Algebrallinen ratkaisu — määritelmä, esimerkit ja Abel–Ruffinin teoreema
Tutustu algebralliseen ratkaisuun: määritelmä, selkeät esimerkit ja Abel–Ruffinin teoreema — miksi kvinttiyhtälöillä ei ole yleistä algebrallista ratkaisua.
Algebrallinen ratkaisu on algebrallinen lauseke, joka ilmaisee algebrallisen yhtälön juuret yhtälön kertoimien avulla. Tällä tarkoitetaan ratkaisua, joka muodostetaan käyttämällä ainoastaan peruslaskutoimituksia ja juurifunktioita: yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakaminen ja juurien (esimerkiksi neliöjuuret, kuutiojuuret ja yleisemmät n:nnennen asteen juuret) ottaminen yhdessä äärellisen määrän operaatiokertoja. .
Yleisesti sanottuna algebrallinen ratkaisu on lauseke, joka koostuu kertoimista, luvuista, operaattoreista ja radikaaleista (juurista) siten, että lauseke voidaan rakentaa äärellisellä määrällä vaiheita.
Tunnetuin esimerkki on yleisen kvadraattisen yhtälön ratkaiseminen muodossa
x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},} 
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 
(jossa a ≠ 0).
Muut polynomit ja yleisempiä tuloksia
Kuutioyhtälölle ja kvartioyhtälölle on olemassa monimutkaisemmat mutta eksplisiittiset algebralliset kaavat (Cardanon ja Ferrarin menetelmät). Nämä antavat lausekkeet juurille käyttämällä juuria ja perusoperaatioita, mutta ne voivat olla varsin pitkiä ja vaikeaselkoisia.
Abel–Ruffinin teoreema sanoo, että yleisellä kvinttiyhtälöllä (5. asteen polynomilla) ei ole algebrallista ratkaisua radikaalien avulla. Tarkemmin: ei ole olemassa yleistä kaavaa, joka ilmaisee kaikkien asteen n ≥ 5 polynomien juuret ainoastaan pääoperaatioilla ja nth-juurilla. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, etteikö yksittäisille tai erityiselle muotoisille kvintti- tai korkeampiasteisille polynomeille voisi löytyä algebrallisia ratkaisuja — vain yleistä, kaikkia tapauksia kattavaa kaavaa ei ole.
Abel–Ruffinin teoreema liittyy syvemmin Galois-teoriaan: polynomin juurien ratkaistavuus radikaaleilla määräytyy sen Galois-ryhmän rakenteesta. Jos kyseisen polynomin Galois-ryhmä on solvable (ratkaistava ryhmä), juuret ovat ilmaistavissa radikaaleilla; jos ei, yleistä radikaaliratkaisua ei ole.
Poikkeukset ja esimerkit
- Monet erityiset polynomit ovat kuitenkin ratkaistavissa radikaaleilla. Esimerkiksi yhtälö x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}
voidaan ratkaista muodossa x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. } 
Huomattava on, että kompleksitasolla tällaisella yhtälöllä on kymmenen erilaista juurta, jotka saadaan kertomalla pääjuuri kymmenennentenä juurena kymmenennellä juuriyksiköllä (juurien yksiköt eli nth-juuret ykkösestä). - Joidenkin kvintti- ja korkeampiasteisten polynomien Galois-ryhmät voivat kuitenkin olla ratkaistavia, jolloin niiden juuret voidaan ilmaista radikaaleilla. Toisin sanoen Abel–Ruffin teoreema ei estä kaikkia korkeampiasteisten polynomien ratkaistavuutta, vaan ainoastaan yleistä kaavaa, joka toimisi kaikille polynomeille.
Mikä ei ole algebrallinen ratkaisu
Algebrallisen ratkaisun ulkopuolelle jäävät muodot, joissa käytetään esimerkiksi äärettömiä sarjoja, integraaleja tai erityisfunktioita ilman esitystä radikaaleina. Usein käytetään numeerisia menetelmiä (esim. Newtonin menetelmä) tai symbolisia lähestymistapoja, jos eksplisiittistä radikaaliratkaisua ei ole.
Käytännön huomioita
- Vaikka kvadratiokaava ja kuutio- tai kvartioyhtälöiden kaavat ovat teoreettisesti hyödyllisiä, niiden käyttö voi olla hankalaa laskennallisesti ja tulokset voivat olla pitkät ja epäkäytännölliset monimutkaisissa tapauksissa.
- Galois-teoria tarjoaa välineet ratkaistavuuden päätelmiseen: se kertoo, milloin algebrallinen ratkaisu radikaaleilla on olemassa ja milloin sitä ei voi löytyä.
- Usein käytännön ongelmissa riittää numeerinen lähestymistapa tai erikoismuotojen hyödyntäminen (esimerkiksi simmetriaa, substituutioita tai erityisiä tekniikoita), jotta saadaan tarpeellinen ratkaisu.
Yhteenvetona: algebrallinen ratkaisu tarkoittaa juurten ilmaisemista peruslaskutoimituksilla ja juurilla. Kvadratiokaava ja tietyt korkeamman asteen yhtälöt ovat ratkaistavissa radikaaleilla, mutta Abel–Ruffinin teoreema osoittaa, ettei yleistä radikaaliratkaisua ole olemassa kaikille 5. asteen ja sitä korkeammille polynomeille. Galois-teoria antaa tarkan kriteerin, milloin ratkaisut radikaaleilla ovat mahdollisia.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on algebrallinen ratkaisu?
A: Algebrallinen ratkaisu on algebrallinen lauseke, joka on algebrallisen yhtälön ratkaisu muuttujien kertoimien suhteen. Se voidaan löytää käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua sekä juurien (neliöjuuret, kuutiojuuret jne.) poistamista.
Kysymys: Mikä on tunnettu esimerkki algebrallisesta ratkaisusta?
V: Tunnetuin esimerkki on yleisen kvadraattisen yhtälön ratkaisu.
K: Onko korkeamman asteen yhtälöille olemassa monimutkaisempi ratkaisu?
V: Kyllä, on olemassa monimutkaisempi ratkaisu yleiselle kuutioyhtälölle ja kvartioyhtälölle.
K: Onko jokaisella polynomiyhtälöllä algebrallinen ratkaisu?
V: Ei, Abel-Ruffinin lauseen mukaan yleisellä kvinttiyhtälöllä ei ole algebrallista ratkaisua. Tämä tarkoittaa, että yleistä polynomiyhtälöä, jonka aste on n, kun n ≥ 5, ei voida ratkaista pelkän algebran avulla.
Kysymys: Onko olemassa ehtoja, joilla voimme saada algebrallisen ratkaisun korkeamman asteen yhtälöille?
V: Kyllä, tietyissä olosuhteissa voimme saada algebrallisia ratkaisuja; esimerkiksi yhtälö x^10 = a voidaan ratkaista muodossa x = a^(1/10).
K: Miten ratkaistaan kvadraattinen yhtälö?
V: Ratkaistaksesi kvadraattisen yhtälön sinun on käytettävä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuja sekä otettava siitä neliöjuuret tai muunlaiset juuret.
Etsiä