Kongruenssi
Geometriassa kaksi kuviota tai esinettä ovat yhteneväisiä, jos ne ovat muodoltaan ja kooltaan samanlaisia. Myös silloin, kun toinen on muodoltaan ja kooltaan sama kuin toisen peilikuvana.
Muodollisemmin kahta pistejoukkoa kutsutaan yhteneväksi, jos ja vain jos toinen voidaan muuttaa toiseksi isometrian avulla. Isometriaan käytetään jäykkiä liikkeitä.
Tämä tarkoittaa, että yhtä objektia voidaan sijoittaa ja heijastaa (mutta ei muuttaa sen kokoa) niin, että se on täsmälleen samassa kohdassa toisen objektin kanssa. Kaksi erillistä tasokuviota paperilla ovat siis yhteneviä, jos voimme leikata ne irti ja sovittaa ne sitten täysin yhteen. Paperin kääntäminen on sallittua.
Yhdenmuotoiset monikulmiot ovat monikulmioita, jotka ovat yhdenmuotoisia monikulmioita, jos säännöllinen monikulmio taitetaan kahtia.
Kaksi geometrista muotoa on yhtenevä, jos toista voidaan siirtää tai kiertää niin, että se sopii täsmälleen toisen muotoon. Jos jommankumman kappaleen kokoa on muutettava, nämä kaksi kappaletta eivät ole yhteneviä: niitä kutsutaan vain samankaltaisiksi.
Jos kaksi kuviota tai esinettä ovat yhteneväisiä, niillä on sama muoto ja koko, mutta niitä voidaan kääntää, siirtää, peilata (heijastaa) tai kääntää niin, että ne sopivat täsmälleen sinne, missä toinenkin on.
Esimerkki kongruenssista. Vasemmalla olevat kaksi kolmiota ovat yhteneviä, ja kolmas on niiden kaltainen. Viimeinen kolmio ei ole samankaltainen eikä yhtenevä minkään muun kanssa. Huomaa, että kongruenssi sallii joidenkin ominaisuuksien, kuten sijainnin ja suunnan, muuttamisen, mutta jättää toiset ominaisuudet, kuten etäisyyden ja kulmien, ennalleen. Muuttumattomia ominaisuuksia kutsutaan invarianteiksi.
Esimerkkejä
- kaikki neliöt, joiden sivujen pituus on sama, ovat yhteneväisiä.
- kaikki tasasivuiset kolmiot, joiden sivujen pituus on sama, ovat yhteneväisiä.
Kongruenssitestit
- Kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu ovat samat kahdessa kolmiossa (ASA-kongruenssi).
- Kaksi kulmaa ja sivu, joka ei ole niiden välissä, ovat samat molemmissa kolmioissa (AAS-kongruenssi).
- Molempien kolmioiden kaikki kolme sivua ovat samat (SSS-kongruenssi).
- kaksi sivua ja niiden välinen kulma tekee 2 kolmiota yhteneviksi (SAS-kongruenssi).
Miten saamme uusia yhteneviä muotoja?
Meillä on melko paljon mahdollisuuksia ja muutamia sääntöjä, joiden avulla voimme tehdä uusista muodoista alkuperäisen kanssa yhteneviä.
- Jos siirretään geomentaalista muotoa tasossa, saadaan muoto, joka on kongruentti alkuperäisen kanssa.
- Jos siirron sijasta pyöritämme, saamme myös muodon, joka on yhteneväinen alkuperäisen kanssa.
- Vaikka ottaisimme alkuperäisen muodon peilikuvan, saisimme silti yhtenevän muodon.
- Jos yhdistämme nämä kolme toimintoa peräkkäin, saamme edelleen yhteneväisiä muotoja.
- Kongruentteja muotoja ei enää ole. Tarkemmin sanottuna tämä tarkoittaa sitä, että jos jokin muoto on yhteneväinen alkuperäisen kanssa, se voidaan saavuttaa edellä kuvatuilla kolmella toiminnolla.
