Sähkövuo: määritelmä, pintaintegraali, Gaussin laki ja SI‑yksiköt

Kuvitellaan, että sähkökenttä E kulkee pinnan läpi. Tarkastellaan pinnalla olevaa äärettömän pientä aluetta (dA), jonka poikki E pysyy paikallisesti vakiona. Oletetaan myös, että E:n ja dA:n välinen kulma on i. Sähkövuon (electric flux) pienelle alueelle voidaan kirjoittaa yhtälöksi E dA cos(i), eli vektorimuodossa E ja dA ovat vektoreita ja sähkövuon differentiaali on E:n ja dA:n pistetuotto. Täydellistä vektorimerkintätapaa käyttäen sähkövuon muutokselle pienellä alueella pätee

d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Tässä dA tarkoittaa pintaelementin vektoria: sen suuruus on pieni pinta‑ala dA ja suunta on pintanormaali (usein merkitty yksikkövektorilla n̂). Jos pintaa ei ole suljettu, normaali valitaan pinta‑alueelle sovitun suunnan mukaan; suljetulla pinnalla dA:n suunta on määritelty usein pinnan ulospäin suuntautuvaksi. Sähkövuon merkitys on siis kenttävektorin E komponentin summa normaalikomponenttina läpi mitatun pinta‑alan yli.

Pinnan S yli kulkeva kokonaisvuo saadaan pintaintegraalilla ottamalla tietysti integraali kaikista pienistä dΦE‑elementeistä:

Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Esimerkiksi tasaisessa sähkökentässä ja tasaisella, pinta‑alan A omaavalla suorakulmaisella pinnalla, jonka normaali on kulmassa i kenttää vastaan, vuoksi saadaan yksinkertaisesti ΦE = E A cos i. Jos kenttä on normaalinen pintaan (i = 0), vuo on maksimi E A; jos kenttä on tangentiaalinen pintaan (i = 90°), vuo on nolla.

Suljetulle gaussiselle pinnalle sähkövuo liittyy läheisesti varaukseen Gaussin lain kautta. Suljetulle pinnalle pätee

Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}} $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}$

jossa Q_S on pinnan sisään rajatun tilavuuden ympäröimä nettovaraus (sisältäen vapaan ja sidotun varauksen sopivassa tulkinnassa) ja ε0 on tyhjiön permittiivisyys, eli sähkövakio. Tämä integraalimuotoinen lauseke on Gaussin sähkökentän laki, yksi neljästä tunnetusta Maxwellin yhtälöstä. Diferentiaalimuodossa laki kirjoitetaan div E = ρ/ε0, missä ρ on tilatiheys (varaustiheys).

On tärkeää huomata seuraavat käytännön seikat:

Suljetun pinnan ulkopuolella olevat yksittäiset varaukset eivät vaikuta kokonaisvuohon pinnan yli — niiden vaikutukset kumoutuvat, kun integroidaan koko suljetun pinnan yli. Ainoastaan pinnan sisään jäänyt nettovaraus Q_S määrää kokonaisvuon.
Gaussin laki pätee aina, mutta sitä voi käyttää analyyttiseen sähkökentän laskemiseen käytännöllisesti vain, jos systeemillä on riittävästi symmetriaa (esim. pallo‑, sylinteri‑ tai tasosymmetria). Muussa tapauksessa kentän laskeminen vaatii yleensä numeerisia menetelmiä tai tietokoneavusteista laskentaa (katso myös).
Signifikaatio: jos sähkökenttä suuntautuu pinnan ulospäin, vuo on positiivinen; jos se suuntautuu sisäänpäin, vuo on negatiivinen. Tämä seuraa pistetulon merkinnästä dA‑vektorin suunnan mukaan.

Erilaisissa väliaineissa kannattaa huomata myös sähköstaattinen kenttävoimakkuus E ja sähkökentän siirtovaikutusta kuvaava sähkösitoisuusvektori D liittyvät toisiinsa materiaalin permittiivisyyden ε avulla: D = ε E. Avatessa Gaussin lain materiaaliympäristössä usein käytetään muotoa ∮ D·dA = Q_free_enclosed, eli D:n vuo antaa sisäisen vapaiden varausten määrän.

Sähkövuon SI‑yksiköt ilmaistaan usein volttimetreinä (V·m) tai vaihtoehtoisesti newtonmetreinä neliö coulombia kohti (N·m2·C−1). Perusyksiköiden kannalta tämä vastaa yksikköä

kg·m3·s−3·A−1,

koska N = kg·m·s−2 ja C = A·s. Yksiköt kertovat, että vuo yhdistää kentän voimakkuuden (N/C tai V/m) ja pinta‑alan (m2).

Lyhyesti esimerkkinä: pistevaraus q keskellä säteisen symmetrisessä tilanteessa sijaitsevan pallon pinnan kautta kulkeva sähkövuo on ΦE = q/ε0. Tällaisissa helpoissa tapauksissa Gaussin laki tekee kentän laskemisesta suoraviivaista; monimutkaisemmissa tilanteissa käytetään numeerisia kenttälaskuja tai potentiaali‑ ja kenttäintegraaleja.

Aiheeseen liittyvät sivut

Magneettivuo

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mitä on sähkövirta?

V: Sähkövirta on sähkökentän E ja pinnan differentiaalipinta-alan dA pistepotentiaali.

K: Miten sähkövuo lasketaan?

V: Sähkövuo voidaan laskea yhtälön EdAcos(i) avulla, jossa E on sähkökenttä ja dA on äärettömän pieni pinta-ala pinnalla, jonka yli E pysyy vakiona. E:n ja dA:n välinen kulma on i.

Kysymys: Mitä Gaussin laki sähkökentille sanoo?

V: Gaussin sähkökenttien lain mukaan suljetun Gaussin pinnan läpi kulkeva sähkövirta on yhtä suuri kuin sen ympäröimä nettovirta jaettuna sähkövakiolla (ε0). Tämä suhde pätee kaikissa tilanteissa, mutta sen avulla voidaan laskea vain silloin, kun sähkökentässä on korkea symmetriaaste.

Kysymys: Mitkä ovat esimerkkejä symmetrisistä tilanteista, joissa Gaussin lakia voidaan käyttää laskemiseen?

V: Esimerkkejä ovat pallo- ja lieriösymmetria.

K: Mitkä ovat sähkövirran SI-yksiköt?

V: Sähkövirran SI-yksiköt ovat volttimetriä (V m) tai newtonmetriä neliö coulombia kohti (N m2 C-1). Sähkövirran SI-perusyksiköt ovat kg-m3-s-3-A-1.

K: Riippuuko sähkövirta suljetun pinnan ulkopuolella olevista varauksista?

V: Ei, suljetun pinnan ulkopuolella olevat varaukset eivät vaikuta sähkövirtaan; ne voivat kuitenkin vaikuttaa sen sisällä olevaan nettosähkökenttään.