Mitat ovat tapa, jolla näemme, mittaamme ja koemme maailmamme: ylös ja alas, oikealta vasemmalle, takaa eteen, sekä ominaisuuksia kuten kuumaa ja kylmää, painavuutta ja pituutta. Mittoja käytetään sekä arkikokemuksessa että matematiikan ja fysiikan kehittyneemmässä kuvauksessa. Yksi tapa määritellä ulottuvuus on tarkastella vapausasteita eli sitä, kuinka monessa eri suunnassa jokin esine tai järjestelmä voi liikkua. Termillä "ulottuvuus" on useita käyttömerkityksiä: geometrinen, fysikaalinen, ja matemaattinen määritelmä eivät aina ole täysin samanlaisia.

Mitä ulottuvuus tarkoittaa käytännössä?

Helposti ymmärrettävä ajatus on, että ulottuvuus kertoo tarvittavien koordinaattien määrän sijainnin yksiselitteiseen kuvaamiseen. Esimerkiksi pisteen sijainti suoralla tarvitsee yhden luvun (1D), tasossa kaksi (2D) ja kolmiulotteisessa avaruudessa kolme (3D). Lisäksi ulottuvuus liittyy siihen, kuinka monta riippumatonta suuntaa muodostaa järjestelmän liikkeen mahdollisuudet (vapausasteet).

Esimerkkejä: 0D, 1D, 2D, 3D ja 4D

  • 0D: yksittäinen piste. Ei etäisyyttä eikä suuntaa.
  • 1D: suora tai viiva. Esine voi liikkua eteen- tai taaksepäin yhdellä akselilla.
  • 2D: taso, kuten paperi tai näyttö. Tarvitaan kaksi koordinaattia (esim. x ja y) paikan kuvaamiseen.
  • 3D: arkinen avaruus, jossa mitataan pituutta, leveyttä ja syvyyttä. Matemaatikkojen termi tälle on usein euklidinen avaruus.
  • 4D: kun neljättä ulottuvuutta lisätään, sillä tarkoitetaan usein aikaa. Neljännellä ulottuvuudella kuvaillaan tapahtuman paikkaa sekä avaruudessa että ajassa — eli tapahtuman sijainti ajassa ja avaruudessa. Tämä johtaa käsitteeseen aika-avaruus, jota käytetään erityisesti suhteellisuusteoriassa.

Vektoriavaruuden ulottuvuus

Vektoriavaruudessa {\displaystyle V} (jossa vektorit ovat "nuolia", joilla on suunnat), n ulottuvuus on {\displaystyle V}, joka kirjoitetaan myös nimellä {\displaystyle \dim(V)} , on yhtä suuri kuin {\displaystyle V} -perustan kardinaalisuus (tai vektoreiden lukumäärä) (joukko, joka osoittaa, kuinka monta ainutkertaista suuntaa {\displaystyle V} todella on). Se on myös yhtä suuri kuin kyseisen avaruuden suurimman suorien suuntien ryhmän lukumäärä. "Tavalliset" arkielämän esineet määritellään kolmella ulottuvuudella, joita kutsutaan yleensä pituudeksi, leveydeksi ja syvyydeksi. Matemaatikot kutsuvat tätä käsitettä euklidiseksi avaruudeksi.

Yksinkertaisesti sanottuna vektoriavaruuden dimensiolla tarkoitetaan sitä vähintään tarvittavien riippumattomien vektorien määrää, jolla kaikki avaruuden vektorit voidaan esittää lineaarikombinaationa. Esimerkiksi R2:n (tasovektorit) ulottuvuus on 2 ja R3:n ulottuvuus on 3. On myös äärettömänulotteisia avaruuksia, kuten polynomien avaruus, jossa perusjoukon koko on ääretön.

Mittaaminen, koordinaatit ja etäisyys

Mittoja voidaan käyttää myös sijainnin mittaamiseen. Etäisyys lähtöpaikasta mitataan usein pituus-, leveys- ja korkeussuunnassa. Koordinaatistot (esim. karteesiset koordinaatit x, y, z) antavat systeemin, jolla nämä etäisyydet ilmoitetaan numeerisesti. Etäisyyden mittaamisessa tarvitaan myös mittayksiköt (metri, kilometri jne.) ja etäisyyden määrittävä metriikka — esimerkiksi euklidinen etäisyys 3D-avaruudessa on suora etäisyys kahden pisteen välillä.

Fysiikassa ja vapausasteet

Fysiikassa ulottuvuuksia käytetään sekä paikan että liikkeen kuvaamiseen: yksittäisellä hiukkasella, joka voi liikkua pitkin suoraa, on yksi vapausaste; tasossa liikkuvalla hiukkasella on kaksi; ja kolmiulotteisessa avaruudessa kolme. Lukuisissa järjestelmissä tarvitaan muita muuttujia (esim. kulmat tai nopeudet), jolloin järjestelmän kokonaisvapausasteet voivat olla suurempia. Esimerkiksi jäykkä kappale vapaassa avaruudessa tarvitsee yleensä kuusi vapausastetta (kolme siirtoa ja kolme rotaatiota).

Korkeammat ulottuvuudet ja erikoistapaukset

Matemaatikot ja fyysikot käsittelevät usein myös yli kolmen ulottuvuuden avaruuksia, erityisesti teoreettisissa malleissa ja differentiaaliyhtälöiden tilatiloissa. Lisäksi on olemassa epäintegraalisia mittoja, kuten fraktaalinen ulottuvuus (esim. Hausdorffin dimensio), jotka kuvaavat monimutkaisten muotojen tilaa tavalla, joka ei aina ole kokonaisluku.

Yhteenveto

Ulottuvuus on käsite, joka kertoo, kuinka monella luvulla tai koordinaatilla paikan tai järjestelmän tila voidaan yksikäsitteisesti kuvata, sekä kuinka monta riippumatonta suuntaa liike voi saada. Käytännössä puhutaan 0D–3D arkitodellisuudesta ja usein 4D:stä, kun mukaan otetaan aika. Matemaattisesti ulottuvuus yleistyy vektoriavaruuksien dimensioon sekä monimutkaisempiin mittoihin kuten fraktaaliulottuvuuksiin.