Polynomi – määritelmä, ominaisuudet, esimerkit ja sovellukset
Matematiikassa polynomi on algebrallinen lauseke, joka voidaan esittää monomeiksi kutsuttujen matemaattisten termien summana. Monomi on yhden termin lauseke, esimerkiksi luku, muuttuja tai lukujen ja muuttujien tulo. Se tarkoittaa siis, että polynomissa esiintyy vain yhteen- ja vähennyslaskua, kertolaskua sekä kokonaislukujen potensointi. Jos lausekkeessa käytetään jakamista muuttujalla, murtopotensseja tai neliöjuuria, kyseessä ei tyypillisesti ole polynomi. Esimerkiksi seuraava algebrallinen lauseke on polynomin muotoinen:
Peruskäsitteet ja ominaisuudet
- Termit ja kertoimet: Polynomissa kukin monomi eli termi on muotoa a x^n, missä a on reaaliluku (kerroin) ja n ei-negatiivinen kokonaisluku (eksponentti, termin aste).
- Polynomin aste (degree): Polynomin aste on suurin n, jolla esiintyy termiä a x^n (a ≠ 0). Esimerkiksi asteluku on 2 kvadratic-polynomissa, 1 lineaarisessa polynomissa jne.
- Johtava kerroin: Termi, jonka eksponentti on suurin, sisältää polynomin johtavan kertoimen.
- Nollapolynomi: Polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia, on nollapolynomi; sen astetta ei yleensä määritellä tavanomaisella tavalla.
- Normaalimuoto: Polkusuutta varten polynomi esitetään usein standardimuodossa laskevassa asteen järjestyksessä: a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0.
Polynomien laskutoimitukset
- Yhteen- ja vähennyslasku: Lisätään tai vähennetään saman asteen termit kertoimien mukaan.
- Kertolasku: Kahden polynomin tulo saadaan kertomalla termit pareittain ja yhdistämällä saman asteen termit.
- Potensointi: Polynomin korottaminen ei-negatiiviseen kokonaislukuun on sallittua (esim. (x+1)^3).
- Jakaminen: Polynomeilla voi jakaa, mutta jakolaskun tuloksena ei aina synny polynomia — jako voi antaa jakojäännöksen tai murtostruktuurin. Jos jakojäännös on nolla, jakaminen onnistuu täydellisesti.
- Huom. Jos lausekkeessa esiintyy muuttujalla jakamista, murtopotensseja tai juuria (esim. √x), lauseke ei ole polynomi.
Polynomiyhtälöt, polynomifunktiot ja juuret
Polynomilla voidaan muodostaa polynomiyhtälöitä, esimerkiksi muotoa P(x) = 0. Polynomin nollakohtia (juuria) ovat ne x-arvot, joilla P(x)=0. Nollakohtien avulla polynomi voidaan monesti faktoroida tuotteeksi matalampiasteisten polynomien kanssa (esim. lineaaristen tekijöiden muodossa). Kompleksilukujen puolella pätee algebran peruslause: asteen n polynomilla on tarkalleen n juurta, kun juurien lukumäärä lasketaan kertaluvun (multiplicity) mukaan.
Esimerkki polynomiyhtälöstä:
Polynomista voidaan myös muodostaa polynomifunktio f(x)=P(x), jonka kuvaaja on polynomikäyrä. Esimerkiksi:
Esimerkkejä polynomeista
- Vakiojärjestys: P(x) = 5 (aste 0).
- Lineaarinen polynomi: P(x) = 2x − 1 (aste 1).
- Kvadratic (toisen asteen): P(x) = x^2 − 3x + 2 (aste 2).
- Korkeamman asteen esimerkki: P(x) = 4x^5 − x^3 + 7 (aste 5).
Sovellukset
Polynomeilla on laaja käyttö matematiikassa ja soveltavissa tieteissä. Tärkeitä käyttökohteita ovat muun muassa:
- Funktioiden approksimointi ja Taylor- ja Maclaurin-kehitelmät, joissa monimutkaisia funktioita lähestytään polynomeilla.
- Numeriset menetelmät (esim. juurten etsiminen, interpolaatio ja polynomien jakaminen laskentaohjelmistoissa).
- Insinööritieteet ja fysiikka: mallinnus ja signaalinkäsittely.
- Kryptografia ja koodausteoria: polynomit yli äärellisissä kentissä ovat keskeisiä algoritmeissa.
- Optimointi ja koneoppiminen: polynomit voivat toimia malleina tai osa monimutkaisempaa mallia.
Lisätietoja
Algebrassa polynomeja käsitellään perusteellisesti, koska ne muodostavat pohjan monille matematiikan ja tekniikan aiheille. Polynomeihin liittyvät käsitteet kuten juurien kertaluku, faktorisointi, ja jakoalgoritmit (esim. osamäärä- ja syntetinen jakaminen) ovat hyödyllisiä niin teoreettisessa kuin käytännön ongelmien ratkaisussa.
