Geometriassa hyperkuutio on neliön (n = 2) ja kuution (n = 3) n-ulotteinen vastine. Se on suljettu, kompakti, kupera hahmo, jonka 1-skeletti koostuu vastakkaisten samansuuntaisten viivapätkien ryhmistä, jotka ovat samansuuntaisia kussakin avaruuden ulottuvuudessa, kohtisuorassa toisiinsa nähden ja samanpituisia. Yksikköhyperkuution pisin lävistäjä n ulottuvuudessa on n {\displaystyle {\sqrt {n}}} {\displaystyle {\sqrt {n}}}.

N-ulotteista hyperkuutiota kutsutaan myös n-kuutioksi tai n-ulotteiseksi kuutioksi. Termiä "mittapolytooppi" käytetään myös, erityisesti H. S. M. Coxeterin teoksessa (alun perin Elte, 1912), mutta se on nykyään syrjäytynyt.

Hyperkuutio on hypersuorakulmion (jota kutsutaan myös n-ortotopiksi) erikoistapaus.

Yksikköhyperkuutio on hyperkuutio, jonka sivun pituus on yksi yksikkö. Usein yksikköhyperkuutioksi kutsutaan hyperkuutiota, jonka kulmat (tai kärjet) ovat Rn:n 2n pistettä, joiden kunkin koordinaatin arvo on 0 tai 1.



Perusmääritelmä ja esimerkit

Erityistapaukset selventävät käsitteen: 0-ulotteinen hyperkuutio on piste, 1-ulotteinen on janan pituudeltaan a oleva segmentti, 2-ulotteinen on neliö ja 3-ulotteinen tavallinen kuutio. 4-ulotteista hyperkuutiota kutsutaan usein tesseractiksi tai kvarttikuutioksi.

Koordinaattiesitys ja kärjet

Yksikköhyperkuution kärjet voidaan esittää koordinaattipisteinä {0,1}^n eli kaikkina n-tupletteina, joiden jokainen koordinaatti on 0 tai 1. Yleisemmin sivun pituuden a oleva n-kuutio on karteesisesti [0,a]^n tai keskitettynä muotoon {(-a/2,a/2)}^n. Näin hyperkuution keskipiste on jokaisessa tapauksessa aritmeettinen keskikohta (esim. yksikkökuution keskikohta on (1/2,1/2,...,1/2)).

Kasvojen lukumäärät (k-ulotteiset särmät)

n-ulotteisen hyperkuution k-ulotteisten kasvojen lukumäärä saadaan kaavalla

2^{\,n-k} · C(n, k),

missä C(n,k) on binomikerroin. Erityistapauksia:

  • Huiput (k = 0): 2^n
  • Särmät (k = 1): n · 2^{n-1}
  • 2-ulotteiset sivut (k = 2, n ≥ 2): C(n,2) · 2^{n-2}
  • Kuutiolliset solut (k = 3, n ≥ 3): C(n,3) · 2^{n-3}

Tilavuus, pinta-ala ja lävistäjät

Hyperkuution n-ulotteinen tilavuus (hipervolyymin askeleella a sivun pituudella) on

V = a^n.

Hyperkuution reunapinta-alalle (eli (n−1)-ulotteiselle mitalle, joka mittaa reunapintojen yhteispinta-alan) pätee yksinkertainen kaava

A = 2 n a^{\,n-1}.

Yksikköhyperkuution pisin lävistäjä on sqrt(n) yksikköä, yleisemmin sivun pituuden a hyperkuutiossa lävistäjän pituus on a·sqrt(n) (tämä ilmaistaan alkuperäisessä tekstissä joko symbolisesti tai kuvaelementillä).

Symmetria ja dualisuus

Hyperkuutio on säännöllinen monitooppi, ja sen symmetriaryhmä on hyperokkaedrinen ryhmä (tunnetaan myös nimellä B_n), jonka koko on 2^n n! — tämä sisältää kaikki koordinaattien permutaatiot ja mahdolliset etumerkkien vaihdot, jotka säilyttävät hyperkuution. Hyperkuution dualipolytooppi on risti-polytooppi eli orthoplex (cross-polytope).

Skelet ja graafi

Hyperkuution 1-skelet muodostaa niin sanotun hyperkuutioverkon tai n-kuution graafin Q_n. Siinä on 2^n huippua, jokaisella huipulla aste n (siis se on n-säännöllinen), graafi on bipartiiittinen ja sen halkaisija on n. Tämä graafi esiintyy usein tietojenkäsittelytieteessä binäärivektorien ja Hamming-etäisyyksien yhteydessä.

Projektiot, visualisointi ja sovelluksia

Hyperkuution visualisointi tapahtuu usein alemman ulottuvuuden projektioilla, kuten Schlegel-diagrammeilla tai perspektiiviprojektioilla (esim. tesseractin projektiot 3-ulotteiseen tilaan). Hyperkuutioita käytetään monilla aloilla: tietojenkäsittelyssä binääritilojen mallina ja hajautetun verkon rakenteissa, optimoinnissa ja algoritmeissa, topologiassa ja monimuotoanalyysissä sekä graafisessa visualisoinnissa. Esimerkiksi hyperkuutioiden huippujen vastaavuus n-bittisiin jonoihin tekee niistä luontevia rakenteita Hamming-tilan tutkimiseen ja virheenkorjauskoodeihin.

Muita huomioita

Schläfli-symbolilla hyperkuutioita kuvataan muodossa {4,3,...,3} (n−2 kappaletta 3:ia), mikä ilmaisee säännöllisyyden ja kulmien järjestelmällisen rakenteen. Hyperkuutiolla on myös selkeä rakentamistapa: se voidaan ajatella kahden (n−1)-ulotteisen hyperkuution yhdistämisenä pitkin vastaavia kärkiä ja liittämällä niiden vastaavat kärjet särmillä.

Yhteenvetona hyperkuutio on keskeinen ja hyvin tutkittu monimuoto, jolla on yksinkertaiset matemaattiset kaavat ja rikas symmetria sekä laaja sovellusalue teoreettisesta matematiikasta käytännön tietojenkäsittelyyn.