytännössä

  • Kaksi suorakulmaista paperisuikaletta, joiden mitat ovat 5 cm × 3 cm, ovat yhteneviä riippumatta siitä, onko toinen käännetty tai käännetty ympäri.
  • Kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5 yksikköä, on yhtenevä minkä tahansa toisen 3–4–5 kolmion kanssa (SSS-kriteeri): kyseessä on suorakulmainen kolmio.
  • Jos paperilla on kaksi hahmoa, ja ne voidaan leikata irti ja sovittaa täydellisesti päällekkäin (paperin kääntäminen eli peilaus sallittuna), ne ovat yhteneviä.

Yhtenevyys avaruudessa ja orientaatio

Yhtenevyys ei rajoitu tasoon: avaruudelliset kappaleet (esimerkiksi polyedrit) voivat olla yhteneviä, kun niiden välillä on avaruusisometria (siirto, rotaatio tai heijastus avaruudessa). Huomaa, että heijastus muuttaa orientaation, mikä tekee peilikuvat erillisiksi orientaation kannalta, mutta ne ovat silti yhteneviä geometrisessa mielessä.

Käytännön huomioita

  • Kun todistat yhtenevyyttä, määrittele selkeästi vastaavuus: mikä kärki vastaa mitäkin kärkeä ja mikä sivu vastaa mitäkin sivua; ilman tätä pareittelu voi olla epäselvää.
  • Yhtenevyys säilyttää myös muita mittaominaisuuksia, kuten halkaisijat, keskikohdat ja etäisyyksien suhteet (täydellinen etäisyyksien säilyminen).

Yhteenvetona: kaksi geometriaobjektia ovat yhteneviä, jos toinen voidaan siirtää, kiertää tai heijastaa (tai näiden yhdistelmä) niin, että ne asettuvat täsmälleen päällekkäin. Jos kuvion kokoa on muutettava, kyse on enää samankaltaisuudesta, ei yhtenevyydestä.