Terminologia
Kun kyseessä on luvun sarja
muuttujan
polynomi on yleensä muotoa
. Polynomin osia, jotka on erotettu toisistaan plus- (tai miinus-) merkeillä, kutsutaan "termeiksi", ja merkit ovat itse osa termiä.
(Polynomissa kertolasku "ymmärretään". Tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että tarkoittaa kaksi kertaa
tai kaksi kertaa
. Joten jos
on
, niin
on
.) .)
Näin ollen polynomissa , termit ovat:
Jos polynomissa on vain yksi termi, sitä kutsutaan "monomiksi". Monomit ovat myös polynomien rakennuspalikoita. Esimerkiksi on monomi.
Termissä edessä olevaa kerrointa kutsutaan "kertoimeksi". Kirjainta kutsutaan "tuntemattomaksi" tai "muuttujaksi", ja kirjaimen perässä olevaa korotettua numeroa kutsutaan eksponentiksi. Laskimella ja joillakin tietokoneilla eksponentin sijasta muuttujan yläpuolella ja oikealla puolella käytetään symbolia ^, joten yllä oleva monomi voitaisiin kirjoittaa muodossa ^
.
Polynomia, jossa on täsmälleen kaksi termiä, kutsutaan binomiksi. Polynomia, jossa on täsmälleen kolme termiä, kutsutaan "trinomiksi". Termien sisällä:
- Termiä, jossa ei ole muuttujia, kutsutaan "vakiotermiksi".
- Termiä, jossa on yksi muuttuja mutta ei eksponenttia, kutsutaan "ensimmäisen asteen termiksi" tai "lineaariseksi termiksi".
- Termiä, jossa on yksi muuttuja ja jonka eksponentti on
, kutsutaan "toisen asteen termiksi" tai "kvadraattiseksi termiksi". Kvadraattinen yhtälö on yhtälö, jossa minkä tahansa termin suurin eksponentti on
- Termiä, jossa on yksi muuttuja ja jonka eksponentti on
, kutsutaan "kolmannen asteen termiksi" tai "kuutiotermiksi". "Kuutioyhtälö" on yhtälö, jossa minkä tahansa termin suurin eksponentti on
- Termiä, jossa on yksi muuttuja ja jonka eksponentti on
, kutsutaan "neljännen asteen termiksi" tai "kvartaalitermiksi". Kvartaaliyhtälö on yhtälö, jossa minkä tahansa termin suurin eksponentti on
- Termiä, jossa on yksi muuttuja ja jonka eksponentti on
, kutsutaan "viidennen asteen termiksi" tai "kvintitermiksi". Kvinttiyhtälö on yhtälö, jossa minkä tahansa termin suurin eksponentti on
- Termiä, jossa on yksi muuttuja ja jonka eksponentti on
, kutsutaan "kuudennen asteen termiksi" tai "sekstiseksi termiksi". "Sekstinen yhtälö" on yhtälö, jossa minkä tahansa termin suurin eksponentti on
Aiheeseen liittyvät sivut
- Tutkinto (matematiikka)
- Algebran perusteoria
- Polynomin jäännösteoreema
- Polynomin juuri
- Kvarttinen yhtälö
- Galois'n teoria
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on polynomi?
V: Polynomi on eräänlainen matemaattinen lauseke, joka on summa useista matemaattisista termeistä, joita kutsutaan monomeiksi ja jotka ovat lukuja, muuttujia tai lukujen ja useiden muuttujien tuloja.
K: Miten matemaatikot, tiedemiehet ja insinöörit käyttävät polynomeja?
V: Matemaatikot, tiedemiehet ja insinöörit käyttävät polynomeja ongelmien ratkaisemiseen.
K: Mitä operaatioita voidaan käyttää algebrallisessa lausekkeessa, jotta siitä tulisi polynomi?
V: Jotta algebrallinen lauseke voidaan katsoa polynomiksi, ainoat aritmeettiset operaatiot, joita voidaan käyttää, ovat yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku ja kokonaislukujen potensointi. Jos käytetään vaikeampia operaatioita, kuten jakamista tai neliöjuuria, algebrallinen lauseke ei ole polynomi.
Kysymys: Minkälaisia yhtälöitä voidaan muodostaa polynomien avulla?
V: Polynomeja käytetään usein sekä polynomiyhtälöiden (kuten 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197=0) että polynomifunktioiden (kuten f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197) muodostamiseen.
Kysymys: Mitä oppiainetta pitää ymmärtää, jotta voi työskennellä polynomien kanssa?
V: Polynomeilla työskentelyyn tarvitaan algebran tuntemusta, joka on porttikurssi kaikkiin teknisiin aineisiin.