Pintaintegraali

Skalaarikenttien pintaintegraalit

Tarkastellaan pintaa S, jolle on määritelty skalaarikenttä f. Jos ajatellaan, että S on tehty jostain aineesta ja jokaiselle x:lle S:ssä luku f(x) on aineen tiheys kohdassa x, niin f:n pintaintegraali S:n yli on massa S:n paksuusyksikköä kohti. (Tämä pätee vain, jos pinta on äärettömän ohut kuori.).) Yksi tapa laskea pintaintegraali on jakaa pinta moniin hyvin pieniin osiin, olettaa, että tiheys on jokaisessa osassa suunnilleen vakio, löytää kunkin osan massa paksuusyksikköä kohti kertomalla osan tiheys sen pinta-alalla ja laskea sitten yhteen saadut luvut, jotta saadaan S:n kokonaismassa paksuusyksikköä kohti.

Löytääkseen eksplisiittisen kaavan pintaintegraalille matemaatikot parametrisoivat S:n tarkastelemalla S:n kaarevien koordinaattien järjestelmää, kuten pallon leveys- ja pituusasteita. Olkoon tällainen parametrisointi x(s, t), jossa (s, t) vaihtelee jollakin alueella T tasossa. Tällöin pintaintegraali saadaan seuraavasti

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}

jossa oikeanpuoleisten palkkien välissä oleva lauseke on x(s, t):n osittaisderivaattojen ristitulon suuruus.

Esimerkiksi jonkin yleisen funktionaalisen muodon, esimerkiksi z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)} , pinta-alan löytämiseksi on oltava seuraava

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy}

jossa r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} . Eli ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} ja ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))} . Joten,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}}

joka on kaava, jota käytetään yleisen funktionaalisen muodon pinta-alan määrittämiseen. Yllä olevan toisen rivin vektori voidaan tunnistaa pinnan normaalivektoriksi.

Huomaa, että ristitulon vuoksi edellä esitetyt kaavat toimivat vain kolmiulotteiseen avaruuteen upotetuille pinnoille.

Vektorikenttien pintaintegraalit

Tarkastellaan vektorikenttää v S:ssä, eli jokaiselle x:lle S:ssä v(x) on vektori.

Pintaintegraali voidaan määritellä komponenteittain skalaarikentän pintaintegraalin määritelmän mukaisesti; tulos on vektori. Tämä pätee esimerkiksi sähkökenttään jossakin kiintopisteessä, joka johtuu sähköisesti varautuneesta pinnasta, tai painovoimaan jossakin kiintopisteessä, joka johtuu materiaalilevystä. Sillä voidaan laskea myös pinnan läpi kulkeva magneettivuo.

Vaihtoehtoisesti matemaatikot voivat integroida vektorikentän normaalikomponentin; tulos on skalaari. Esimerkkinä on S:n läpi virtaava neste, jolloin v(x) määrittää nesteen nopeuden kohdassa x. Virtaus määritellään S:n läpi aikayksikössä virtaavan nesteen määräksi.

Tämä havainnollistaa, että jos vektorikenttä on tangenttinen S:ään jokaisessa pisteessä, virta on nolla, koska neste virtaa vain S:n suuntaisesti, ei sisään eikä ulos. Tästä seuraa myös, että jos v ei virtaa vain S:n suuntaisesti, eli jos v:llä on sekä tangentiaali- että normaalikomponentti, vain normaalikomponentti vaikuttaa virtaukseen. Tämän päättelyn perusteella vuon löytämiseksi meidän on otettava v:n ja S:n yksikköpintanormaalin pistetuotto kussakin pisteessä, jolloin saamme skalaarikentän, ja integroitava saatu kenttä kuten edellä. Näin saadaan kaava

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt. }

Tämän lausekkeen oikealla puolella oleva ristitulo on parametrisoinnin määrittämä pintanormaali.

Tämä kaava määrittelee vasemmalla olevan integraalin (huomaa piste ja vektorimerkintä pintaelementille).

Vektorikenttä pinnalla.

