Ulottuvuus | matematiikka ja fysiikka

Mitat ovat tapa, jolla näemme, mittaamme ja koemme maailmamme käyttämällä ylös ja alas, oikealta vasemmalle, takaa eteen, kuumaa ja kylmää, painavuutta ja pituutta sekä matematiikan ja fysiikan kehittyneempiä käsitteitä. Yksi tapa määritellä ulottuvuus on tarkastella vapausasteita eli tapaa, jolla esine voi liikkua tietyssä tilassa. On olemassa erilaisia käsitteitä tai tapoja, joilla termiä ulottuvuus käytetään, ja myös erilaisia määritelmiä. Ei ole olemassa määritelmää, joka tyydyttäisi kaikkia käsitteitä.

Vektoriavaruudessa V {\displaystyle V} $V$ (jossa vektorit ovat "nuolia", joilla on suunnat), V {\displaystyle V}:n ulottuvuus on $V$ , joka kirjoitetaan myös nimellä dim ( V ) {\displaystyle \dim(V)} $\dim(V)$ , on yhtä suuri kuin V {\displaystyle V} $V$ -perustan kardinaalisuus (tai vektoreiden lukumäärä) (joukko, joka osoittaa, kuinka monta ainutkertaista suuntaa V {\displaystyle V} $V$ todella on). Se on myös yhtä suuri kuin kyseisen avaruuden suurimman suorien suuntien ryhmän lukumäärä. "Tavalliset" arkielämän esineet määritellään kolmella ulottuvuudella, joita kutsutaan yleensä pituudeksi, leveydeksi ja syvyydeksi. Matemaatikot kutsuvat tätä käsitettä euklidiseksi avaruudeksi.

Mittoja voidaan käyttää myös sijainnin mittaamiseen. Etäisyys sijaintiin lähtöpaikasta voidaan mitata pituus-, leveys- ja korkeussuunnassa. Nämä etäisyydet ovat sijainnin mitta.

Joissakin tapauksissa neljättä (4D) ulottuvuutta, aikaa, käytetään osoittamaan tapahtuman sijainti ajassa ja avaruudessa.

Kaavio neljästä ensimmäisestä avaruusulottuvuudesta.

Vasemmalta oikealle: neliö, kuutio ja tesserakti. Neliö on kaksiulotteinen objekti, kuutio on kolmiulotteinen objekti ja tesserakti on neliulotteinen objekti. Yksiulotteinen objekti on vain viiva. Kuutiosta annetaan projektio, koska sitä tarkastellaan kaksiulotteisella näytöllä. Sama koskee tesseraktia, joka voidaan lisäksi esittää vain projektiona myös kolmiulotteisessa avaruudessa.

Muut mitat

Nykyaikaisessa tieteessä ihmiset käyttävät muita ulottuvuuksia. Lämpötilan ja painon kaltaisia ulottuvuuksia voidaan käyttää osoittamaan jonkin asian sijainti vähemmän yksinkertaisissa tiloissa. Tutkija tutkii näitä ulottuvuuksia ulottuvuusanalyysin avulla.

Myös matemaatikot käyttävät ulottuvuuksia. Matematiikassa ulottuvuudet ovat yleisempiä. Matematiikan ulottuvuudet eivät välttämättä mittaa maailmassa olevia asioita. Matematiikassa ulottuvuuksilla laskemisen säännöt voivat olla erilaisia kuin tavalliset aritmeettiset säännöt.

Mitat ja vektorit

Vektoreita käytetään etäisyyksien ja suuntien esittämiseen. Vektoreita käytetään usein tekniikassa ja luonnontieteissä sekä joskus matematiikassa.

Vektori on luettelo numeroita. Jokaista ulottuvuutta kohti on yksi numero. Vektoreille on olemassa aritmeettiset säännöt.

Jos esimerkiksi Jane haluaa tietää Sallyn sijainnin, Sally voi antaa Janelle vektorin, joka osoittaa sijainnin. Jos Jane ja Sally ovat maailmassa, maailmassa on kolme ulottuvuutta. Siksi Sally antaa Janelle kolmen numeron luettelon, joka osoittaa Janen sijainnin. Sallyn Janelle antaman vektorin kolme numeroa voivat olla:

Sallyn etäisyys Janesta pohjoiseen
Sallyn etäisyys Janesta itään
Sallyn korkeus Janen yläpuolella

Aiheeseen liittyvät sivut

3D
Hyperkuutio, neliön ja kuution yleistäminen kolmen ulottuvuuden ulkopuolelle.
Minkowskin avaruusaika, neliulotteinen monitaho
Avaruus-aika

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mikä on ulottuvuus?

A: Mitta on tapa mitata, nähdä ja kokea maailma käyttämällä sellaisia käsitteitä kuin ylös ja alas, oikealta vasemmalle, takaa eteen, kuuma ja kylmä, kuinka raskas ja kuinka pitkä. Se voidaan määritellä myös vapausasteiksi tai tavaksi, jolla esine voi liikkua tietyssä tilassa.

K: Miten matemaatikot määrittelevät euklidisen avaruuden?

V: Matemaatikot määrittelevät euklidisen avaruuden siten, että siinä on kolme ulottuvuutta, joita kutsutaan yleensä pituudeksi, leveydeksi ja syvyydeksi.

K: Mikä on vektorien lukumäärä vektoriavaruudessa?

V: Vektorien lukumäärä vektoriavaruudessa on yhtä suuri kuin sen perusjoukon kardinaalisuus (tai vektoreiden lukumäärä).

K: Kuinka monta ulottuvuutta käytetään sijainnin mittaamiseen?

V: Sijainnin mittaamiseen käytetään kolmea ulottuvuutta (pituus, leveys ja korkeus). Joissakin tapauksissa voidaan käyttää neljättä (4D) ulottuvuutta - aikaa - osoittamaan tapahtuman sijainti ajassa ja avaruudessa.

K: Mitä dim(V) tarkoittaa?

V: Dim(V) tarkoittaa V:n ulottuvuutta, joka on yhtä suuri kuin sen perusjoukon kardinaalisuus (tai vektoreiden lukumäärä) tai yhtä suuri kuin sen suorien suuntien lukumäärä.

Kysymys: Onko olemassa yksi määritelmä, joka täyttää kaikki ulottuvuuksiin liittyvät käsitteet?

V: Ei, ei ole olemassa yhtä määritelmää, joka täyttäisi kaikki ulottuvuuksiin liittyvät käsitteet.