Hyperkuutio – n-ulotteinen kuutio: määritelmä, ominaisuudet ja kaavat
Geometriassa hyperkuutio on neliön (n = 2) ja kuution (n = 3) n-ulotteinen vastine. Se on suljettu, kompakti, kupera hahmo, jonka 1-skeletti koostuu vastakkaisten samansuuntaisten viivapätkien ryhmistä, jotka ovat samansuuntaisia kussakin avaruuden ulottuvuudessa, kohtisuorassa toisiinsa nähden ja samanpituisia. Yksikköhyperkuution pisin lävistäjä n ulottuvuudessa on n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 
.
N-ulotteista hyperkuutiota kutsutaan myös n-kuutioksi tai n-ulotteiseksi kuutioksi. Termiä "mittapolytooppi" käytetään myös, erityisesti H. S. M. Coxeterin teoksessa (alun perin Elte, 1912), mutta se on nykyään syrjäytynyt.
Hyperkuutio on hypersuorakulmion (jota kutsutaan myös n-ortotopiksi) erikoistapaus.
Yksikköhyperkuutio on hyperkuutio, jonka sivun pituus on yksi yksikkö. Usein yksikköhyperkuutioksi kutsutaan hyperkuutiota, jonka kulmat (tai kärjet) ovat Rn:n 2n pistettä, joiden kunkin koordinaatin arvo on 0 tai 1.
Perusmääritelmä ja esimerkit
Erityistapaukset selventävät käsitteen: 0-ulotteinen hyperkuutio on piste, 1-ulotteinen on janan pituudeltaan a oleva segmentti, 2-ulotteinen on neliö ja 3-ulotteinen tavallinen kuutio. 4-ulotteista hyperkuutiota kutsutaan usein tesseractiksi tai kvarttikuutioksi.
Koordinaattiesitys ja kärjet
Yksikköhyperkuution kärjet voidaan esittää koordinaattipisteinä {0,1}^n eli kaikkina n-tupletteina, joiden jokainen koordinaatti on 0 tai 1. Yleisemmin sivun pituuden a oleva n-kuutio on karteesisesti [0,a]^n tai keskitettynä muotoon {(-a/2,a/2)}^n. Näin hyperkuution keskipiste on jokaisessa tapauksessa aritmeettinen keskikohta (esim. yksikkökuution keskikohta on (1/2,1/2,...,1/2)).
Kasvojen lukumäärät (k-ulotteiset särmät)
n-ulotteisen hyperkuution k-ulotteisten kasvojen lukumäärä saadaan kaavalla
2^{\,n-k} · C(n, k),
missä C(n,k) on binomikerroin. Erityistapauksia:
- Huiput (k = 0): 2^n
- Särmät (k = 1): n · 2^{n-1}
- 2-ulotteiset sivut (k = 2, n ≥ 2): C(n,2) · 2^{n-2}
- Kuutiolliset solut (k = 3, n ≥ 3): C(n,3) · 2^{n-3}
Tilavuus, pinta-ala ja lävistäjät
Hyperkuution n-ulotteinen tilavuus (hipervolyymin askeleella a sivun pituudella) on
V = a^n.
Hyperkuution reunapinta-alalle (eli (n−1)-ulotteiselle mitalle, joka mittaa reunapintojen yhteispinta-alan) pätee yksinkertainen kaava
A = 2 n a^{\,n-1}.
Yksikköhyperkuution pisin lävistäjä on sqrt(n) yksikköä, yleisemmin sivun pituuden a hyperkuutiossa lävistäjän pituus on a·sqrt(n) (tämä ilmaistaan alkuperäisessä tekstissä joko symbolisesti tai kuvaelementillä).
Symmetria ja dualisuus
Hyperkuutio on säännöllinen monitooppi, ja sen symmetriaryhmä on hyperokkaedrinen ryhmä (tunnetaan myös nimellä B_n), jonka koko on 2^n n! — tämä sisältää kaikki koordinaattien permutaatiot ja mahdolliset etumerkkien vaihdot, jotka säilyttävät hyperkuution. Hyperkuution dualipolytooppi on risti-polytooppi eli orthoplex (cross-polytope).
Skelet ja graafi
Hyperkuution 1-skelet muodostaa niin sanotun hyperkuutioverkon tai n-kuution graafin Q_n. Siinä on 2^n huippua, jokaisella huipulla aste n (siis se on n-säännöllinen), graafi on bipartiiittinen ja sen halkaisija on n. Tämä graafi esiintyy usein tietojenkäsittelytieteessä binäärivektorien ja Hamming-etäisyyksien yhteydessä.
