Algebrallinen yhtälö
Matematiikassa algebrallinen yhtälö, jota kutsutaan myös polynomiyhtälöksi tietyssä kentässä, on yhtälö muodossa
P = Q {\displaystyle P=Q} 
jossa P ja Q ovat kyseisen kentän yli olevia polynomeja, joilla on yksi (yksimuuttujainen) tai useampi kuin yksi (monimuuttujainen) muuttuja. Esimerkiksi:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}} 
on rationaalilukujen algebrallinen yhtälö.
Kahta yhtälöä kutsutaan ekvivalentiksi, jos niillä on sama joukko ratkaisuja. Tämä tarkoittaa, että toisen yhtälön kaikkien ratkaisujen on oltava myös ensimmäisen yhtälön ratkaisuja ja päinvastoin. Yhtälö P = Q {\displaystyle P=Q} on ekvivalentti yhtälön P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
kanssa. Algebristen yhtälöiden tutkiminen vastaa siis polynomien tutkimista.
Jos algebrallinen yhtälö on rationaalilukujen yläpuolella, se voidaan aina muuntaa vastaavaksi yhtälöksi, jossa kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Esimerkiksi edellä esitetyssä yhtälössä kerrotaan luvulla 42 = 2-3-7 ja ryhmitellään termit ensimmäiseen jäseneen. Yhtälö muunnetaan muotoon
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Yhtälön ratkaisut ovat muuttujien arvoja, joille yhtälö on tosi. Mutta algebrallisissa yhtälöissä on myös niin sanottuja juuria. Yhtälöä ratkaistaessa on sanottava, missä joukossa ratkaisut ovat sallittuja. Esimerkiksi rationaalilukujen yhtälölle voidaan löytää ratkaisuja kokonaisluvuista. Silloin yhtälö on diofanttinen yhtälö. Ratkaisuja voidaan etsiä myös kompleksilukujen joukosta. Ratkaisuja voidaan etsiä myös reaaliluvuista.
Antiikin matemaatikot halusivat yksimuuttujaisten yhtälöiden (eli yhtälöiden, joissa on yksi muuttuja) ratkaisut radikaalilausekkeiden muodossa, kuten x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}
positiivisen ratkaisun x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}}
. Muinaiset egyptiläiset tiesivät, miten ratkaista 2. asteen yhtälöt (eli yhtälöt, joissa muuttujan suurin potenssi on 2) tällä tavalla. Renessanssin aikana Gerolamo Cardano ratkaisi 3. asteen yhtälön ja Lodovico Ferrari ratkaisi 4. asteen yhtälön. Lopuksi Niels Henrik Abel osoitti vuonna 1824, että 5. asteen yhtälöä ja korkeamman asteen yhtälöitä ei aina voi ratkaista radikaaleja käyttämällä. Galois'n teoria, joka on nimetty Évariste Galois'n mukaan, otettiin käyttöön, jotta voitaisiin määrittää, onko yhtälö ratkaistavissa radikaalien avulla.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on algebrallinen yhtälö?
A: Algebrallinen yhtälö on yhtälö, joka on muotoa P = Q, jossa P ja Q ovat polynomeja tietyn kentän yli, jossa on yksi tai useampi muuttuja.
K: Miten kaksi yhtälöä voi olla ekvivalentteja?
V: Kahta yhtälöä pidetään ekvivalenttina, jos niillä on sama ratkaisujen joukko, eli yhden yhtälön kaikkien ratkaisujen on oltava myös toisen yhtälön ratkaisuja ja päinvastoin.
K: Mitä tarkoittaa yhtälön ratkaiseminen?
V: Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa, että etsitään muuttujien arvot, jotka tekevät yhtälöstä todellisen. Näitä arvoja kutsutaan juuriksi.
K: Voidaanko rationaalilukujen algebralliset yhtälöt aina muuntaa yhtälöiksi, joilla on kokonaislukukertoimet?
V: Kyllä, kertomalla molemmat puolet luvulla, kuten 42 = 2-3-7, ja ryhmittelemällä ensimmäisen jäsenen termit, mikä tahansa rationaalilukujen algebrallinen yhtälö voidaan muuntaa kokonaislukukertoimiseksi yhtälöksi.
K: Milloin antiikin matemaatikot halusivat radikaali-ilmaisuja yksimuuttujaisille yhtälöille?
V: Antiikin matemaatikot halusivat radikaalilausekkeita (kuten x=1+√5/2) yksimuuttujaisille yhtälöille (yhtälöt, joissa on yksi muuttuja) renessanssin aikana.
K: Kuka ratkaisi 3. ja 4. asteen yhtälöitä tänä aikana?
V: Gerolamo Cardano ratkaisi 3. asteen yhtälöt ja Lodovico Ferrari ratkaisi 4. asteen yhtälöt tänä aikana.
K: Kuka osoitti, että korkeamman asteen yhtälöitä ei aina voi ratkaista radikaalien avulla?
V: Niels Henrik Abel todisti vuonna 1824, että korkeamman asteen yhtälöitä ei aina voi ratkaista radikaalien avulla.
