Vakiofunktio: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkkejä
Vakiofunktiot selkokielellä: määritelmä, keskeiset ominaisuudet ja havainnollistavat esimerkit matematiikassa.
Matematiikassa vakiofunktio on funktio, jonka lähtöarvo on sama jokaiselle tuloarvolle. Esimerkiksi funktio y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}
on vakiofunktio, koska y ( x ) {\displaystyle y(x)} arvo 
on 4 riippumatta tuloarvosta x {\displaystyle x}
(katso kuva).
Määritelmä ja esimerkkejä
Yleisesti: jos A on mikä tahansa joukko ja c on kiinteä arvo, niin funktio f: A → B määritellään vakiofunktiona jos f(x) = c kaikilla x ∈ A. Tässä B sisältää arvon c.
- Esimerkki 1: f(x) = 4, x ∈ ℝ.
- Esimerkki 2: g(x) = 0 on nollafunktio, joka on vakiofunktio.
- Esimerkki 3: h(x) = π määrittelee vakiofunktion riippumatta siitä onko domain reaalilukuja, kokonaislukuja tai jotain muuta joukkoa.
Graafinen esitys
Reaaliarvoisella funktiolla f: ℝ → ℝ vakiofunktion graafi on vaakasuora suora y = c koko määrittelyjoukossa. Tämä kuva auttaa tunnistamaan vakiofunktion nopeasti.
Tärkeimmät ominaisuudet
- Arvojoukko: arvojoukko on yksittäinen piste {c} (tai sisällytetty tarkkaan valittuun koodomainiin).
- Kontinuitetti: vakiofunktio on jatkuva (ja jopa yhtenäisesti jatkuva) kaikilla pisteillä.
- Derivaatta: jos f on vakio reaalifunktio, niin f′(x) = 0 kaikilla x, eli vakiofunktio on vakio derivaatan suhteen.
- Integraali: määrätyn välin [a,b] yli integraali ∫_a^b c dx = c(b − a). Epämääräinen integraali on ∫ c dx = cx + C.
- Polynomi: vakiofunktio on polynomi, yleensä sanotaan asteeksi 0 (poikkeuksena nollafunktio, jonka astetta ei aina määritellä samalla tavalla).
- Tasapainoisuudet: summa, tulo tai skalaarikerroin vakiofunktiosta tuottaa edelleen vakiofunktion (esim. c1 + c2, c·c2).
- Preimage (alkukuva): arvon c preimage f^{-1}({c}) on koko määrittelyjoukko; minkään muun arvon preimage on tyhjä.
Injektiivisyys, surjektiivisyys ja bijektiivisyys
- Vakiofunktio ei ole injektiivinen, paitsi triviaalitapauksessa kun määrittelyjoukko sisältää vain yhden pisteen — silloin se on yksi-yhteen.
- Vakiofunktio on surjektiivinen vain jos kodomain on täsmälleen {c} (eli kodomain koostuu ainoastaan tästä yhdestä arvosta).
- Tästä seuraa, että bijektio (yksi-yhteen ja onto) on vakiofunktio vain, jos sekä määrittely- että maalijoukko ovat yksielementtisiä ja arvo vastaa tätä elementtiä.
Algebrallinen ja vektoriavaruusnäkökulma
Kaikki vakiofunktion muodostamat funktiot muodostavat lineaarialgebran vektoriavaruuden osajoukon funktioavaruudessa. Ne muodostavat yhdenulotteisen alkeisavaruuden, jonka kannaksi voidaan valita esimerkiksi konstandifunktio 1 (x → 1). Tämä tarkoittaa, että jokainen vakiofunktio c voidaan esittää muodossa c·1.
Kokoelman ja koostumusten käyttäytyminen
- Jos f on vakiofunktio, niin yhdistetty funktio g ∘ f on vakio: (g ∘ f)(x) = g(c) kaikilla x (edellyttäen että g on määritelty kohdassa c).
- Jos g on vakio, niin f ∘ g on vakio (jos f on määritelty g:n arvolle).
Sovelluksia ja merkitys
Vakiofunktiot toimivat usein vertailukohtina ja perustiloina matemaattisissa malleissa ja analyysissä. Ne kuvaavat tilanteita, joissa suure ei muutu ajan tai sijainnin mukana, ja niitä käytetään lähtöarvoina differentiaaliyhtälöissä, raja-arvojen ja ominaisuuksien tutkimisessa sekä numeerisissa testeissä. Myös signaalikäsittelyssä vakio (offset) on tavallinen käsite.
Yhteenveto
Vakiofunktio on yksinkertaisin mahdollinen funktio: kaikissa pisteissä sama arvo. Siihen liittyy monia selkeitä ominaisuuksia (jatkuvuus, nolla-derivaatta, yksipisteinen arvojoukko) ja se toimii perustana monille matemaattisille konstruktiolle ja sovelluksille.
Vakiofunktio y=4
Perusominaisuudet
Muodollisesti vakiofunktio f(x):R→R on muotoa f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c}
. Yleensä kirjoitetaan y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} 
tai vain y = c {\displaystyle y=c}
.
- Funktiossa y=c on kaksi muuttujaa x ja у ja yksi vakio c. (Tässä funktiomuodossa emme näe x:ää, mutta se on olemassa.)