Pintaintegraaleja koskevat lauseet

Differentiaaligeometrian ja vektorilaskennan avulla voidaan johtaa useita hyödyllisiä tuloksia pintaintegraaleille, kuten divergenssiteoria ja sen yleistys, Stokesin lause.

Edistyneet ongelmat

Muuttuva parametrointi

Edellä esitetyssä keskustelussa pintaintegraali määriteltiin käyttämällä pinnan S parametrisointia. Tietyllä pinnalla voi olla useita parametrisointeja. Kun esimerkiksi pohjoisnavan ja etelänavan paikkoja siirretään pallolla, leveys- ja pituusasteet muuttuvat kaikissa pallon pisteissä. Luonnollinen kysymys on tällöin, riippuuko pintaintegraalin määritelmä valitusta parametrisoinnista. Skalaarikenttien integraaleille vastaus tähän kysymykseen on yksinkertainen: pintaintegraalin arvo on sama riippumatta siitä, mitä parametrisointia käytetään.

Vektorikenttien integraalit ovat monimutkaisempia, koska pintanormaali on mukana. Matemaatikot ovat osoittaneet, että jos saman pinnan kaksi parametrisointia, joiden pintanormit osoittavat samaan suuntaan, molemmat parametrisoinnit antavat pintaintegraalille saman arvon. Jos kuitenkin näiden parametrien normaalit osoittavat vastakkaisiin suuntiin, toisen parametrisoinnin avulla saatu pintaintegraalin arvo on toisen parametrisoinnin avulla saadun arvon negatiivinen arvo. Tästä seuraa, että pinnan ollessa kyseessä meidän ei tarvitse pitäytyä missään ainoassa parametrisaatiossa, mutta vektorikenttiä integroitaessa meidän on päätettävä etukäteen, mihin suuntaan normaali osoittaa, ja sitten valittava mikä tahansa parametrisaatio, joka on johdonmukainen tämän suunnan kanssa.

Parametrisoinnit toimivat pinnan osissa

Toinen ongelma on se, että joskus pinnoilla ei ole koko pinnan kattavia parametriarvoja; tämä pätee esimerkiksi sylinterin pintaan (jonka korkeus on äärellinen). Ilmeinen ratkaisu on silloin jakaa pinta useisiin osiin, laskea pintaintegraali jokaiselle osalle ja laskea ne sitten yhteen. Näin asiat tosiaan toimivat, mutta vektorikenttiä integroitaessa on taas oltava huolellinen siinä, miten normaalipistevektori valitaan kullekin pinnan osalle, jotta palaset yhdistettäessä tulokset ovat johdonmukaisia. Sylinterin kohdalla tämä tarkoittaa, että jos päätämme, että sivualueen normaali osoittaa ulospäin kappaleesta, myös ylä- ja alaosan ympyränmuotoisten osien normaalin on osoitettava ulospäin kappaleesta.

Epäjohdonmukaiset pintanormaalit

Lopuksi on olemassa pintoja, joilla ei ole pintanormaalia jokaisessa pisteessä ja joilla on johdonmukaiset tulokset (esimerkiksi Möbius-kaistale). Jos tällainen pinta jaetaan osiin, jokaiselle palalle valitaan parametri ja vastaava pintanormaali ja palat kootaan yhteen, eri paloista tulevia normaalivektoreita ei voida sovittaa yhteen. Tämä tarkoittaa, että jossakin kahden kappaleen välisessä risteyksessä normaalivektorit osoittavat vastakkaisiin suuntiin. Tällaista pintaa kutsutaan suuntautumattomaksi. Vektorikenttiä ei voida integroida suuntautumattomille pinnoille.

Aiheeseen liittyvät sivut

• Divergenssiteoria
• Stokesin lause
• Viivaintegraali
• Tilavuusintegraali
• Karteesiokoordinaatisto
• Tilavuus- ja pinta-alaelementit pallokoordinaatistossa
• Tilavuus- ja pinta-alaelementit lieriökoordinaatistossa
• Holstein-Herring-menetelmä