Projektiot, visualisointi ja sovelluksia
Hyperkuution visualisointi tapahtuu usein alemman ulottuvuuden projektioilla, kuten Schlegel-diagrammeilla tai perspektiiviprojektioilla (esim. tesseractin projektiot 3-ulotteiseen tilaan). Hyperkuutioita käytetään monilla aloilla: tietojenkäsittelyssä binääritilojen mallina ja hajautetun verkon rakenteissa, optimoinnissa ja algoritmeissa, topologiassa ja monimuotoanalyysissä sekä graafisessa visualisoinnissa. Esimerkiksi hyperkuutioiden huippujen vastaavuus n-bittisiin jonoihin tekee niistä luontevia rakenteita Hamming-tilan tutkimiseen ja virheenkorjauskoodeihin.
Muita huomioita
Schläfli-symbolilla hyperkuutioita kuvataan muodossa {4,3,...,3} (n−2 kappaletta 3:ia), mikä ilmaisee säännöllisyyden ja kulmien järjestelmällisen rakenteen. Hyperkuutiolla on myös selkeä rakentamistapa: se voidaan ajatella kahden (n−1)-ulotteisen hyperkuution yhdistämisenä pitkin vastaavia kärkiä ja liittämällä niiden vastaavat kärjet särmillä.
Yhteenvetona hyperkuutio on keskeinen ja hyvin tutkittu monimuoto, jolla on yksinkertaiset matemaattiset kaavat ja rikas symmetria sekä laaja sovellusalue teoreettisesta matematiikasta käytännön tietojenkäsittelyyn.
Rakentaminen
Hyperkuutio voidaan määritellä kasvattamalla muodon ulottuvuuksien lukumäärää:
0 - Piste on hyperkuutio, jonka ulottuvuus on nolla.
1 - Jos tätä pistettä siirretään yhden yksikön verran, se pyyhkäisee ulos viivasegmentin, joka on yksikköhyperkuutio, jonka ulottuvuus on yksi.
2 - Jos tätä viivapätkää siirretään sen pituudelta kohtisuoraan itseensä nähden, se muodostaa kaksiulotteisen neliön.
3 - Jos neliötä siirretään yhden pituusyksikön verran kohtisuoraan sen tasoon nähden, syntyy kolmiulotteinen kuutio.
4 - Jos kuutio siirretään yhden pituusyksikön verran neljänteen ulottuvuuteen, syntyy neliulotteinen yksikköhyperkuutio (yksikkötesserakti).
Tämä voidaan yleistää mille tahansa määrälle ulottuvuuksia. Tämä tilavuuksien pyyhkäisyprosessi voidaan formalisoida matemaattisesti Minkowskin summana: d-ulotteinen hyperkuutio on d toisiinsa nähden kohtisuorassa olevien yksikköpituisten viivapätkien Minkowskin summa, ja se on siten esimerkki zonotopista.
Hyperkuution 1-skeletti on hyperkuutiograafi.
Kaavio, jossa näytetään, miten pisteestä luodaan tesserakti.
Animaatio, jossa näytetään, miten pisteestä luodaan tesserakti.
Aiheeseen liittyvät sivut
- Simpleksi - n-ulotteinen analogi kolmion kanssa.
- Hypersuorakulmio - hyperkuution yleinen tapaus, jossa pohja on suorakulmio.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on hyperkuutio?
A: Hyperkuutio on neliön (n = 2) ja kuution (n = 3) n-ulotteinen vastine. Se on suljettu, kompakti, kupera hahmo, jonka 1-skeletti koostuu vastakkaisten samansuuntaisten viivapätkien ryhmistä, jotka ovat samansuuntaisia kussakin avaruuden ulottuvuudessa, kohtisuorassa toisiinsa nähden ja samanpituisia.
Kysymys: Mikä on n-ulotteisen hyperkuution pisin lävistäjä?
V: Pisin lävistäjä n-ulotteisessa hyperkuutiossa on yhtä suuri kuin n {\displaystyle {\sqrt {n}}.
K: Onko n-ulotteiselle hyperkuutiolle olemassa toinen termi?
V: N-ulotteista hyperkuutiota kutsutaan myös n-kuutioksi tai n-ulotteiseksi kuutioksi. Myös termiä "mittapolytooppi" käytettiin, mutta se on nyt syrjäytynyt.
K: Mitä tarkoittaa "yksikköhyperkuutio"?
V: Yksikköhyperkuutio on hyperkuutio, jonka sivun pituus on yksi yksikkö. Usein yksikköhyperkuutiolla viitataan erityistapaukseen, jossa kaikkien kulmien koordinaatit ovat 0 tai 1.
K: Miten voimme määritellä "hypersuorakulmion"?
V: Hypersuorakulmio (jota kutsutaan myös n-orttogrammiksi) määritellään hyperkuution yleistapaukseksi.
