Algebrallinen yhtälö (polynomiyhtälö) – määritelmä, esimerkit ja ratkaisut

Algebrallinen yhtälö (polynomiyhtälö) — selkeä määritelmä, konkreettiset esimerkit ja vaiheittaiset ratkaisut sekä ratkaisujoukot reaalisista, rationaalisista ja kompleksiluvuista.

Matematiikassa algebrallinen yhtälö, jota kutsutaan myös polynomiyhtälöksi tietyssä kentässä, on yhtälö muodossa

P = Q {\displaystyle P=Q}

Missä P ja Q ovat polynomeja samalla kentällä (esimerkiksi rationaaliluvut Q, reaaliluvut R tai kompleksiluvut C). Polynomeja voi olla yksi (yksimuuttujaiset yhtälöt) tai useampi (monimuuttujaiset yhtälöt). Esimerkiksi seuraava yhtälö on algebrallinen yhtälö, jonka kertoimet ovat rationaalilukuja:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}}

Kahta yhtälöä sanotaan ekvivalentiksi, jos niillä on täsmälleen sama joukko ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälö P = Q {\displaystyle P=Q} on ekvivalentti yhtälön P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} kanssa, koska molemmat kuvaavat samaa polynomia nollana.

Polynomien kertoimet ja muuntaminen kokonaisluvuiksi

Jos algebrallinen yhtälö määritellään rationaalilukujen yli, yhtälö voidaan kertomalla sopivalla luvulla muuttaa muotoon, jossa kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Tämä tehdään kertomalla luvulla, joka on kaikkien nimittäjien pienin yhteinen jaettava (tai jokin muu tasaluku). Edellisen esimerkin tapauksessa kertomalla luvulla 42 (joka on 2·3·7) ja ryhmittelemällä termit ensimmäiseen jäseneen saadaan vastaava yhtälö kokonaiskertoimilla:

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Tämä on hyödyllistä esimerkiksi kokonaislukuratkaisujen (diofanttisten ratkaisujen) tutkimuksessa tai kun halutaan käyttää teoriaa, joka edellyttää kertoimien olevan kokonaislukuja.

Ratkaisut, juuret ja ratkaisujoukot

Yhtälön ratkaisu(t) ovat muuttujien arvoja, joille yhtälö pitää paikkansa. Yksittäisen muuttujan polynomiyhtälön juurilla tarkoitetaan arvon x arvoja, joille polynomi nollautuu. Juuren kertaluvulla (multiplicity) tarkoitetaan, kuinka monta kertaa sama juuri esiintyy polynomin tekijöissä.

• Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä (aste 2) juuret voidaan laskea neliöjuurilausekkeen avulla: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a).
• Perustulos: algebrallinen yhtälö täytyy ratkaista aina määriteltyjen lukujoukkojen sisällä. Sama polynomiyhtälö voi käyttäytyä eri tavoin eri joukoissa — esimerkiksi kokonaisluvut, rationaaliluvut, reaaliluvut ja kompleksiluvut antavat eri ratkaisujoukkoja.

Erityiset luokat ja nimitykset

• Diofanttinen yhtälö: yhtälö, jonka ratkaisuja etsitään kokonaislukujen tai rationaalilukujen joukosta. Tällaiset yhtälöt voivat olla erittäin vaikeita ratkaista.
• Yksimuuttujainen vs. monimuuttujainen: yksimuuttujaisen polynomin juurien lukumäärä (kompleksiluvuissa) on yhtäläinen polynomin asteella, kun juuret lasketaan kerrannaisuuksineen (peruslause algebrasta).
• Polynomijärjestelmät: usean polynomiyhtälön muodostamat järjestelmät (monimuuttujaiset tapaukset) käsitellään usein eliminaatiomenetelmillä, tulosfunktioilla (resultantit) tai Gröbnerin kanta -tekniikalla.

Ratkaisumenetelmiä

Ratkaisumenetelmä riippuu yhtälön asteesta, muuttujien lukumäärästä ja kertoimien luonteesta:

• Tekijöihin jakaminen ja yhteisten tekijöiden erottelu helpoissa tapauksissa.
• Lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden suljetut kaavat (lineaarisessa tapauksessa suora ratkaisumuoto, toisen asteen ratkaisukaava).
• Rationaalisten nollasääntö (rational root theorem): mahdolliset rationaaliset nollat ovat muotoa ±(tekijä vakiotermin osasta)/(tekijä johtavan termin osasta).
• Käytännön numeeriset menetelmät: Newton–Raphson, Durand–Kerner ja muut iteratiiviset algoritmit antavat approksimaatioita reaalisiin tai kompleksisiin juuriin.
• Monimuuttujaiset menetelmät: eliminaatio (esim. resultanteilla), Gröbnerin kantojen laskeminen ja symbolinen manipulointi ovat tyypillisiä työkaluja. Myös numeerinen monimuuttujainen optimointi ja juurten etsintä ovat käytössä.