Suhteella, jonka mukaan muoto on yhtenevä toisen muodon kanssa, on kolme kuuluisaa ominaisuutta.
- Jos jätämme alkuperäisen muodon alkuperäiselle paikalleen, se on yhtenevä itsensä kanssa. Tätä käyttäytymistä, tätä ominaisuutta kutsutaan refleksiivisyydeksi.
Jos esimerkiksi edellä esitetty siirto ei ole varsinainen siirto, vaan ainoastaan siirto, joka tekee nollan pituisen liikkeen. Tai vastaavasti, jos yllä oleva kierto ei ole varsinainen kierto, vaan ainoastaan kierto, jonka kulma on nolla.
- Jos muoto on yhteneväinen toisen muodon kanssa, myös tämä toinen muoto on yhteneväinen alkuperäisen kanssa. Tätä käyttäytymistä, tätä ominaisuutta kutsutaan symmetriaksi.
Jos esimerkiksi siirretään tai käännetään tai peilataan uutta muotoa takaisin alkuperäiseen, alkuperäinen muoto on yhtenevä uuden kanssa.
- Jos muoto C on yhteneväinen muodon B kanssa ja muoto B on yhteneväinen alkuperäisen muodon A kanssa, myös muoto C on yhteneväinen alkuperäisen muodon A kanssa. Tätä käyttäytymistä, tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi.
Jos esimerkiksi ensin siirretään ja sitten kierretään, uusi muoto on edelleen yhteneväinen alkuperäisen kanssa.
Nämä kolme kuuluisaa ominaisuutta, refleksiivisyys, symmetria ja transitiivisuus, muodostavat yhdessä ekvivalenssin käsitteen. Ominaisuus kongruenssi on siis eräänlainen vastaavuussuhde tason muotojen välillä.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mitä tarkoittaa, että kaksi lukua on yhtenevä geometrisesti?
V: Kaksi kuviota on geometriassa yhteneväisiä, jos ne ovat samanmuotoisia ja -kokoisia tai jos toinen niistä on samanmuotoinen ja -kokoinen kuin toisen peilikuvana.
K: Miten kahta pistejoukkoa kutsutaan yhteneväksi?
V: Kahta pistejoukkoa kutsutaan yhteneväksi, jos ja vain jos toinen voidaan muuttaa toiseksi isometrian avulla.
K: Mihin jäykkiä liikkeitä käytetään isometriassa?
V: Jäykkiä liikkeitä käytetään isometriassa geometristen hahmojen uudelleen sijoittamiseen, kääntämiseen tai heijastamiseen ilman niiden koon muuttamista, jotta ne olisivat täsmälleen yhteneväiset muiden kohteiden kanssa.
K: Voiko kaksi figuuria olla yhteneviä, jos toisen niistä on muutettava kokoaan, jotta ne osuisivat yhteen toisen kanssa?
V: Ei, jos toisen kappaleen kokoa on muutettava, jotta se osuisi yksiin toisen kappaleen kanssa, nämä kaksi kappaletta eivät ole yhteneviä, mutta niitä kutsutaan samankaltaisiksi.
K: Mitä voimme sanoa kahden paperilla olevan eri tasokuvion yhteneväisyydestä?
V: Kaksi erillistä tasokuviota paperilla on yhteneviä, jos voimme leikata ne irti ja sovittaa ne sitten täysin yhteen kääntämällä paperia tarvittaessa.
K: Mitä ovat yhtenevät monikulmiot?
V: Yhdenmuotoiset monikulmiot ovat monikulmioita, jotka voidaan taittaa kahtia ja muodostaa toinen säännöllinen monikulmio, joka on myös yhdenmuotoinen.
Kysymys: Millä kriteerillä kahta kohdetta voidaan geometriassa kutsua yhteneväksi?
V: Geometriassa kaksi kohdetta voidaan kutsua yhteneväisiksi sillä perusteella, että toista kohdetta voidaan siirtää, kääntää tai heijastaa niin, että se on täsmälleen yhtenevä toisen kohteen kanssa ilman, että sen koko muuttuu.
