Matematiikassa polynomi on algebrallinen lauseke, joka voidaan esittää monomeiksi kutsuttujen matemaattisten termien summana. Monomi on yhden termin lauseke, esimerkiksi luku, muuttuja tai lukujen ja muuttujien tulo. Se tarkoittaa siis, että polynomissa esiintyy vain yhteen- ja vähennyslaskua, kertolaskua sekä kokonaislukujen potensointi. Jos lausekkeessa käytetään jakamista muuttujalla, murtopotensseja tai neliöjuuria, kyseessä ei tyypillisesti ole polynomi. Esimerkiksi seuraava algebrallinen lauseke on polynomin muotoinen:

7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}

Peruskäsitteet ja ominaisuudet

  • Termit ja kertoimet: Polynomissa kukin monomi eli termi on muotoa a x^n, missä a on reaaliluku (kerroin) ja n ei-negatiivinen kokonaisluku (eksponentti, termin aste).
  • Polynomin aste (degree): Polynomin aste on suurin n, jolla esiintyy termiä a x^n (a ≠ 0). Esimerkiksi asteluku on 2 kvadratic-polynomissa, 1 lineaarisessa polynomissa jne.
  • Johtava kerroin: Termi, jonka eksponentti on suurin, sisältää polynomin johtavan kertoimen.
  • Nollapolynomi: Polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia, on nollapolynomi; sen astetta ei yleensä määritellä tavanomaisella tavalla.
  • Normaalimuoto: Polkusuutta varten polynomi esitetään usein standardimuodossa laskevassa asteen järjestyksessä: a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0.

Polynomien laskutoimitukset

  • Yhteen- ja vähennyslasku: Lisätään tai vähennetään saman asteen termit kertoimien mukaan.
  • Kertolasku: Kahden polynomin tulo saadaan kertomalla termit pareittain ja yhdistämällä saman asteen termit.
  • Potensointi: Polynomin korottaminen ei-negatiiviseen kokonaislukuun on sallittua (esim. (x+1)^3).
  • Jakaminen: Polynomeilla voi jakaa, mutta jakolaskun tuloksena ei aina synny polynomia — jako voi antaa jakojäännöksen tai murtostruktuurin. Jos jakojäännös on nolla, jakaminen onnistuu täydellisesti.
  • Huom. Jos lausekkeessa esiintyy muuttujalla jakamista, murtopotensseja tai juuria (esim. √x), lauseke ei ole polynomi.

Polynomiyhtälöt, polynomifunktiot ja juuret

Polynomilla voidaan muodostaa polynomiyhtälöitä, esimerkiksi muotoa P(x) = 0. Polynomin nollakohtia (juuria) ovat ne x-arvot, joilla P(x)=0. Nollakohtien avulla polynomi voidaan monesti faktoroida tuotteeksi matalampiasteisten polynomien kanssa (esim. lineaaristen tekijöiden muodossa). Kompleksilukujen puolella pätee algebran peruslause: asteen n polynomilla on tarkalleen n juurta, kun juurien lukumäärä lasketaan kertaluvun (multiplicity) mukaan.

Esimerkki polynomiyhtälöstä:

7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 = 0 {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0}} {\displaystyle 7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0}

Polynomista voidaan myös muodostaa polynomifunktio f(x)=P(x), jonka kuvaaja on polynomikäyrä. Esimerkiksi:

f ( x ) = 7 x 4 ( - 3 ) x 3 + 19 x 2 ( - 8 ) x + 197 {\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197} . {\displaystyle f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197}

Esimerkkejä polynomeista

  • Vakiojärjestys: P(x) = 5 (aste 0).
  • Lineaarinen polynomi: P(x) = 2x − 1 (aste 1).
  • Kvadratic (toisen asteen): P(x) = x^2 − 3x + 2 (aste 2).
  • Korkeamman asteen esimerkki: P(x) = 4x^5 − x^3 + 7 (aste 5).

Sovellukset

Polynomeilla on laaja käyttö matematiikassa ja soveltavissa tieteissä. Tärkeitä käyttökohteita ovat muun muassa:

  • Funktioiden approksimointi ja Taylor- ja Maclaurin-kehitelmät, joissa monimutkaisia funktioita lähestytään polynomeilla.
  • Numeriset menetelmät (esim. juurten etsiminen, interpolaatio ja polynomien jakaminen laskentaohjelmistoissa).
  • Insinööritieteet ja fysiikka: mallinnus ja signaalinkäsittely.
  • Kryptografia ja koodausteoria: polynomit yli äärellisissä kentissä ovat keskeisiä algoritmeissa.
  • Optimointi ja koneoppiminen: polynomit voivat toimia malleina tai osa monimutkaisempaa mallia.

Lisätietoja

Algebrassa polynomeja käsitellään perusteellisesti, koska ne muodostavat pohjan monille matematiikan ja tekniikan aiheille. Polynomeihin liittyvät käsitteet kuten juurien kertaluku, faktorisointi, ja jakoalgoritmit (esim. osamäärä- ja syntetinen jakaminen) ovat hyödyllisiä niin teoreettisessa kuin käytännön ongelmien ratkaisussa.