Teoreettisia tuloksia

• Peruslause algebrasta: jokaisella nollasta poikkeavalla kompleksipolynomilla aste n on juurien lukumäärä laskettuna kertaluvuilla; toisin sanoen sillä on täsmälleen n kompleksijuuren joukko.
• Solvabiliteetti radikaaleilla: antiikin ja renessanssin matemaatikot hakeutuivat yksinkertaisiin ratkaisukaavoihin radikaalein (eli juurilausekkein). Gerolamo Cardano löysi 1500-luvulla kolmannen asteen kaavat ja Lodovico Ferrari neljännen asteen ratkaisun. Vuonna 1824 Niels Henrik Abel todisti, ettei yleistä ratkaisua radikaalein ole olemassa viidennen asteen ja korkeampien yleisten polynomien tapauksessa. Tähän liittyvä teoria, joka tutkii, milloin z:n yhtälö on ratkaistavissa radikaaleilla, on Évariste Galois'n mukaan nimetty Galois'n teoria.

Historia ja käytännön merkitys

Antiikin matemaatikot ratkaisivat eri asteisia yhtälöitä muodollisin menetelmin; egyptiläisillä ja babylonialaisilla oli menetelmiä toisen asteen yhtälöihin. Renessanssin aikana löydettiin suljetut kaavat tietyille asteille, mutta moderni teoria selitti rajoitukset ja rakenteen Galois'n teorian kautta. Nykyään algebrallisia yhtälöitä ja niiden ratkaisuja tarvitaan laajasti luonnontieteissä, tekniikassa ja tietojenkäsittelyssä, sekä teoreettisesti algebraan ja lukuteoriaan liittyvissä tutkimuksissa.

Käytännön esimerkkejä ja huomioita

• Jos etsitään kokonaislukuratkaisuja, kannattaa ensin muuttaa yhtälö kokonaiskertoimiseksi ja käyttää diofanttisia menetelmiä tai modulo-tekniikoita rajausten löytämiseen.
• Reaalijuuret voi arvioida numeerisesti ja todentaa analysoimalla polynomin merkkikäyttäytymistä tai derivaattaa (juurten lukumäärän ja kertalukujen tarkastelu).
• Monimutkaisten monimuuttujaisten järjestelmien ratkaisussa tehokkaita työkaluja ovat tietokoneavusteinen symbolinen laskenta ja numeeriset algoritmit; erityisesti Gröbnerin kanta on keskeinen käsite.

Yhteenvetona: algebrallinen yhtälö on laaja käsite, joka yhdistää polynomien teorian ja yhtälöiden ratkaisemisen. Ratkaisujen luonne ja saatavuus riippuvat käytetystä lukujoukosta ja yhtälön rakenteesta — yksinkertaisimmissa tapauksissa saatavilla on suljetut kaavat, mutta yleisesti tarvitaan sekä teoreettisia että numeerisia menetelmiä.

Antiikin matemaatikot halusivat yksimuuttujaisten yhtälöiden ratkaisut radikaalilausekkeiden muodossa, kuten x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} positiivisen ratkaisun x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}} . Renessanssin aikana Gerolamo Cardano ratkaisi 3. asteen yhtälön ja Lodovico Ferrari ratkaisi 4. asteen yhtälön. Lopuksi Niels Henrik Abel osoitti vuonna 1824, että 5. asteen yhtälöä ja korkeamman asteen yhtälöitä ei aina voi ratkaista radikaaleja käyttämällä. Évariste Galois'n teoria antaa tarvittavat välineet päättää, milloin ratkaistavuus radikaalein on mahdollista.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on algebrallinen yhtälö?

K: Miten kaksi yhtälöä voi olla ekvivalentteja?

K: Mitä tarkoittaa yhtälön ratkaiseminen?

K: Voidaanko rationaalilukujen algebralliset yhtälöt aina muuntaa yhtälöiksi, joilla on kokonaislukukertoimet?

K: Milloin antiikin matemaatikot halusivat radikaali-ilmaisuja yksimuuttujaisille yhtälöille?

K: Kuka ratkaisi 3. ja 4. asteen yhtälöitä tänä aikana?

K: Kuka osoitti, että korkeamman asteen yhtälöitä ei aina voi ratkaista radikaalien avulla?

Hae kirjaimella