- Vakio c on reaaliluku. Ennen kuin työskentelemme lineaarisen funktion kanssa, korvaamme c:n todellisella luvulla.
- Y=c:n toimialue tai syöttöalue on R, joten mikä tahansa reaaliluku x voidaan syöttää. Tuloksena on kuitenkin aina arvo c.
- Myös y=c:n alue on R. Koska tuloste on kuitenkin aina c:n arvo, kaava-alue on vain c.
Esimerkki: Funktio y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} tai vain y = 4 {\displaystyle y=4}
on erityinen vakiofunktio, jonka lähtöarvo on c = 4 {\displaystyle c=4}
. Alue on kaikki reaaliluvut ℝ. Koodialue on vain {4}. Nimittäin y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,..... Riippumatta siitä, mikä x:n arvo syötetään, tuloksena on "4".
- Vakiofunktion y = c kuvaaja {\displaystyle y=c} on vaakasuora viiva tasossa, joka kulkee pisteen ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)}
kautta. - Jos c≠0, vakiofunktio y=c on nolla-asteinen polynomi yhdessä muuttujassa x.
- Tämän funktion y-piste on piste (0,c).
- Tällä funktiolla ei ole x-suuntaista leikkauspistettä. Toisin sanoen sillä ei ole juurta tai nollaa. Se ei koskaan ylitä x-akselia.
- Jos c=0, on y=0. Tämä on nollapolynomi tai identtinen nollafunktio. Jokainen reaaliluku x on sen juuri. Y=0:n kuvaaja on tason x-akseli.
- Vakiofunktio on parillinen funktio, joten y-akseli on jokaisen vakiofunktion symmetria-akseli.
Vakiofunktion derivaatta
Siinä yhteydessä, jossa se on määritelty, funktion derivaatta mittaa funktion (lähtö)arvojen muutosnopeutta suhteessa tuloarvojen muutokseen. Vakiofunktio ei muutu, joten sen derivaatta on 0. Tämä kirjoitetaan usein: ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} 
Esimerkki: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}
on vakiofunktio. Y:n derivaatta on identtisesti nolla funktio y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} 
Myös käänteinen (päinvastainen) on totta. Toisin sanoen, jos funktion derivaatta on kaikkialla nolla, funktio on vakiofunktio.
Matemaattisesti kirjoitamme nämä kaksi lauseketta:
y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\,\Vasemmanpuoleinen nuolinäppäin \,\,\,\,\,y'(x)=0\,,,\,\,\,\,\kaikkien x\in \mathbb {R} } } 
Yleistäminen
Funktio f : A → B on vakiofunktio, jos f(a) = f(b) jokaiselle a:lle ja b:lle A:ssa.
Esimerkkejä
Todellinen esimerkki: Kauppa, jossa jokainen tuote myydään 1 eurolla. Tämän funktion toimialue on myymälässä olevat tuotteet. Yhteisalue on 1 euro.
Esimerkki: Olkoon f : A → B, jossa A={X,Y,Z,W} ja B={1,2,3} ja f(a)=3 jokaiselle a∈A. Tällöin f on vakiofunktio.
Esimerkki: z(x,y)=2 on vakiofunktio pisteestä A=ℝ² pisteeseen B=ℝ, jossa jokainen piste (x,y)∈ℝ² vastaa arvoa z=2. Tämän vakiofunktion kuvaaja on kolmiulotteisessa avaruudessa vaakataso (x0y-tason suuntainen), joka kulkee pisteen (0,0,2) kautta.
Esimerkki: ρ(φ)=2,5 on vakiofunktio, joka kuvaa jokaisen kulman φ säteen ρ=2,5. Tämän funktion kuvaaja on ympyrä, jonka säde on 2,5 tasossa.
|
|
|
|
Muut ominaisuudet
Vakiofunktioilla on muitakin ominaisuuksia. Katso vakiofunktio englanninkielisessä Wikipediassa
Aiheeseen liittyvät sivut
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mikä on vakiofunktio?
V: Vakiofunktio on funktio, jonka lähtöarvo pysyy samana jokaisella tuloarvolla.
K: Voitko antaa esimerkin vakiofunktiosta?
V: Kyllä, esimerkki vakiofunktiosta olisi y(x) = 4, jossa y(x):n arvo on aina 4 riippumatta tuloarvosta x.
Kysymys: Mistä voi päätellä, onko jokin funktio vakiofunktio?
V: Voit sanoa, onko funktio vakiofunktio, katsomalla, pysyykö sen lähtöarvo samana jokaisella tuloarvolla.
K: Mitä tarkoittaa, kun sanotaan, että "y(x)=4" suhteessa vakiofunktioihin?
V: Kun sanomme, että "y(x)=4", se tarkoittaa, että y(x):n lähtöarvo on aina 4 riippumatta siitä, mikä on tuloarvo x.
K: Voiko mitenkään havainnollistaa, miltä vakiofunktio näyttää?
V: Kyllä, yksi tapa havainnollistaa, miltä vakiofunktio näyttää, on kuva tai kuvaaja.
K: Muuttuuko lähtöarvo vakiofunktioiden syötteestä riippuen?
V: Ei, vakiofunktioissa ulostulo ei muutu syötteen mukaan.
Etsiä