Vakiofunktio

Matematiikassa vakiofunktio on funktio, jonka lähtöarvo on sama jokaiselle tuloarvolle. Esimerkiksi funktio y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} $y(x)=4$ on vakiofunktio, koska y ( x ) {\displaystyle y(x)} arvo $y(x)$ on 4 riippumatta tuloarvosta x {\displaystyle x} (katso kuva).

Vakiofunktio y=4

Perusominaisuudet

Muodollisesti vakiofunktio f(x):R→R on muotoa f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} $f(x)=c$ . Yleensä kirjoitetaan y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} $y(x)=c$ tai vain y = c {\displaystyle y=c} $y=c$ .

Funktiossa y=c on kaksi muuttujaa x ja у ja yksi vakio c. (Tässä funktiomuodossa emme näe x:ää, mutta se on olemassa.)

Vakio c on reaaliluku. Ennen kuin työskentelemme lineaarisen funktion kanssa, korvaamme c:n todellisella luvulla.
Y=c:n toimialue tai syöttöalue on R, joten mikä tahansa reaaliluku x voidaan syöttää. Tuloksena on kuitenkin aina arvo c.
Myös y=c:n alue on R. Koska tuloste on kuitenkin aina c:n arvo, kaava-alue on vain c.

Esimerkki: Funktio y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} $y(x)=4$ tai vain y = 4 {\displaystyle y=4} $y=4$ on erityinen vakiofunktio, jonka lähtöarvo on c = 4 {\displaystyle c=4} $c=4$ . Alue on kaikki reaaliluvut ℝ. Koodialue on vain {4}. Nimittäin y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,..... Riippumatta siitä, mikä x:n arvo syötetään, tuloksena on "4".

Vakiofunktion y = c kuvaaja {\displaystyle y=c} $y=c$ on vaakasuora viiva tasossa, joka kulkee pisteen ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} $(0,c)$ kautta.
Jos c≠0, vakiofunktio y=c on nolla-asteinen polynomi yhdessä muuttujassa x.

Tämän funktion y-piste on piste (0,c).
Tällä funktiolla ei ole x-suuntaista leikkauspistettä. Toisin sanoen sillä ei ole juurta tai nollaa. Se ei koskaan ylitä x-akselia.

Jos c=0, on y=0. Tämä on nollapolynomi tai identtinen nollafunktio. Jokainen reaaliluku x on sen juuri. Y=0:n kuvaaja on tason x-akseli.
Vakiofunktio on parillinen funktio, joten y-akseli on jokaisen vakiofunktion symmetria-akseli.

Vakiofunktion derivaatta

Siinä yhteydessä, jossa se on määritelty, funktion derivaatta mittaa funktion (lähtö)arvojen muutosnopeutta suhteessa tuloarvojen muutokseen. Vakiofunktio ei muutu, joten sen derivaatta on 0. Tämä kirjoitetaan usein: ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} $(c)'=0$

Esimerkki: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}} $y(x)=-{\sqrt {2}}$ on vakiofunktio. Y:n derivaatta on identtisesti nolla funktio y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} $y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0$

Myös käänteinen (päinvastainen) on totta. Toisin sanoen, jos funktion derivaatta on kaikkialla nolla, funktio on vakiofunktio.

Matemaattisesti kirjoitamme nämä kaksi lauseketta:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\,\Vasemmanpuoleinen nuolinäppäin \,\,\,\,\,y'(x)=0\,,,\,\,\,\,\kaikkien x\in \mathbb {R} } } $y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\forall x\in \mathbb {R}$

Yleistäminen

Funktio f : A → B on vakiofunktio, jos f(a) = f(b) jokaiselle a:lle ja b:lle A:ssa.

Esimerkkejä

Todellinen esimerkki: Kauppa, jossa jokainen tuote myydään 1 eurolla. Tämän funktion toimialue on myymälässä olevat tuotteet. Yhteisalue on 1 euro.

Esimerkki: Olkoon f : A → B, jossa A={X,Y,Z,W} ja B={1,2,3} ja f(a)=3 jokaiselle a∈A. Tällöin f on vakiofunktio.

Esimerkki: z(x,y)=2 on vakiofunktio pisteestä A=ℝ² pisteeseen B=ℝ, jossa jokainen piste (x,y)∈ℝ² vastaa arvoa z=2. Tämän vakiofunktion kuvaaja on kolmiulotteisessa avaruudessa vaakataso (x0y-tason suuntainen), joka kulkee pisteen (0,0,2) kautta.

Esimerkki: ρ(φ)=2,5 on vakiofunktio, joka kuvaa jokaisen kulman φ säteen ρ=2,5. Tämän funktion kuvaaja on ympyrä, jonka säde on 2,5 tasossa.

Yleistetty vakiofunktio.

Vakiofunktio z(x,y)=2

Vakio polaarinen funktio ρ(φ)=2,5

Muut ominaisuudet

Vakiofunktioilla on muitakin ominaisuuksia. Katso vakiofunktio englanninkielisessä Wikipediassa

Aiheeseen liittyvät sivut

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on vakiofunktio?

V: Vakiofunktio on funktio, jonka lähtöarvo pysyy samana jokaisella tuloarvolla.

K: Voitko antaa esimerkin vakiofunktiosta?

V: Kyllä, esimerkki vakiofunktiosta olisi y(x) = 4, jossa y(x):n arvo on aina 4 riippumatta tuloarvosta x.

Kysymys: Mistä voi päätellä, onko jokin funktio vakiofunktio?

V: Voit sanoa, onko funktio vakiofunktio, katsomalla, pysyykö sen lähtöarvo samana jokaisella tuloarvolla.

K: Mitä tarkoittaa, kun sanotaan, että "y(x)=4" suhteessa vakiofunktioihin?

V: Kun sanomme, että "y(x)=4", se tarkoittaa, että y(x):n lähtöarvo on aina 4 riippumatta siitä, mikä on tuloarvo x.

K: Voiko mitenkään havainnollistaa, miltä vakiofunktio näyttää?

V: Kyllä, yksi tapa havainnollistaa, miltä vakiofunktio näyttää, on kuva tai kuvaaja.

K: Muuttuuko lähtöarvo vakiofunktioiden syötteestä riippuen?

V: Ei, vakiofunktioissa ulostulo ei muutu syötteen mukaan.