Sanan muista merkityksistä, katso identiteetti.

Matematiikassa termillä identiteetti on useita tärkeitä käyttötarkoituksia:

  • Identiteetti on yhtäsuuruus, joka pysyy totena, vaikka muuttaisit kaikkia yhtäsuuruudessa käytettyjä muuttujia.

Matemaattisessa mielessä tasa-arvo on totta vain tietyissä olosuhteissa. Tästä käytetään joskus symbolia ≡. (Tämä voi kuitenkin johtaa väärinkäsityksiin, koska samaa symbolia voidaan käyttää myös kongruenssisuhteesta.)

Mitä identiteetti tarkoittaa käytännössä?

Identiteetti on yhtälö, joka pitää paikkansa kaikilla muuttujien sallituilla arvoilla. Toisin sanoen identiteetti ei ole rajoitettu yksittäiseen ratkaisuun, vaan se on yleinen lauseke, joka on aina tosi määriteltyjen muuttujien joukossa. Tästä eroaa tavallinen yhtälö, joka on tosi vain joillekin muuttujien arvoille (esimerkiksi x + 2 = 5 pätee vain, kun x = 3).

Yleisiä merkintöjä ja varoituksia

  • = — tavallinen yhtäsuuruusmerkki, käytetään sekä identiteeteissä että ehdoissa. Kontekstista yleensä nähdään, onko kyse identiteetistä vai ehdollisesta yhtälöstä.
  • ≡ — käytetään joskus merkitsemään identiteettiä (esimerkiksi trigonometrisissa yhtälöissä) tai ekvivalenssia. Tämä merkki kuitenkin esiintyy myös kongruenssimerkkinä (modulaarilaskennassa), joten kannattaa aina selventää merkitystä kontekstissa.
  • Ei sekoiteta identiteettielementtiin tai identiteettifunktioon: matematiikassa sama sana voi tarkoittaa myös esimerkiksi identiteettimatriisia I (joka toimii neutrimaalisesti matriisikertolaskussa) tai identiteettifunktiota id(x)=x. Jos halutaan välttää epäselvyyksiä, selitä konteksti.

Esimerkkejä identiteeteistä

  • Algebrallinen identiteetti: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 — pätee kaikille reaaliluvuilla a ja b.
  • Erotus neliöistä: a2 − b2 = (a − b)(a + b) — yleinen tekijöintikaava.
  • Kubinen identiteetti: x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2).
  • Trigonometrinen identiteetti: sin2x + cos2x = 1 — pätee kaikille reaalisille x.
  • Logaritminen/potenssi-identiteetti (määrittelyalueen puitteissa): log_a(ax) = x, kun a > 0 ja a ≠ 1 ja x on sopivassa määritysjoukossa.
  • Matriisien identiteetti: A·I = I·A = A, missä I on identiteettimatriisi — pätee kaikille sopivan kokoisille matriiseille A.

Miten osoitetaan, että jokin yhtälö on identiteetti?

Tavallisia menetelmiä ovat:

  • Algebrainen muokkaus: sievistä lausekeita, yhdistä termejä ja käytä tunnettuja kaavoja saadaksesi molemmat puolet samaan muotoon.
  • Tekijöihin jakaminen ja supistaminen: jos erotus tai summa saadaan tekijöityä siten, että molemmat puolet ovat samat, kyse on identiteetistä.
  • Vertailu kertoimien avulla: polynomien yhtäsuuruus todetaan vertailemalla samojen potenssien kertoimia (polynomial identity theorem — jos kaksi polynomia yhtyy kaikilla x:n arvoilla, niiden kertoimet ovat yhtä suuret).
  • Sijaisarvojen testaaminen: todisteena voidaan käyttää riittävän monta eri x:n arvoa erityisesti, jos lausekkeet ovat polynomeja; kuitenkin yksin satunnaiset testit eivät ole täydellinen todiste ilman teoreettista perustaa.
  • Tunnettujen identiteettien käyttö: esimerkiksi trigonometriset totena olevat suhteet voivat johtaa uusiin identiteetteihin yhdistämällä ja muokkaamalla niitä.

Ero identiteetin ja ehdollisen yhtälön välillä

Identiteetti on tosi kaikilla muuttujien sallituilla arvoilla. Ehdollinen yhtälö on tosi vain tietyillä arvoilla. Esimerkiksi:

  • x + 2 = 5 on ehdollinen yhtälö (ratkaisu x = 3).
  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 on identiteetti (pätee kaikille a, b).

Käytännön sovelluksia

Identiteettejä käytetään laajasti laskutoimituksissa, yksinkertaistuksissa, yhtälöiden ratkaisemisessa ja matemaattisessa päättelyssä. Ne ovat erityisen hyödyllisiä:

  • trigonometrisissa muunnoksissa ja integraalilaskennassa,
  • algoritmien ja symbolisen laskennan kehittämisessä,
  • todistuksissa, joissa halutaan muuntaa monimutkaisia lausekkeita yksinkertaisempaan muotoon,
  • lukuteoriassa, missä on tärkeää erottaa identiteetit ja kongruenssit (modulaariset suhteet).

Yhteenveto

Matemaattinen identiteetti on yhtäsuuruus, joka pätee kaikilla sille määritellyillä muuttujien arvoilla. Identiteettien tunnistaminen ja todistaminen kuuluu perusvälineisiin algebrassa, trigonometrissä ja laajemminkin matematiikassa. Huomioi merkintöjen konteksti (esim. ≡ voi tarkoittaa identiteettiä tai kongruenssia) ja käytä sopivia todistusmenetelmiä — algebrista muokkausta, tekijöihin jakoa, kertoimien vertailua tai tunnettuja muunnoksia.